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2022-2023学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，属于无理方程的是( )
A. x2− 2=0 B. 2x=1 C. 2x=1 D. 2x=0
2. 下列事件中，是随机事件的是( )
A. 直线y=2x−1与直线y=x+2有公共点
B. 10位学生分3组，至少有一组人数超过3
C. 任取一个实数，它的平方小于零
D. 打开电视时正在播放广告
3. 如果关于x的方程(m+2)x=1无解，那么m的取值范围是( )
A. m=−2 B. m≠−2 C. m>−2 D. m<−2
4. 下列方程中，x=1是它的根的方程为( )
A. x2−1x−1=0 B. 2x3−6=0 C. x+1=0 D. x2x+1=1x+1
5. 下列判断中，不正确的是( )
A. AB+BA=0 B. a+b+c=c+b+a
C. 如果|AB|=|CD|，那么AB=CD D. a+(b+c)=(a+b)+c
6. 已知四边形ABCD中，∠A=90°，AB//CD，∠B=∠D，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A. ∠D=90° B. AB=CD C. BC=CD D. AC=BD
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
7. 方程x3−27=0的根是______．
8. 判断点(2,3)是否在函数y=2x−7的图象上．______ (填“是”或“否”)
9. 已知一次函数y=2x+b的图象经过第一、二、三象限，则b的取值范围是______ ．
10. 方程(x+1) x−1=0的根是______ ．
11. 用换元法解分式方程x2+1x−2xx2+1=3时，如果设xx2+1=y，那么原方程可以化为关于y的方程是______．
12. 如果一个多边形的每一个内角都等于120°，那么这个多边形的边数是______．
13. 在4张卡片的正面分别画上等边三角形、平行四边形、矩形和菱形，卡片的质地、大小、背面完全相同，现把它们正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是______ ．
14. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，点E、F分别是边AC、AB的中点，如果AB长为26，AC：CB=12：5，那么中位线EF的长为______ ．
15. 某款新能源车在两年内价格从25万元降至16万元.如果设每年降价的百分率均为x(x>0)，则由题意可列方程：______ ．
16. 已知f(x)=kx+b(k≠0)，如果f(−1)>f(2)，且f(2)=0，那么不等式kx+b>0的解集是______ ．
17. 如果将矩形沿一内角的平分线对折，折痕将矩形一边分为1厘米和3厘米两部分，那么这个矩形的面积为______ 平方厘米．
18. 在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点P(2,2)与点Q(−2,−3)为“坐标轴等距点”.已知点A的坐标为(−3,2)，如果点B在直线y=x−1上，且A、B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19. 解方程：xx+2+x+2x−2=8x2−4．
四、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题7.0分)
解方程组：x2+xy=0①x2−2xy−1+y2=0②．
21. (本小题7.0分)
如图，已知AE//BF，AC平分∠BAE交BF于点C，BD平分∠ABF，交AE于点D，AC、BD交于点O，联结CD．
(1)设OA=a，OD=b.试用向量a、b表示下列向量：OB= ______ ，OC= ______ ，AB= ______ ，BC= ______ ．
(2)如果∠BAD=120°，|AB|=1，那么|BD|= ______ ．
22. (本小题8.0分)
某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品.公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元．
(1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______ ；
(2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件．
23. (本小题8.0分)
如图1，矩形ABCD中，E是对角线AC上一个动点(不与点A重合)，作EF⊥BC，交BC于点F，联结BE，如果设CF=x，△ABE面积为y，那么可得y关于x的函数图象(如图2所示)．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出其定义域；
(2)求△ABC的面积及矩形对角线AC的长．
24. (本小题8.0分)
已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，联结EF、FG、GH、HE．
(1)求证：四边形EFGH是菱形；
(2)如果AD=3，BC=5，且EF⊥FG，求四边形EFGH的面积．
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=34x−6与x轴和y轴分别相交于点A和点B，∠OBA的平分线BP交OA于点C，点C坐标(m,0)，点P与点B关于点C对称．
(1)求m的值；
(2)求图象经过点P的反比例函数解析式；
(3)已知点D是坐标平面内一点，如果四边形ADBP是平行四边形，那么点D的坐标是______ .(请将点D的坐标直接填写在空格内)
26. (本小题12.0分)
(1)如图1，梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，AB=3，BC=7，∠B=60°.求证：四边形ABCD是等腰梯形；
(2)点M是直线AB上的一点，直线DM交直线BC于点N．
①当点M在线段AB的延长线上时(如图2)，设BM=x，DM=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
②如果△AMD是等腰三角形，求△BMN的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A属于一元二次方程，所以不是无理方程，不符合题意；
B属于无理方程，符合题意；
C属于分式方程，所以不是无理方程，不符合题意；
D属于一元一次方程，所以不是无理方程，不符合题意．
故选：B．
根据方程的相关知识对四个选项进行判断．
