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适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第八节函数与方程课件北师大版
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这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第八节函数与方程课件北师大版，共35页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础固本增分，研考点精准突破，答案C等内容，欢迎下载使用。
1.函数的零点(1)函数零点的定义使得 f(x0)=0 的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 数形结合方法的依据方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.微点拨 函数的零点是一个实数,是使函数值等于0的自变量的值,它不是函数y=f(x)的图象与x轴的交点,而是交点的横坐标,也就是说,函数的零点不是一个点,而是一个实数.
2.函数零点的判定(函数零点存在定理)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即 f(a)·f(b)<0 ,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一解.
微思考 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,y=f(x)在(a,b)内有零点,那么一定有f(a)f(b)<0吗?提示 不一定.例如,函数f(x)=x2-1在区间[-2,2]上的图象是连续不断的一条曲线,且在(-2,2)内有零点,但f(-2)f(2)>0.事实上,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,那么“f(a)f(b)<0”是“y=f(x)在(a,b)内有零点”的充分不必要条件.
微点拨 零点存在定理只能判断零点存在,不能确定零点的个数.若函数在某区间上是单调函数,则该函数在该区间上至多有一个零点.
3.二分法对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,f(a)·f(b)<0,则每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
微点拨 1.图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.2.连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.常用结论1.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.2.若f(x)=g(x)-h(x),则函数f(x)零点的个数就是函数g(x),h(x)图象交点的个数.
自主诊断题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.函数f(x)=4-x2的两个零点是(-2,0)和(2,0).( )2.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)f(b)>0,则y=f(x)在(a,b)内没有零点.( )3.奇函数若存在零点,则零点个数不一定为奇数.( )4.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上有唯一的零点.( )
题组二 双基自测5. 已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为( )A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)答案 B解析 由所给的函数值的表格可以看出,x=2与x=3这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(2)·f(3)<0,所以函数在(2,3)内有零点.故选B.
答案 D解析 当x>0时,令f(x)=0,得x=1;当x≤0时,令f(x)=0,得x=-2或x=0.因此函数f(x)的零点个数为3.
题组(1)函数f(x)=lg3x+x-2的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)(2023·四川攀枝花诊断测试)已知函数f(x)=lg x+2x-7的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k=( )A.1B.2C.3D.4
答案 (1)B (2)C
解析 (1)(方法1)函数f(x)=lg3x+x-2的定义域为(0,+∞),并且f(x)在(0,+∞)上单调递增,图象是一条连续曲线.由题意知f(1)=-1<0,f(2)=lg32>0,根据零点存在定理可知,函数f(x)=lg3x+x-2有唯一零点,且零点在区间(1,2)内.(方法2)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=lg3x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,故其至多一个零点.又f(3)=lg 3-1<0,f(4)=lg 4+1>0,故f(x)的零点在区间(3,4)内,故k=3.
规律方法 判断函数y=f(x)在某个区间内是否存在零点的方法
题组(1)函数f(x)=sin 2x-cs x在[0,3π]上的零点个数为( )A.8B.7C.6D.5(2)(2023·贵州铜仁模拟)函数f(x)=3-x+ln|x|零点的个数是( )A.1B.2C.3D.4A.1B.2C.3D.4
答案 (1)B (2)C (3)C
(2)令f(x)=3-x+ln|x|=0,即x-3=ln|x|,所以函数f(x)=3-x+ln|x|零点的个数即为y=x-3与y=ln|x|的交点个数,在同一坐标系中作出两函数的图象,如图所示.由图可知,两函数的交点个数为3,所以函数f(x)=3-x+ln|x|零点的个数是3.
规律方法 函数零点个数的判断方法(1)直接法:解方程f(x)=0,解的个数即为零点的个数;(2)函数零点存在定理法:若函数在[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0,可结合函数的性质(如单调性、奇偶性等)确定零点的个数;(3)图象交点法:将函数构造为两函数的差,画出两个函数的图象,其交点的个数就是原函数零点的个数;(4)换元法:形如f(g(x))的函数,可先令g(x)=t,求得f(t)=0时t的值,再根据g(x)的图象及性质确定g(x)=t时x的值的个数,即f(g(x))的零点的个数.
考向1根据零点的个数求参数值(范围)
(2)作出函数f(x)的图象,如图所示.
规律方法 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)的常用方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题,再进行求解;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.
考向2根据函数零点的范围求参数范围
(3)当0≤x≤1时,由f(x)=1,得2x(x2+m)=1,即( )x=x2+m;当-1≤x≤0时,由f(x)=1,则问题转化为当g(x)与h(x)=x2+m的图象在[-1,1]上只有一个交点时,求m的取值范围.画出g(x)与h(x)在[-1,1]上的图象如图所示.
规律方法 根据零点的取值范围求参数范围的方法(1)直接法:直接求出函数的零点,将零点用参数表示,解关于参数的不等式即得参数的取值范围;(2)利用函数零点存在定理:分析函数的性质,利用函数零点存在定理求解;(3)数形结合法:针对两个函数,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.
考向3求函数多个零点(方程根)的和例题已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, 则关于函数F(x)=f(x)-a(0
A.(1,3]B.[1,3]C.(1,4]D.(3,4)答案 A
解析 作出f(x)图象,如图所示.
