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适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第七章平面向量复数第三节平面向量的数量积与平面向量的应用课件北师大版
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这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第七章平面向量复数第三节平面向量的数量积与平面向量的应用课件北师大版，共44页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础固本增分，研考点精准突破，3投影，题组二双基自测，答案A，答案D，答案B等内容，欢迎下载使用。
1.平面向量数量积的概念(1)向量的夹角已知两个 非零 向量a和b,O是平面上的任意一点,作 ,向量a与b的夹角∠AOB记为或θ(0°≤θ≤180°).
(2)平面向量的数量积 两个向量的数量积是一个实数,不再是向量 |a||b|cs θ 称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cs=|a||b|cs θ. 微思考 两个向量的数量积大于0(或小于0),则夹角一定为锐角(或钝角)吗?提示 不一定.当两个向量的夹角为0(或π)时,数量积也大于0(或小于0).
微点拨 1.投影向量仍然是一个向量.
2.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
微思考 由a·b=0一定可以得出a=0或b=0吗?提示 不能推出a=0或b=0,因为当a·b=0时,还有可能a⊥b.
3.向量数量积的运算律
微点拨 向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.
常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.3.a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立).
自主诊断题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
6. 已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,则a与b的夹角θ= . 答案 120°解析 由已知得4|a|2-4a·b-3|b|2=61,因此4×42-4×4×3cs θ-3×32=61,解得cs θ=- ,所以a与b的夹角θ=120°.
例题(1)(2023·福建厦门高三期中)著名数学定理“勾股定理”的一个特例是“勾3股4弦5”,我国的西周时期数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,比欧洲的毕达哥拉斯发现勾股定理早500多年.如图,在矩形ABCD中,△ABC满足“勾3股4弦5”,设BC=4,E为线段AD上的动点,且满足
答案 (1)A (2)D (3)11
(2)(方法1)依题意建立如图所示的平面直角坐标系,
规律方法 求平面向量数量积的三种方法
考向1求向量的模题组(1)(2023·辽宁大连高三月考)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|= .
(3)(2023·浙江宁波高三月考)平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,且(c-2a)·(c-b)=0,则|c|的最小值是 .
规律方法 求平面向量的模的两种方法
考向2求向量的夹角题组(1)(2023·山东淄博高三月考)已知单位向量a,b,c满足a+b=c,则向量a和b的夹角为( )
(2)(2023·广东珠海高三期中)已知非零向量a=(x,3x),b=(-2x,1),若a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是( )
答案 (1)A (2)D
引申探究(变条件)在本题组(2)中,其他条件不变,若向量a与b的夹角为锐角时,则x的取值范围是 .
规律方法 求平面向量夹角的两种方法
考向3向量的垂直问题题组(1)(2023·浙江湖州高三月考)若平面向量a,b的夹角为60°,且|a|=2|b|,则( )A.a⊥(b+a)B.b⊥(b-a)C.b⊥(b+a)D.a⊥(b-a)(2)(2021·全国甲,理14)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= .
解析 (1)a·(b+a)=a·b+a2=5|b|2≠0,故A不正确;因为b·(b-a)=b2-b·a=b2-b2=0,所以b⊥(b-a),故B正确;b·(b+a)=b2+a·b=2|b|2≠0,故C不正确;a·(b-a)=a·b-a2=-3|b|2≠0,故D不正确.(2)∵a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+kb)=0,∴a2+ka·b=0,∵a=(3,1),b=(1,0),∴10+3k=0,解得
规律方法 已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.
考向4投影向量及其应用例题(2023·辽宁锦州高三月考)已知单位向量a,b满足|a-b|=1,则a在b上的投影向量为( )
规律方法 求投影向量的方法
例题(2023·北京西城高三月考)已知在平面四边形ABCD中,AB⊥AD, BC⊥CD,AB=1,BC= ,∠ABC=150°,则cs∠CBD= .