本题主要考查了一元二次方程的定义、无理方程的知识、分式方程的定义、一元一次方程的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A、直线y=2x−1与直线y=x+2不平行，所以它们有公共点，是必然事件，不符合题意；
B、10位学生分3组，至少有一组人数超过3，是必然事件，不符合题意；
C、任取一个实数，它的平方小于零，是不可能事件，不符合题意；
D、打开电视时正在播放广告，是随机事件，符合题意；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】A
【解析】解：由题意，∵(m+2)x=1无解，
∴m+2=0．
∴m=−2．
故选：A．
依据题意，由一次方程无解，从而m+2=0，故可得解．
本题主要考查了一元一次方程的解，解题时要能熟练掌握并理解．
4.【答案】D
【解析】解：A．x2−1x−1=0，
x2−1=0，
解得：x=±1，
经检验x=1是增根，x=−1是方程的解，即x=1不是方程的解，故本选项不符合题意；
B.2x3−6=0，
2x3=6，
x3=3，
解得：x=33，即x=1不是方程的解，故本选项不符合题意；
C. x+1=0，
x=−1，
不论x为何值，x的算术平方根不能为负数，
所以此方程无解，即x=1不是方程的解，故本选项不符合题意；
D.x2x+1=1x+1，
方程两边都乘x+1，得x2=1，
解得：x=±1，
经检验x=−1不是方程的解，x=1是方程的解，故本选项符合题意；
故选：D．
选项A和选项D把分式方程化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；选项B求出x3=3，再求出方程的解即可；选项C求出 x=−1，再求出方程无解即可．
本题考查了方程的解，解无理方程和解分式方程等知识点，能求出方程的解是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB+BA=0，a+b+c=c+b+a，a+(b+c)=(a+b)+c，
∴A、B、D正确，
∵|AB|=|CD|，
∴AB=CD或AB=DC，
故C错误，
故选：C．
根据平面向量的加减运算法则计算即可．
本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠A=∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴添加BC=CD，
∴四边形ABCD是正方形，
故选：C．
根据平行线的性质得到∠A=∠C，根据平行四边形的判定，矩形的判定以及正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
7.【答案】x=3
【解析】解：x3−27=0，
x3=27，
x=327=3，
故答案为：x=3．
先移项，再开立方即可．
本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．
8.【答案】否
【解析】解：当x=2时，y=2x−7=−3，
所以(2,3)不在函数y=2x−7的图象上．
故答案为：否．
把点坐标代入解析式通即可判断点是否在函数图象上．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标一定适合函数的解析式是解题的关键．
9.【答案】b>0
【解析】解：∵一次函数y=2x+b的图象经过一、二、三象限，
∴b>0．
故答案为b>0．
根据一次函数图象与系数的关系得到b>0，然后对选项进行判断．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,b)．
10.【答案】1
【解析】解：将方程左右两边同时平方，得(x+1)2(x−1)=0．
解得：x=−1或x=1．
检验：当x=−1时，x−1=−2<0，二次根式 x−1在实数范围内无意义，
∴x=1．
故答案为：1．
x+1=0或x−1=0，并要求x−1≥0(即x≥1)，直接解答即可．
本题考查如何解无理方程，特别需要注意要使二次根式的被开方数大于等于零．
11.【答案】2y2+3y−1=0
【解析】解：∵y=xx2+1，
∴原方程化为1y−2y=3，
整理得，2y2+3y−1=0．
故答案为：2y2+3y−1=0．
根据换元法，把xx2+1换成y，然后整理即可得解．
本题考查了换元法解分式方程，换元法是解分式方程常用的方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
12.【答案】6
【解析】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，
∴多边形的每一个外角都等于180°−120°=60°，
∴边数n=360°÷60°=6．
故答案为：6．
先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除即可得到边数．
本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
13.【答案】12
【解析】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是矩形、菱形，概率是：24=12．
故答案为：12．
由等边三角形、平行四边形、矩形、菱形中既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是矩形、菱形，利用概率公式即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】5
【解析】解：设AC=12x，则CB=5x，
由勾股定理得：AC2+CB2=AB2，即(12x)2+(5x)2=262，
解得：x=2(负值舍去)，
∴CB=5x=10，
∵点E、F分别是边AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12CB=5，
故答案为：5．
根据勾股定理求出CB，再根据三角形中位线定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】25(1−x)2=16
【解析】解：依题意得：25(1−x)2=16．
故答案为：25(1−x)2=16．
由”新能源车在两年内价格从25万元降至16万元“，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】x<2
【解析】解：当x=2时，y=0，
根据题意可以知道函数值y随x的增大而减小，
故不等式kx+b>0的解集是x<2．
故答案是：x<2．
根据“f(x)=kx+b(k≠0)，f(−1)>f(2)”可以推断该函数值是随x的增大而减小，再得出y=0时，对应的x的值即可．
此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
17.【答案】4或12
【解析】解：设矩形ABCD的内角∠ABC的平分线交AD于点E，
