2023年山东省泰安市泰山区东岳中学中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省泰安市泰山区东岳中学中考数学三模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省泰安市泰山区东岳中学中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的倒数是(    )
A. 2023 B. −2023 C. 12023 D. −12023
2. 下面计算错误的是(    )
A. (−12 a2b)3=−18a6b3 B. 2a2+a2=3a4
C. x8÷x2=x6 D. (−3a2)3=−27a6
3. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
4. 如图，AB//CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED=(    )
A. 55° B. 125° C. 135° D. 140°
5. 为了保护环境，加强环保教育，某中学组织学生参加义务手机废旧电池的活动，随机抽取班上30名学生进行调查，并将调查结果绘制成统计表，请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是(    )
收集的废
电池数(个)
4
5
6
7
8
人数(人)
6
9
11
3
1

A. 平均数是6.5节 B. 众数是11节 C. 中位数是5.5节 D. 极差为10
6. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺四寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5.4尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为(    )
A. y−x=5.4y−x2=1 B. x−y=5.4x−y2=1 C. y−x=5.4x−y2=1 D. x−y=5.4y−x2=1
7. 如图所示，在同一坐标系中，直线y=ax+b和抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)的图象可能是(    )
A. B.
C. D.
8. 如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD等于(    )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 32.5°
9. 位于南岸区黄桷垭的文峰塔，有着“平安宝塔”之称．某校数学社团对其高度AB进行了测量．如图，他们从塔底A的点B出发，沿水平方向行走了13米，到达点C，然后沿斜坡CD继续前进到达点D处，已知DC=BC.在点D处用测角仪测得塔顶A的仰角为42°(点A，B，C，D，E在同一平面内).其中测角仪及其支架DE高度约为0.5米，斜坡CD的坡度(或坡比)i=1：2.4，那么文峰塔的高度AB约为(sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)(    )
A. 22.5 米 B. 24.0 米 C. 28.0 米 D. 33.3 米
10. 如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB=4，BC=2，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE，则EF的长为(    )


A. 8−4 3 B. 2 3 C. 4 3−6 D. 65
11. 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如表：
X
−1
 0
 1
 3
y
−135
 3
 295
3
下列结论：
(1)abc1时，y的值随x值的增大而减小；
(3)16a+4b+c1．
20. (本小题10.0分)
在疫情期间，线上买菜需求激增，某小区为了解居民使用买菜APP的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查(每户必选且只能选最常用的一个APP)，现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：(A：天虹到家，B：叮咚买菜，C：每日优选，D：盒马鲜生)
(1)本次随机调查了        户居民；
(2)补全条形统计图的空缺部分；
(3)若小区共有2400户居民，请估计该小区居民选择“C：每日优选”的大约有        户；
(4)某日下午，王阿姨想购买橙子和卷心菜，各APP的供货情况如下：天虹到家仅有橙子在售，叮咚买菜仅有卷心菜在售，每日优选仅有卷心菜在售，盒马鲜生的橙子、卷心菜均已全部售完，求王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率．

21. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(x>0)与一次函数y=ax+b(a≠0)的图象相交于点A(2,m)与点B(4,2)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得AP+BP最小，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

22. (本小题10.0分)
清明是二十四节气之一，也是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗.清明节前市场上肉松蛋黄青团比芝麻青团的进价每盒便宜10元，某商家用800元购进的芝麻青团和用600元购进的肉松蛋黄青团盒数相同.在销售中，该商家发现芝麻青团每盒售价50元时，每天可售出100盒，当每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
(1)求芝麻青团和肉松蛋黄青团的进价；
(2)已知芝麻青团每盒的售价不高于65元，W表示该商家每天销售芝麻青团的利润(单位；元)，芝麻青团每盒售价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
23. (本小题12.0分)
如图，等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB，AC为边长在AB同侧作等边△ABD和等边△ACE，AD与CE相交于点F，连接DE，DC．
(1)求证：BC=DE；
(2)求证：CD2=AC⋅FC；
(3)已知AB=2，求线段EF的长．

24. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=x2−bx+c过点B(3,0)，C(0,−3)，D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2)点C关于抛物线y=x2−bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求∠CBE的正切值；
(3)在(2)的条件下，点M是抛物线对称轴上且在CE上方的一点，是否存在点M使△DMB和△BCE相似？若存在，求点M坐标；若不存在，请说明理由．

25. (本小题14.0分)
定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．

(1)[初步理解]：如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCD+12∠BAD=180°，求证：△ACB和△ADC为叠似三角形；
(2)[尝试应用]：在(1)的基础上，如图2，若CD//AB，AD=4，AC=6，求四边形ABCD的周长；
(3)[拓展提高]：如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E在AD上，且DE=DC，F为AC中点，且∠BEC=∠AEF.若BC=9，AE=4，求EFBE的值．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题考查的是倒数的定义，乘积是1的两数互为倒数．
根据倒数的定义解答即可．
【解答】
解：−2023的倒数是−12023．
故选：D．  
2.【答案】B 
【解析】解：A、(−12 a2b)3=−18a6b3，故A不符合题意；
B、2a2+a2=3a2，故B符合题意；
C、x8÷x2=x6，故C不符合题意；
D、(−3a2)3=−27a6，故D不符合题意；
故选：B．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

3.【答案】B 
【解析】解：A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

4.【答案】B 
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠C+∠CAB=180°，
∵∠C=70°，
∴∠CAB=180°−70°=110°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB=55°，
∵AB//CD，
∴∠EAB+∠AED=180°，
∴∠AED=180°−55°=125°．
故选：B．
根据平行线性质求出∠CAB，根据角平分线求出∠EAB，根据平行线性质求出∠AED即可．
本题考查了角平分线定义和平行线性质的应用，注意：平行线的性质有：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