求方程f(x)-a=0的实根之和为6,即求y=f(x)与y=a的图象交点横坐标之和为6,当a=1时,y=a与y=f(x)的图象只有一个交点(3,1),不满足题意;当1
1.函数的零点(1)函数零点的定义使得 f(x0)=0 的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 数形结合方法的依据方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.微点拨 函数的零点是一个实数,是使函数值等于0的自变量的值,它不是函数y=f(x)的图象与x轴的交点,而是交点的横坐标,也就是说,函数的零点不是一个点,而是一个实数.
2.函数零点的判定(函数零点存在定理)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即 f(a)·f(b)<0 ,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一解.
微思考 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,y=f(x)在(a,b)内有零点,那么一定有f(a)f(b)<0吗?提示 不一定.例如,函数f(x)=x2-1在区间[-2,2]上的图象是连续不断的一条曲线,且在(-2,2)内有零点,但f(-2)f(2)>0.事实上,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,那么“f(a)f(b)<0”是“y=f(x)在(a,b)内有零点”的充分不必要条件.
微点拨 零点存在定理只能判断零点存在,不能确定零点的个数.若函数在某区间上是单调函数,则该函数在该区间上至多有一个零点.
3.二分法对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,f(a)·f(b)<0,则每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
微点拨 1.图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.2.连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.常用结论1.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.2.若f(x)=g(x)-h(x),则函数f(x)零点的个数就是函数g(x),h(x)图象交点的个数.
自主诊断题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.函数f(x)=4-x2的两个零点是(-2,0)和(2,0).( )2.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)f(b)>0,则y=f(x)在(a,b)内没有零点.( )3.奇函数若存在零点,则零点个数不一定为奇数.( )4.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上有唯一的零点.( )
题组二 双基自测5. 已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为( )A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)答案 B解析 由所给的函数值的表格可以看出,x=2与x=3这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(2)·f(3)<0,所以函数在(2,3)内有零点.故选B.
答案 D解析 当x>0时,令f(x)=0,得x=1;当x≤0时,令f(x)=0,得x=-2或x=0.因此函数f(x)的零点个数为3.
题组(1)函数f(x)=lg3x+x-2的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)(2023·四川攀枝花诊断测试)已知函数f(x)=lg x+2x-7的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k=( )A.1B.2C.3D.4
答案 (1)B (2)C
解析 (1)(方法1)函数f(x)=lg3x+x-2的定义域为(0,+∞),并且f(x)在(0,+∞)上单调递增,图象是一条连续曲线.由题意知f(1)=-1<0,f(2)=lg32>0,根据零点存在定理可知,函数f(x)=lg3x+x-2有唯一零点,且零点在区间(1,2)内.(方法2)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=lg3x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,故其至多一个零点.又f(3)=lg 3-1<0,f(4)=lg 4+1>0,故f(x)的零点在区间(3,4)内,故k=3.
规律方法 判断函数y=f(x)在某个区间内是否存在零点的方法
题组(1)函数f(x)=sin 2x-cs x在[0,3π]上的零点个数为( )A.8B.7C.6D.5(2)(2023·贵州铜仁模拟)函数f(x)=3-x+ln|x|零点的个数是( )A.1B.2C.3D.4A.1B.2C.3D.4
答案 (1)B (2)C (3)C
(2)令f(x)=3-x+ln|x|=0,即x-3=ln|x|,所以函数f(x)=3-x+ln|x|零点的个数即为y=x-3与y=ln|x|的交点个数,在同一坐标系中作出两函数的图象,如图所示.由图可知,两函数的交点个数为3,所以函数f(x)=3-x+ln|x|零点的个数是3.
规律方法 函数零点个数的判断方法(1)直接法:解方程f(x)=0,解的个数即为零点的个数;(2)函数零点存在定理法:若函数在[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0,可结合函数的性质(如单调性、奇偶性等)确定零点的个数;(3)图象交点法:将函数构造为两函数的差,画出两个函数的图象,其交点的个数就是原函数零点的个数;(4)换元法:形如f(g(x))的函数,可先令g(x)=t,求得f(t)=0时t的值,再根据g(x)的图象及性质确定g(x)=t时x的值的个数,即f(g(x))的零点的个数.
考向1根据零点的个数求参数值(范围)
(2)作出函数f(x)的图象,如图所示.
规律方法 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)的常用方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题,再进行求解;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.
考向2根据函数零点的范围求参数范围
(3)当0≤x≤1时,由f(x)=1,得2x(x2+m)=1,即( )x=x2+m;当-1≤x≤0时,由f(x)=1,则问题转化为当g(x)与h(x)=x2+m的图象在[-1,1]上只有一个交点时,求m的取值范围.画出g(x)与h(x)在[-1,1]上的图象如图所示.
规律方法 根据零点的取值范围求参数范围的方法(1)直接法:直接求出函数的零点,将零点用参数表示,解关于参数的不等式即得参数的取值范围;(2)利用函数零点存在定理:分析函数的性质,利用函数零点存在定理求解;(3)数形结合法:针对两个函数,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.
考向3求函数多个零点(方程根)的和例题已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, 则关于函数F(x)=f(x)-a(0
A.(1,3]B.[1,3]C.(1,4]D.(3,4)答案 A
解析 作出f(x)图象,如图所示.
求方程f(x)-a=0的实根之和为6,即求y=f(x)与y=a的图象交点横坐标之和为6,当a=1时,y=a与y=f(x)的图象只有一个交点(3,1),不满足题意;当1
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