∵∠A=∠ABC=90°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴AB=AE，
如图1，AE=1厘米，DE=3厘米，
∴AB=AE=1厘米，AD=AE+DE=1+3=4(厘米)，
∴S矩形ABCD=AD⋅AB=4×1=4(平方厘米)；
如图2，DE=1厘米，AE=3厘米，
∴AB=AE=3厘米，AD=AE+DE=3+1=4(厘米)，
∴S矩形ABCD=AD⋅AB=4×3=12(平方厘米)，
综上所述，矩形的面积为4平方厘米或12平方厘米，
故答案为：4或12．
设矩形ABCD的内角∠ABC的平分线交AD于点E，先证明AB=AE，再分两种情况讨论，一是AE=1厘米，DE=3厘米，则AB=AE=1厘米，AD=AE+DE=4厘米，所以S矩形ABCD=AD⋅AB=4平方厘米；二是DE=1厘米，AE=3厘米，则AB=AE=3厘米，AD=AE+DE=4厘米，所以S矩形ABCD=AD⋅AB=12平方厘米，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、矩形的面积公式等知识，证明矩形的一个内角的平分线在该矩形上截得的三角形是等腰三角形是解题的关键．
18.【答案】(−2,−3)或(3,2)
【解析】解：∵点A的坐标为(−3,2)，
∴点A到x、y轴的距离中的最小值为2，
∵A、B两点为“坐标轴等距点”，
∴点B到x、y轴的距离中的最小值为2．
当x=−2时，y=−2−1=−3，|−3|>|−2|，
∴点B到x、y轴的距离中的最小值为2，
∴点B的坐标为(−2,−3)；
当x=2时，y=2−1=1，|1|<|2|，
∴点B到x、y轴的距离中的最小值为1，不符合题意，舍去；
当y=−2时，x−1=−2，
解得：x=−1，
∵|−1|<|−2|，
∴点B到x、y轴的距离中的最小值为1，不符合题意，舍去；
当y=2时，x−1=2，
解得：x=3，
∵|3|>|2|，
∴点B到x、y轴的距离中的最小值为2，
∴点B的坐标为(3,2)．
综上所述，点B的坐标为(−2,−3)或(3,2)．
故答案为：(−2,−3)或(3,2)．
由点A的坐标，可得出点A到x、y轴的距离中的最小值为2，结合A、B两点为“坐标轴等距点”，可得出点B到x、y轴的距离中的最小值为2，再结合点B在直线y=x−1上，即可得出点B的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“坐标轴等距点”的定义及一次函数图象上点的坐标特征，找出点B的坐标是解题的关键．
19.【答案】解：方程两边都乘(x+2)(x−2)，得
x(x−2)+(x+2)2=8，
x2−2x+x2+4x+4=8，
整理得x2+x−2=0．
解得x1=−2，x2=1．
经检验，x2=1为原方程的根，x1=−2是增根(舍去)．
∴原方程的根是x=1．
【解析】本题的最简公分母是(x+2)(x−2).方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解；
(2)解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
20.【答案】解：由①，得x(x+y)=0，
∴x=0或者x+y=0．
由②，得(x2−2xy+y2)−1=0，
∴(x−y)2−1=0．
∴(x−y+1)(x−y−1)=0．
∴x−y+1=0或者x−y−1=0．
所以原方程组可变形为x=0x−y+1=0或x=0x−y−1=0或x+y=0x−y−1=0或x+y=0x−y+1=0．
解得x1=0y1=1，x2=0y2=−1，x3=12y3=−12，x4=−12y4=12．
所以原方程组的解为x1=0y1=1，x2=0y2=−1，x3=12y3=−12，x4=−12y4=12．
【解析】先把组中各方程化为几个一次方程，构造二元一次方程组，求解即可．
本题主要考查了由高次方程组成的方程组的解法，掌握整式的因式分解方法和二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
21.【答案】−b −a −b−a b−a 3
【解析】解：(1)∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠CAD，
∵AE//BF，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
同理可得，AB=AD
∴BC=AD，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴▱ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OA=a，OD=b，
∴OB=−b，OC=−a，
∴AB=OB−OA=−b−a，BC=OC−OB=−a−(−b)=b−a，
故答案为：−b；−a；−b−a；b−a；
(2)由(1)知，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAO=60°，
∴BO= 32AB= 32，
∴BD= 3，
∴|BD|= 3，
故答案为： 3．
(1)根据平行线的性质以及角平分线的定义推出四边形ABCD是菱形，再根据平面向量三角形运算法则即可求解；
(2)根据含30°角的直角三角形的性质求出BO的长即可求解．
本题考查了菱形的判定与性质，平面向量，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】160−x
【解析】解：(1)设从乙地购进的商品件数是y，
则：200(x+y)=11000+9000+12000，
解得：y=160−x，
故答案为：160−x；
(2)由题意得：9000x−30=12000160−x，
解得：x=60或x=800(不合题意，舍去)，
经检验：x=60是原分式方程的解，
∴160−x=100，
答：公司从甲地购进商品80件，从乙两地购进商品100件．
(1)根据题意列方程求解；
(2)根据题意列方程求解．
本题考查了方程的应用，理解题意找出相等关系是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
∴将(0,24)，(4,8)，代入得，
b=244k+b=8，
∴解得b=24k=−4，
∴y=−4x+24；
当x=0时，即−4x+24=0，
解得x=6，
∵点E不与点A重合，
∴定义域为0≤x<6；
(2)当x=0时，点E与点C重合，
∴S△ABC=S△ABE=24，
∴△ABC的面积为24；
由(1)可得，当y=0时，解得x=6，
∴BC=FC=6，
∵S△ABC=24，四边形是矩形，
∴12⋅AB⋅BC=24，即12⋅AB×6=24，
∴AB=8，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AC=10．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)首先根据题意得到当x=0时，点E于点C重合，进而得到△ABC的面积为24；然后由y=0，解得x=6，最后利用三角形面积公式求解即可．