规律方法 用向量解决平面几何问题的方法及步骤(1)向量分解法:选取基⇒用基表示相关向量⇒利用向量的线性运算或数量积运算寻找相应关系⇒把几何问题向量化.(2)坐标运算法:建立适当的平面直角坐标系⇒把相关向量坐标化⇒利用向量的坐标运算寻找相应关系⇒把几何问题向量化.
A.4B.6C.8D.12答案 B
1.平面向量数量积的概念(1)向量的夹角已知两个 非零 向量a和b,O是平面上的任意一点,作 ,向量a与b的夹角∠AOB记为
(2)平面向量的数量积 两个向量的数量积是一个实数,不再是向量 |a||b|cs θ 称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cs
微点拨 1.投影向量仍然是一个向量.
2.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
微思考 由a·b=0一定可以得出a=0或b=0吗?提示 不能推出a=0或b=0,因为当a·b=0时,还有可能a⊥b.
3.向量数量积的运算律
微点拨 向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.
常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.3.a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立).
自主诊断题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
6. 已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,则a与b的夹角θ= . 答案 120°解析 由已知得4|a|2-4a·b-3|b|2=61,因此4×42-4×4×3cs θ-3×32=61,解得cs θ=- ,所以a与b的夹角θ=120°.
例题(1)(2023·福建厦门高三期中)著名数学定理“勾股定理”的一个特例是“勾3股4弦5”,我国的西周时期数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,比欧洲的毕达哥拉斯发现勾股定理早500多年.如图,在矩形ABCD中,△ABC满足“勾3股4弦5”,设BC=4,E为线段AD上的动点,且满足
答案 (1)A (2)D (3)11
(2)(方法1)依题意建立如图所示的平面直角坐标系,
规律方法 求平面向量数量积的三种方法
考向1求向量的模题组(1)(2023·辽宁大连高三月考)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|= .
(3)(2023·浙江宁波高三月考)平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,且(c-2a)·(c-b)=0,则|c|的最小值是 .
规律方法 求平面向量的模的两种方法
考向2求向量的夹角题组(1)(2023·山东淄博高三月考)已知单位向量a,b,c满足a+b=c,则向量a和b的夹角为( )
(2)(2023·广东珠海高三期中)已知非零向量a=(x,3x),b=(-2x,1),若a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是( )
答案 (1)A (2)D
引申探究(变条件)在本题组(2)中,其他条件不变,若向量a与b的夹角为锐角时,则x的取值范围是 .
规律方法 求平面向量夹角的两种方法
考向3向量的垂直问题题组(1)(2023·浙江湖州高三月考)若平面向量a,b的夹角为60°,且|a|=2|b|,则( )A.a⊥(b+a)B.b⊥(b-a)C.b⊥(b+a)D.a⊥(b-a)(2)(2021·全国甲,理14)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= .
解析 (1)a·(b+a)=a·b+a2=5|b|2≠0,故A不正确;因为b·(b-a)=b2-b·a=b2-b2=0,所以b⊥(b-a),故B正确;b·(b+a)=b2+a·b=2|b|2≠0,故C不正确;a·(b-a)=a·b-a2=-3|b|2≠0,故D不正确.(2)∵a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+kb)=0,∴a2+ka·b=0,∵a=(3,1),b=(1,0),∴10+3k=0,解得
规律方法 已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.
考向4投影向量及其应用例题(2023·辽宁锦州高三月考)已知单位向量a,b满足|a-b|=1,则a在b上的投影向量为( )
规律方法 求投影向量的方法
例题(2023·北京西城高三月考)已知在平面四边形ABCD中,AB⊥AD, BC⊥CD,AB=1,BC= ,∠ABC=150°,则cs∠CBD= .
规律方法 用向量解决平面几何问题的方法及步骤(1)向量分解法:选取基⇒用基表示相关向量⇒利用向量的线性运算或数量积运算寻找相应关系⇒把几何问题向量化.(2)坐标运算法:建立适当的平面直角坐标系⇒把相关向量坐标化⇒利用向量的坐标运算寻找相应关系⇒把几何问题向量化.
A.4B.6C.8D.12答案 B
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