适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用解答题专项一第2课时利用导数研究不等式恒能成立问题课件北师大版

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例题(2022·山东潍坊二模)已知函数f(x)=ax+cs x+sin x(a∈R).(2)若f(x)≤1+2sin x+2cs x在x∈(0,π]上恒成立,求实数a的取值范围.
而h(0)=-20,s(x)单调递增,当x∈(0,+∞)时,s'(x)1恒成立,求实数a的取值范围.
(2)ea(x-1)+ax≥x+ln x+a,即ea(x-1)+a(x-1)≥x+ln x,即ea(x-1)+a(x-1)≥eln x+ln x,构造函数F(x)=ex+x,即F(a(x-1))≥F(ln x),F(x)显然在(0,+∞)上单调递增,所以转化为a(x-1)≥ln x在(1,+∞)上恒成立,①当a≤0时,因为x>1,所以a(x-1)≤0,而ln x>ln 1=0,显然不符合题意.②当a>0时,即a(x-1)-ln x≥0在(1,+∞)上恒成立,令G(x)=a(x-1)-ln x(x>1),
所以h(a)在(0,1)上单调递增,所以h(a)0),则h'(x)=ex-1>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h(0)=0,所以h(x)=ex-(x+1)>0,即ex>x+1.所以φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且φ(1)=1,所以φ(x)=x-ln x≥1>0,所以x>ln x.所以当x∈(0,+∞)时,有xex>x(x+1)>(x+1)ln x,所以当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x).
(2)解 因为∃b∈[-1,0],使f(x)≥g(x)恒成立,令w(b)=axeax+(a+b)x,只需w(b)max≥g(x),即axeax+ax≥(1+x)ln x在x∈(0,+∞)上恒成立,整理得ax(eax+1)≥(x+1)ln x=ln x(eln x+1).(*)设F(x)=x(ex+1),则F'(x)=ex(x+1)+1,设H(x)=F'(x)=ex(x+1)+1,又H'(x)=(x+2)ex,可得当x>-2时,H'(x)>0,H(x)单调递增;当x