此题考查了一次函数与几何结合，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
24.【答案】(1)证明：连接AC，BD，
∵梯形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∵E、F分别是AB、BC中点，
∴EF是△BAC的中位线，
∴EF=12AC，
同理：FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形；
(2)解：连接EG，
∵E、G分别是AB、CD的中点，
∴EG是梯形的中位线，
∴EG=12(AD+BC)=12×(3+5)=4，
∵EF⊥FG，
∴∠EFG=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG，
∵EF2+FG2=EG2=42=16，
∴EF2=8，
∴四边形EFGH的面积=EF2=8．
【解析】(1)由等腰梯形的性质得到AC=BD，由三角形中位线定理推出EF=FG=GH=EH，即可证明四边形EFGH是菱形；
(2)由梯形中位线定理得到EG的长，可以证明四边形EFGH是正方形，由勾股定理求出EF2的值，即可得到四边形EFGH的面积．
本题考查菱形的判定，正方形的判定，梯形，中点四边形，勾股定理，关键是掌握菱形的判定方法．
25.【答案】(2,−12)
【解析】解：(1)过点C作CM⊥AB与点M，如图所示，
∵直线y=34x−6与x轴和y轴分别相交于点A和点B，
∴令x=0，得y=−6，
令y=0，得x=8，
∴A(8,0)，B(0,−6)，
∴OB=6，OA=8，
∴AB= OB2+OA2= 82+62=10，
∵BP是∠OBA的平分线，
∴∠OBC=∠MBC，
∴△OBC≌△MBC(AAS)，
∴OC=CM=m，OB=BM=6，
∵AB=10，
∴AM=AB−BM=10−6=4，AC=AO−OC=8−m，
在Rt△ACM中，(8−m)2=m2+42，
解得m=3．
答：m的值为3．
(2)由(1)可得C(3,0)，
∵点P与点B关于点C对称，
∴点P的横坐标为2×3−0=6，纵坐标为2×0−(−6)=6，
∴P(6,6)，
设反比例函数为y=kx(k为常数，k≠0)，
∵图象经过点P，
∴6=k6，
解得：k=36，
∴经过点P的反比例函数解析式为y=36x．
答：经过点P的反比例函数解析式为y=36x．
(3)连接PA，过点B作BD//PA，过点A作AD//PB，BD与AD交于一点D，连接BD，AD，如图所示，
由(1)(2)可得A(8,0)，B(0,−6)，P(6,6)，
∵四边形ADBP是平行四边形，
∴设BP所在的直线为y=k1x+b1，
∴6k1+b1=6b1=−6，
解得k1=2b1=−6，
∵BP//AD，
∴设AD所在的直线为y=2x+b2，
将点A的坐标代入可得b2=−16，
∴AD所在的直线为y=2x−16，
设AP所在的直线为y=k2x+b3，
将点A、P的坐标代入得8k2+b2=06k2+b2=6，
解得k2=−3b2=24，
∵AP//BD，两直线斜率相同，
∴设BD所在的直线为y=−3x+b4
将点B坐标代入可得b4=−6，
∴BD所在的直线为y=−3x−6，
联立y=2x−16y=−3x−6，
解得x=2y=−12，
∴D(2,−12)．
故答案为：(2,−12)．
(1)作辅助线，证明△OBC≌△MBC(AAS)，再根据边长之间的关系，利用勾股定理即可得到答案；
(2)点P与点B关于点C对称，据此可求出P(6,6)，代入反比例函数中即可求得解析式；
(3)根据题意求出平行四边形四条边所在的直线方程，然后求出直线BD和直线AD的交点坐标即可．
本题考查了反比例函数综合应用，主要考查的是角平分线的性质，勾股定理，反比例函数、平行四边形的性质，解题的关键是准确找到边长之间的关系．
26.【答案】(1)证明：如图1，过点D作DE//AB交BC于点E，
∵AD//BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB=3，BE=AD，∠DEC=∠B=60°，
∵BC=7，
∴CE=BC−BE=7−4=3，
∴DE=CE，
又∠DEC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC=DE，
∴DC=AB，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形；
(2)①如图2，过点D作DF⊥MA的延长线于点F，
∴∠DFA=90°，
∵AD//BC，
∴∠FAD=∠ABC=60°，
∴∠ADF=30°，
∴AF=12AD=12×4=2，
由勾股定理得DF= AD2−AF2= 42−22=2 3，
∵AF=2，AB=3，BM=x，
∴MF=AF+AB+BM=5+x，
在Rt△MFD中，由勾股定理得DM2=DF2+MF2，
∵DM=y，
∴y2=(2 3)2+(5+x)2，
整理得y2=x2+10x+37，
∴y关于x的函数解析式y= x2+10x+37，定义域x>0；
②∵△AMD是等腰三角形，
∴AM=AD或AM=DM或AD=MD，
当AM=AD时，
∵AD=4，
∴AM=4，
∴点M在AB的延长线上，
∴BM=AM−AB=4−3=1，
如图3，过点B作BH⊥MN于点H，
∵AD//BC，
∴∠ABC+∠A=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠A=120°，
∵AM=AD，
∴∠AMD=∠ADM=30°，
∴BH=12BM=12×1=12，
由勾股定理得MH= BM2−BH2= 12−(12)2= 32，
∵AD//BC，
∴∠BNM=∠ADM=30°，
∴∠AMD=∠BNM=30°，
∴BM=BN，
∵BH⊥MN，
∴NH=MH= 32，
∴MN= 3，
∴S△BMN=12MN⋅BH=12× 3×12= 34；
当AM=DM时，∠MDA=∠A=120°，不合题意，舍去；
当AD=MD时，∠DMA=∠A=120°，不合题意，舍去；
综上，△BMN的面积为 34．
【解析】(1)过点D作DE//AB交BC于点E，先证四边形ABED是平行四边形，再证△DEC是等边三角形，于是问题得证；
(2)①过点D作DF⊥MA的延长线于点F，先根据平行线的性质得出∠FAD=60°，从而求出AF、DF的长，于是得出MA的长，最后在Rt△MFD
中利用勾股定理求出y与x之间的关系即可；
②分三种情况讨论，若△AMD是等腰三角形，则AM=AD或AM=DM或AD=MD，当AM=AD时，先得出BM=1，过点B作BH⊥MN于点H，求出BH、MN的长，即可求出△BMN的面积；当AM=DM或AD=MD时，根据三角形内角和定理判断这两种情况不成立．
本题考查了等腰梯形的判定，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想的运用．
