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展开函数的单调性与其导数的关系
微点拨 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则.
常用结论1.可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是∀x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)的任何子区间上都不恒为零.2.导数的绝对值与函数值变化的关系一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就比较“平缓”.
自主诊断题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若函数f(x)在区间(a,b)内恒有f'(x)≤0,且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在区间(a,b)上单调递减.( )2.函数f(x)=sin x-x在R上单调递减.( )3.如果函数f(x)在区间(a,b)上变化得越快,其导数就越大.( )
题组二 双基自测4. 函数 的单调递增区间是 . 答案 (-∞,0)和(0,+∞)
答案 (1)B (2)(π+2kπ,2π+2kπ),k∈Z (2kπ,π+2kπ),k∈Z
令f'(x)>0,则2sin x<0,得π+2kπ
对点训练若曲线 在点(1,f(1))处的切线过点(-1,0),则函数f(x)的单调递减区间为( )A.(-∞,0)B.(0,+∞)和(-1,0)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(-∞,-1)和(-1,0)
例题已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x+2(a为常数).(1)若f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值;(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性.
规律方法 分类讨论思想解决含参数函数单调性问题利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点:(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间;(2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点;(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等;(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述.
考向1辨析图象例题 (2023·东北师大附中高三检测)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,且f'(x)是f(x)的导函数,则( )A.f'(-1)=f'(-2)<0
考向2比较大小与解不等式例题(2022·新高考Ⅰ,7)设a=0.1e0.1,b= ,c=-ln 0.9,则( )A.a
对点训练(2022·山东济南一模)设a=2 022·ln 2 020,b=2 021ln 2 021,c=2 020ln 2 022,则下列选项正确的是( )A.a>c>bB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c答案 D
考向3根据函数的单调性求参数(或参数范围)例题若函数h(x)=ln x- ax2-2x(a≠0)在[1,4]上单调递减,则a的取值范围为 .
引申探究1(变条件)若本例条件变为“函数h(x)在[1,4]上单调递增”,则a的取值范围为 . 答案 (-∞,-1]
引申探究2(变条件)若本例条件变为“函数h(x)在(1,4)上不单调”,则a的取值范围为 .
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