适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第三节二项式定理课件北师大版

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1.二项式定理(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数 (k=0,1,2,…,n)叫作二项式系数. 只与各项的项数有关,而与a,b的值无关
字母a,b是一种“符号”,实际上可以是数和式
微点拨 二项式系数 (k=0,1,2,…,n)是组合数,它与二项展开式中对应项的系数不一定相等,应注意区分二项式系数与项的系数这两个不同的概念.项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.如(a+bx)n的二项展开式中,第k+1项的二项式系数是 ,而该项的系数是 an-kbk.当然,在某些二项展开式中,各项的系数与二项式系数是相等的.微思考 (a+b)n与(b+a)n的展开式有何区别与联系?提示 (a+b)n的展开式与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.
2.二项式系数的性质
微点拨 利用赋值法求二项式系数的和
常用结论若二项展开式的通项为Tr+1=g(r)·xh(r)(r=0,1,2,…,n),g(r)≠0,则有以下常见结论:(1)h(r)=0⇔Tr+1是常数项.(2)h(r)是非负整数⇔Tr+1是整式项.(3)h(r)是整数⇔Tr+1是有理项.
自主诊断题组一　思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
6. 在(1-2x)8的展开式中,各项系数的和是　　　　　. 答案 1解析 令x=1,可得各项系数和为(-1)8=1.
考向1二项展开式中的特定项(或系数)
答案 (1)15　(2)B
规律方法 求二项展开式中特定项的步骤
考向2两个多项式积的展开式问题例题(1)(2022·山东菏泽一模)(a-x)(2+x)6的展开式中x5的系数是12,则实数a的值为(　　)A.4B.5C.6D.7
答案 (1)C　(2)-28
规律方法 求两个因式之积的特定项(或系数)的两种常用方法
考向3三项展开式中的特定项(或系数)例题(1)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(　　)A.10B.20C.30D.60
答案 (1)C　(2)-160
规律方法 求三项展开式中某些特定项(或系数)的三种方法
对点训练(2023·山东济南模拟)(x2-2x+1)3的展开式中,含x3项的系数为　　　　　　　(用数字作答). 答案 -20
例题(1)(2022·北京,8)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=(　　)A.40B.41C.-40D.-41(2)(多选)(2023·山东师大附中高三期中)已知(1-2x)2 021= a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 021x2 021,则(　　)A.展开式中所有项的二项式系数和为22 021
答案 (1)B　(2)ABD
规律方法 形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子,求其展开式的各项系数之和,常用赋值法.
对点训练(2022·浙江,12)已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=　　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　　. 
答案 (1)45　(2)5 376
规律方法 1.二项式系数最大项的确定方法
2.二项展开式系数最大项的求法
解析 由题意,可得22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,解得2n=32,可得n=5.
例题(2023·陕西西安中学一模)设a∈Z,且0≤a<13,若512 022+a能被13整除,则a=(　　)A.0B.1C.11D.12答案 D
规律方法 1.用二项式定理处理整除问题,通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再利用二项式定理展开,只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了.2.利用二项式定理近似运算时,首先将幂的底数写成两项和或差的形式,然后确定展开式中的保留项,使其满足近似计算的精确度.