2022-2023学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，属于无理方程的是( )
A. x2− 2=0 B. 2x=1 C. 2x=1 D. 2x=0
2. 下列事件中，是随机事件的是( )
A. 直线y=2x−1与直线y=x+2有公共点
B. 10位学生分3组，至少有一组人数超过3
C. 任取一个实数，它的平方小于零
D. 打开电视时正在播放广告
3. 如果关于x的方程(m+2)x=1无解，那么m的取值范围是( )
A. m=−2 B. m≠−2 C. m>−2 D. m<−2
4. 下列方程中，x=1是它的根的方程为( )
A. x2−1x−1=0 B. 2x3−6=0 C. x+1=0 D. x2x+1=1x+1
5. 下列判断中，不正确的是( )
A. AB+BA=0 B. a+b+c=c+b+a
C. 如果|AB|=|CD|，那么AB=CD D. a+(b+c)=(a+b)+c
6. 已知四边形ABCD中，∠A=90°，AB//CD，∠B=∠D，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A. ∠D=90° B. AB=CD C. BC=CD D. AC=BD
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
7. 方程x3−27=0的根是______．
8. 判断点(2,3)是否在函数y=2x−7的图象上．______ (填“是”或“否”)
9. 已知一次函数y=2x+b的图象经过第一、二、三象限，则b的取值范围是______ ．
10. 方程(x+1) x−1=0的根是______ ．
11. 用换元法解分式方程x2+1x−2xx2+1=3时，如果设xx2+1=y，那么原方程可以化为关于y的方程是______．
12. 如果一个多边形的每一个内角都等于120°，那么这个多边形的边数是______．
13. 在4张卡片的正面分别画上等边三角形、平行四边形、矩形和菱形，卡片的质地、大小、背面完全相同，现把它们正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是______ ．
14. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，点E、F分别是边AC、AB的中点，如果AB长为26，AC：CB=12：5，那么中位线EF的长为______ ．
15. 某款新能源车在两年内价格从25万元降至16万元.如果设每年降价的百分率均为x(x>0)，则由题意可列方程：______ ．
16. 已知f(x)=kx+b(k≠0)，如果f(−1)>f(2)，且f(2)=0，那么不等式kx+b>0的解集是______ ．
17. 如果将矩形沿一内角的平分线对折，折痕将矩形一边分为1厘米和3厘米两部分，那么这个矩形的面积为______ 平方厘米．
18. 在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点P(2,2)与点Q(−2,−3)为“坐标轴等距点”.已知点A的坐标为(−3,2)，如果点B在直线y=x−1上，且A、B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19. 解方程：xx+2+x+2x−2=8x2−4．
四、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题7.0分)
解方程组：x2+xy=0①x2−2xy−1+y2=0②．
21. (本小题7.0分)
如图，已知AE//BF，AC平分∠BAE交BF于点C，BD平分∠ABF，交AE于点D，AC、BD交于点O，联结CD．
(1)设OA=a，OD=b.试用向量a、b表示下列向量：OB= ______ ，OC= ______ ，AB= ______ ，BC= ______ ．
(2)如果∠BAD=120°，|AB|=1，那么|BD|= ______ ．
22. (本小题8.0分)
某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品.公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元．
(1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______ ；
(2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件．
23. (本小题8.0分)
如图1，矩形ABCD中，E是对角线AC上一个动点(不与点A重合)，作EF⊥BC，交BC于点F，联结BE，如果设CF=x，△ABE面积为y，那么可得y关于x的函数图象(如图2所示)．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出其定义域；
(2)求△ABC的面积及矩形对角线AC的长．
24. (本小题8.0分)
已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，联结EF、FG、GH、HE．
(1)求证：四边形EFGH是菱形；
(2)如果AD=3，BC=5，且EF⊥FG，求四边形EFGH的面积．
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=34x−6与x轴和y轴分别相交于点A和点B，∠OBA的平分线BP交OA于点C，点C坐标(m,0)，点P与点B关于点C对称．
(1)求m的值；
(2)求图象经过点P的反比例函数解析式；
(3)已知点D是坐标平面内一点，如果四边形ADBP是平行四边形，那么点D的坐标是______ .(请将点D的坐标直接填写在空格内)
26. (本小题12.0分)
(1)如图1，梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，AB=3，BC=7，∠B=60°.求证：四边形ABCD是等腰梯形；
(2)点M是直线AB上的一点，直线DM交直线BC于点N．
①当点M在线段AB的延长线上时(如图2)，设BM=x，DM=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
②如果△AMD是等腰三角形，求△BMN的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A属于一元二次方程，所以不是无理方程，不符合题意；
B属于无理方程，符合题意；
C属于分式方程，所以不是无理方程，不符合题意；
D属于一元一次方程，所以不是无理方程，不符合题意．
故选：B．
根据方程的相关知识对四个选项进行判断．
本题主要考查了一元二次方程的定义、无理方程的知识、分式方程的定义、一元一次方程的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A、直线y=2x−1与直线y=x+2不平行，所以它们有公共点，是必然事件，不符合题意；
B、10位学生分3组，至少有一组人数超过3，是必然事件，不符合题意；
C、任取一个实数，它的平方小于零，是不可能事件，不符合题意；
D、打开电视时正在播放广告，是随机事件，符合题意；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】A
【解析】解：由题意，∵(m+2)x=1无解，
∴m+2=0．
∴m=−2．
故选：A．
依据题意，由一次方程无解，从而m+2=0，故可得解．
本题主要考查了一元一次方程的解，解题时要能熟练掌握并理解．
4.【答案】D
【解析】解：A．x2−1x−1=0，
x2−1=0，
解得：x=±1，
经检验x=1是增根，x=−1是方程的解，即x=1不是方程的解，故本选项不符合题意；
B.2x3−6=0，
2x3=6，
x3=3，
解得：x=33，即x=1不是方程的解，故本选项不符合题意；
C. x+1=0，
x=−1，
不论x为何值，x的算术平方根不能为负数，
所以此方程无解，即x=1不是方程的解，故本选项不符合题意；
D.x2x+1=1x+1，
方程两边都乘x+1，得x2=1，
解得：x=±1，
经检验x=−1不是方程的解，x=1是方程的解，故本选项符合题意；
故选：D．
选项A和选项D把分式方程化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；选项B求出x3=3，再求出方程的解即可；选项C求出 x=−1，再求出方程无解即可．
本题考查了方程的解，解无理方程和解分式方程等知识点，能求出方程的解是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB+BA=0，a+b+c=c+b+a，a+(b+c)=(a+b)+c，
∴A、B、D正确，
∵|AB|=|CD|，
∴AB=CD或AB=DC，
故C错误，
故选：C．
根据平面向量的加减运算法则计算即可．
本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠A=∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴添加BC=CD，
∴四边形ABCD是正方形，
故选：C．
根据平行线的性质得到∠A=∠C，根据平行四边形的判定，矩形的判定以及正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
7.【答案】x=3
【解析】解：x3−27=0，
x3=27，
x=327=3，
故答案为：x=3．
先移项，再开立方即可．
本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．
8.【答案】否
【解析】解：当x=2时，y=2x−7=−3，
所以(2,3)不在函数y=2x−7的图象上．
故答案为：否．
把点坐标代入解析式通即可判断点是否在函数图象上．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标一定适合函数的解析式是解题的关键．
9.【答案】b>0
【解析】解：∵一次函数y=2x+b的图象经过一、二、三象限，
∴b>0．
故答案为b>0．
根据一次函数图象与系数的关系得到b>0，然后对选项进行判断．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,b)．
10.【答案】1
【解析】解：将方程左右两边同时平方，得(x+1)2(x−1)=0．
解得：x=−1或x=1．
检验：当x=−1时，x−1=−2<0，二次根式 x−1在实数范围内无意义，
∴x=1．
故答案为：1．
x+1=0或x−1=0，并要求x−1≥0(即x≥1)，直接解答即可．
本题考查如何解无理方程，特别需要注意要使二次根式的被开方数大于等于零．
11.【答案】2y2+3y−1=0
【解析】解：∵y=xx2+1，
∴原方程化为1y−2y=3，
整理得，2y2+3y−1=0．
故答案为：2y2+3y−1=0．
根据换元法，把xx2+1换成y，然后整理即可得解．
本题考查了换元法解分式方程，换元法是解分式方程常用的方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
12.【答案】6
【解析】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，
∴多边形的每一个外角都等于180°−120°=60°，
∴边数n=360°÷60°=6．
故答案为：6．
先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除即可得到边数．
本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
13.【答案】12
【解析】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是矩形、菱形，概率是：24=12．
故答案为：12．
由等边三角形、平行四边形、矩形、菱形中既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是矩形、菱形，利用概率公式即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】5
【解析】解：设AC=12x，则CB=5x，
由勾股定理得：AC2+CB2=AB2，即(12x)2+(5x)2=262，
解得：x=2(负值舍去)，
∴CB=5x=10，
∵点E、F分别是边AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12CB=5，
故答案为：5．
根据勾股定理求出CB，再根据三角形中位线定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】25(1−x)2=16
【解析】解：依题意得：25(1−x)2=16．
故答案为：25(1−x)2=16．
由”新能源车在两年内价格从25万元降至16万元“，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】x<2
【解析】解：当x=2时，y=0，
根据题意可以知道函数值y随x的增大而减小，
故不等式kx+b>0的解集是x<2．
故答案是：x<2．
根据“f(x)=kx+b(k≠0)，f(−1)>f(2)”可以推断该函数值是随x的增大而减小，再得出y=0时，对应的x的值即可．
此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
17.【答案】4或12
【解析】解：设矩形ABCD的内角∠ABC的平分线交AD于点E，
∵∠A=∠ABC=90°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴AB=AE，
如图1，AE=1厘米，DE=3厘米，
∴AB=AE=1厘米，AD=AE+DE=1+3=4(厘米)，
∴S矩形ABCD=AD⋅AB=4×1=4(平方厘米)；
如图2，DE=1厘米，AE=3厘米，
∴AB=AE=3厘米，AD=AE+DE=3+1=4(厘米)，
∴S矩形ABCD=AD⋅AB=4×3=12(平方厘米)，
综上所述，矩形的面积为4平方厘米或12平方厘米，
故答案为：4或12．
设矩形ABCD的内角∠ABC的平分线交AD于点E，先证明AB=AE，再分两种情况讨论，一是AE=1厘米，DE=3厘米，则AB=AE=1厘米，AD=AE+DE=4厘米，所以S矩形ABCD=AD⋅AB=4平方厘米；二是DE=1厘米，AE=3厘米，则AB=AE=3厘米，AD=AE+DE=4厘米，所以S矩形ABCD=AD⋅AB=12平方厘米，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、矩形的面积公式等知识，证明矩形的一个内角的平分线在该矩形上截得的三角形是等腰三角形是解题的关键．
18.【答案】(−2,−3)或(3,2)
【解析】解：∵点A的坐标为(−3,2)，
∴点A到x、y轴的距离中的最小值为2，
∵A、B两点为“坐标轴等距点”，
∴点B到x、y轴的距离中的最小值为2．
当x=−2时，y=−2−1=−3，|−3|>|−2|，
∴点B到x、y轴的距离中的最小值为2，
∴点B的坐标为(−2,−3)；
当x=2时，y=2−1=1，|1|<|2|，
∴点B到x、y轴的距离中的最小值为1，不符合题意，舍去；
当y=−2时，x−1=−2，
解得：x=−1，
∵|−1|<|−2|，
∴点B到x、y轴的距离中的最小值为1，不符合题意，舍去；
当y=2时，x−1=2，
解得：x=3，
∵|3|>|2|，
∴点B到x、y轴的距离中的最小值为2，
∴点B的坐标为(3,2)．
综上所述，点B的坐标为(−2,−3)或(3,2)．
故答案为：(−2,−3)或(3,2)．
由点A的坐标，可得出点A到x、y轴的距离中的最小值为2，结合A、B两点为“坐标轴等距点”，可得出点B到x、y轴的距离中的最小值为2，再结合点B在直线y=x−1上，即可得出点B的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“坐标轴等距点”的定义及一次函数图象上点的坐标特征，找出点B的坐标是解题的关键．
19.【答案】解：方程两边都乘(x+2)(x−2)，得
x(x−2)+(x+2)2=8，
x2−2x+x2+4x+4=8，
整理得x2+x−2=0．
解得x1=−2，x2=1．
经检验，x2=1为原方程的根，x1=−2是增根(舍去)．
∴原方程的根是x=1．
【解析】本题的最简公分母是(x+2)(x−2).方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果需检验．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解；
(2)解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
20.【答案】解：由①，得x(x+y)=0，
∴x=0或者x+y=0．
由②，得(x2−2xy+y2)−1=0，
∴(x−y)2−1=0．
∴(x−y+1)(x−y−1)=0．
∴x−y+1=0或者x−y−1=0．
所以原方程组可变形为x=0x−y+1=0或x=0x−y−1=0或x+y=0x−y−1=0或x+y=0x−y+1=0．
解得x1=0y1=1，x2=0y2=−1，x3=12y3=−12，x4=−12y4=12．
所以原方程组的解为x1=0y1=1，x2=0y2=−1，x3=12y3=−12，x4=−12y4=12．
【解析】先把组中各方程化为几个一次方程，构造二元一次方程组，求解即可．
本题主要考查了由高次方程组成的方程组的解法，掌握整式的因式分解方法和二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
21.【答案】−b −a −b−a b−a 3
【解析】解：(1)∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠CAD，
∵AE//BF，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
同理可得，AB=AD
∴BC=AD，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴▱ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OA=a，OD=b，
∴OB=−b，OC=−a，
∴AB=OB−OA=−b−a，BC=OC−OB=−a−(−b)=b−a，
故答案为：−b；−a；−b−a；b−a；
(2)由(1)知，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAO=60°，
∴BO= 32AB= 32，
∴BD= 3，
∴|BD|= 3，
故答案为： 3．
(1)根据平行线的性质以及角平分线的定义推出四边形ABCD是菱形，再根据平面向量三角形运算法则即可求解；
(2)根据含30°角的直角三角形的性质求出BO的长即可求解．
本题考查了菱形的判定与性质，平面向量，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】160−x
【解析】解：(1)设从乙地购进的商品件数是y，
则：200(x+y)=11000+9000+12000，
解得：y=160−x，
故答案为：160−x；
(2)由题意得：9000x−30=12000160−x，
解得：x=60或x=800(不合题意，舍去)，
经检验：x=60是原分式方程的解，
∴160−x=100，
答：公司从甲地购进商品80件，从乙两地购进商品100件．
(1)根据题意列方程求解；
(2)根据题意列方程求解．
本题考查了方程的应用，理解题意找出相等关系是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
∴将(0,24)，(4,8)，代入得，
b=244k+b=8，
∴解得b=24k=−4，
∴y=−4x+24；
当x=0时，即−4x+24=0，
解得x=6，
∵点E不与点A重合，
∴定义域为0≤x<6；
(2)当x=0时，点E与点C重合，
∴S△ABC=S△ABE=24，
∴△ABC的面积为24；
由(1)可得，当y=0时，解得x=6，
∴BC=FC=6，
∵S△ABC=24，四边形是矩形，
∴12⋅AB⋅BC=24，即12⋅AB×6=24，
∴AB=8，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AC=10．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)首先根据题意得到当x=0时，点E于点C重合，进而得到△ABC的面积为24；然后由y=0，解得x=6，最后利用三角形面积公式求解即可．
此题考查了一次函数与几何结合，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
24.【答案】(1)证明：连接AC，BD，
∵梯形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∵E、F分别是AB、BC中点，
∴EF是△BAC的中位线，
∴EF=12AC，
同理：FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形；
(2)解：连接EG，
∵E、G分别是AB、CD的中点，
∴EG是梯形的中位线，
∴EG=12(AD+BC)=12×(3+5)=4，
∵EF⊥FG，
∴∠EFG=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG，
∵EF2+FG2=EG2=42=16，
∴EF2=8，
∴四边形EFGH的面积=EF2=8．
【解析】(1)由等腰梯形的性质得到AC=BD，由三角形中位线定理推出EF=FG=GH=EH，即可证明四边形EFGH是菱形；
(2)由梯形中位线定理得到EG的长，可以证明四边形EFGH是正方形，由勾股定理求出EF2的值，即可得到四边形EFGH的面积．
本题考查菱形的判定，正方形的判定，梯形，中点四边形，勾股定理，关键是掌握菱形的判定方法．
25.【答案】(2,−12)
【解析】解：(1)过点C作CM⊥AB与点M，如图所示，
∵直线y=34x−6与x轴和y轴分别相交于点A和点B，
∴令x=0，得y=−6，
令y=0，得x=8，
∴A(8,0)，B(0,−6)，
∴OB=6，OA=8，
∴AB= OB2+OA2= 82+62=10，
∵BP是∠OBA的平分线，
∴∠OBC=∠MBC，
∴△OBC≌△MBC(AAS)，
∴OC=CM=m，OB=BM=6，
∵AB=10，
∴AM=AB−BM=10−6=4，AC=AO−OC=8−m，
在Rt△ACM中，(8−m)2=m2+42，
解得m=3．
答：m的值为3．
(2)由(1)可得C(3,0)，
∵点P与点B关于点C对称，
∴点P的横坐标为2×3−0=6，纵坐标为2×0−(−6)=6，
∴P(6,6)，
设反比例函数为y=kx(k为常数，k≠0)，
∵图象经过点P，
∴6=k6，
解得：k=36，
∴经过点P的反比例函数解析式为y=36x．
答：经过点P的反比例函数解析式为y=36x．
(3)连接PA，过点B作BD//PA，过点A作AD//PB，BD与AD交于一点D，连接BD，AD，如图所示，
由(1)(2)可得A(8,0)，B(0,−6)，P(6,6)，
∵四边形ADBP是平行四边形，
∴设BP所在的直线为y=k1x+b1，
∴6k1+b1=6b1=−6，
解得k1=2b1=−6，
∵BP//AD，
∴设AD所在的直线为y=2x+b2，
将点A的坐标代入可得b2=−16，
∴AD所在的直线为y=2x−16，
设AP所在的直线为y=k2x+b3，
将点A、P的坐标代入得8k2+b2=06k2+b2=6，
解得k2=−3b2=24，
∵AP//BD，两直线斜率相同，
∴设BD所在的直线为y=−3x+b4
将点B坐标代入可得b4=−6，
∴BD所在的直线为y=−3x−6，
联立y=2x−16y=−3x−6，
解得x=2y=−12，
∴D(2,−12)．
故答案为：(2,−12)．
(1)作辅助线，证明△OBC≌△MBC(AAS)，再根据边长之间的关系，利用勾股定理即可得到答案；
(2)点P与点B关于点C对称，据此可求出P(6,6)，代入反比例函数中即可求得解析式；
(3)根据题意求出平行四边形四条边所在的直线方程，然后求出直线BD和直线AD的交点坐标即可．
本题考查了反比例函数综合应用，主要考查的是角平分线的性质，勾股定理，反比例函数、平行四边形的性质，解题的关键是准确找到边长之间的关系．
26.【答案】(1)证明：如图1，过点D作DE//AB交BC于点E，
∵AD//BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB=3，BE=AD，∠DEC=∠B=60°，
∵BC=7，
∴CE=BC−BE=7−4=3，
∴DE=CE，
又∠DEC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC=DE，
∴DC=AB，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形；
(2)①如图2，过点D作DF⊥MA的延长线于点F，
∴∠DFA=90°，
∵AD//BC，
∴∠FAD=∠ABC=60°，
∴∠ADF=30°，
∴AF=12AD=12×4=2，
由勾股定理得DF= AD2−AF2= 42−22=2 3，
∵AF=2，AB=3，BM=x，
∴MF=AF+AB+BM=5+x，
在Rt△MFD中，由勾股定理得DM2=DF2+MF2，
∵DM=y，
∴y2=(2 3)2+(5+x)2，
整理得y2=x2+10x+37，
∴y关于x的函数解析式y= x2+10x+37，定义域x>0；
②∵△AMD是等腰三角形，
∴AM=AD或AM=DM或AD=MD，
当AM=AD时，
∵AD=4，
∴AM=4，
∴点M在AB的延长线上，
∴BM=AM−AB=4−3=1，
如图3，过点B作BH⊥MN于点H，
∵AD//BC，
∴∠ABC+∠A=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠A=120°，
∵AM=AD，
∴∠AMD=∠ADM=30°，
∴BH=12BM=12×1=12，
由勾股定理得MH= BM2−BH2= 12−(12)2= 32，
∵AD//BC，
∴∠BNM=∠ADM=30°，
∴∠AMD=∠BNM=30°，
∴BM=BN，
∵BH⊥MN，
∴NH=MH= 32，
∴MN= 3，
∴S△BMN=12MN⋅BH=12× 3×12= 34；
当AM=DM时，∠MDA=∠A=120°，不合题意，舍去；
当AD=MD时，∠DMA=∠A=120°，不合题意，舍去；
综上，△BMN的面积为 34．
【解析】(1)过点D作DE//AB交BC于点E，先证四边形ABED是平行四边形，再证△DEC是等边三角形，于是问题得证；
(2)①过点D作DF⊥MA的延长线于点F，先根据平行线的性质得出∠FAD=60°，从而求出AF、DF的长，于是得出MA的长，最后在Rt△MFD
中利用勾股定理求出y与x之间的关系即可；
②分三种情况讨论，若△AMD是等腰三角形，则AM=AD或AM=DM或AD=MD，当AM=AD时，先得出BM=1，过点B作BH⊥MN于点H，求出BH、MN的长，即可求出△BMN的面积；当AM=DM或AD=MD时，根据三角形内角和定理判断这两种情况不成立．
本题考查了等腰梯形的判定，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想的运用．
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