5.【答案】C 
【解析】解：这组数据的平均数为：4×6+5×9+6×11+7×3+8×130≈5.47(节)，故选项A不合题意；
众数为7节，故选项B不合题意；
中位数为：5+62=5.5(节)，故选项C符合题意；
极差为：8−4=4(节)，故选项D不合题意．
故选：C．
根据众数、中位数、平均数及极差的定义列式计算即可．
本题主要考查众数、中位数、加权平均数以及极差，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．

6.【答案】C 
【解析】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5.4尺，
∴y−x=5.4；
∵将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
∴x−y2=1．
∴所列方程组为y−x=5.4x−y2=1．
故选：C．
根据“用绳子去量木条，绳子剩余5.4尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：由图可知，a0，
所以，抛物线y=ax2+bx+c开口方向向下，
对称轴为直线x=−b2a>0，
所以，只有C选项图象符合．
故选C．
先根据一次函数图象确定出a0，然后确定出抛物线开口方向和对称轴，即可得解．
本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、b的正负情况是解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∵∠AEC=65°，
∴∠OCE=180°−90°−65°=25°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=25°，
∴∠DOC=180°−25°−25°=130°，
∴∠DOB=∠DOC−∠BOC=130°−90°=40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD=12∠DOB=20°，
故选：A．
连接OD，根据三角形内角和定理求出∠OCD，根据等腰三角形的性质求出∠ODC，根据三角形内角和定理求出∠DOC，求出∠DOB，再根据圆周角定理求出∠BAD即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和圆周角定理等知识点，能求出∠DOB的度数是解此题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：过点E作EM⊥AB与点M，
∵斜坡CD的坡度(或坡比)i=1：2.4，BC=CD=13米，
∴设CD=x，则CG=2.4x．
在Rt△CDG中，
∵DG2+CG2=DC2，即x2+(2.4x)2=132，解得x=5，
∴DG=5米，CG=12米，
∴EG=5+0.5=5.5米，BG=13+12=25米．
∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∴EM=BG=25米，BM=EG=5.5米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM=42°，
∴AM=EM⋅tan42°≈25×0.90=22.5米，
∴AB=AM+BM=22.5+5.5=28米．
故选：C．
过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度(或坡比)i=1：2.4可设CD=x，则CG=2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM=BG，BM=EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

10.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，
由翻折的性质可知：BF=AB=4，AE=EF，
设AE=EF=x，
∴CF= BF2−BC2=2 3，
在Rt△DEF中，
∵DE2+DF2=EF2，
∴(2−x)2+(4−2 3)2=x2，
∴x=8−4 3，
故选：A．
由翻折的性质可知：BF=AB=4，AE=EF，设AE=EF=x，在Rt△DEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

11.【答案】C 
【解析】解：(1)∵x=−1时y=−135，x=0时，y=3，x=1时，y=295，
∴a−b+c=−135c=3a+b+c=295，
解得a=−75b=215c=3
∴abc32时，y的值随x值的增大而减小，故错误；
(3)∵对称轴为直线x=32，
∴当x=4和x=−1时对应的函数值相同，
∴16a+4b+c4． 
【解析】(1)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可；
(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是分式的化简求值及解一元一次不等式组，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．

20.【答案】200  480 
【解析】解：(1)根据题意，得
30÷15%=200(户)，
答：本次随机调查了200户居民；
故答案为：200；
(2)∵200−80−40−30=50(户)，
∴条形统计图的A：天虹到家为50户，
如图为补全的条形统计图，

(3)2400×40200=480(户)，
答：估计该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有480户；
故答案为：480；
(4)根据题意画出树状图，

根据树状图可知：
所有等可能的结果有12种，
随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的有4种，
所以随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率是412=13．
答：王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率为13．
(1)根据题意即可得本次随机调查的户数；
(2)根据题意计算出选择A：天虹到家的户数即可补全条形统计图的空缺部分；
(3)结合两幅图形所给信息即可估计该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有多少户；
(4)根据题意画出树状图，即可得张阿姨随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率．
本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解决本题的关键是掌握树状图法求概率．

21.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过B(4,2)，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数的表达式为y=8x，
∵点A(2,m)在y=8x上，
∴m=4，
∴A点坐标为(2,4)；
把A，B两点的坐标代入y=ax+b，得2a+b=44a+b=2，
解得a=−1b=6，
∴一次函数的表达式为：y=−x+6；
(2)当x=0时，y=−x+6=6，
∴D点坐标为(0,6)，
∴S△AOB=S△BOD−S△AOD=12×6×4−12×6×2=6，
即△AOB的面积为6；
(3)在x轴上存在点P，使得AP+PB最小．
作点B(4,2)关于x轴的对称点B′(4,−2)，如图，连接AB′．
设直线AB′的解析式为：y=a′x+b′，
∴2a′+b′=44a′+b′=−2，
解得a′=−3b′=10，
∴直线AB′的解析式为：y=−3x+10，
令y=0，解得x=103，
∴P(103,0)可使AP+BP最小． 
【解析】(1)把B点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
(2)△AOB的面积=△BOD的面积−△AOD的面积；
(3)首先求得点B关于x轴的对称点的坐标，然后求得直线AB′的解析式后求得其与x轴的交点即可求得点P的坐标．
本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，轴对称−最短路线问题．正确运用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式是解题的关键．

22.【答案】解：(1)设芝麻青团的进价为每盒a元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒(a−10)元，
根据题意得：800a=600a−10，
解得a=40，
经检验，a=40是原方程的根，
此时a−10=40−10=30，
答：芝麻青团的进价为每盒40元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒30元；
(2)设芝麻青团每盒售价x元，
根据题意得：W=(x−40)[100−2(x−50)]=(x−40)(−2x+200)=−2x2+280x−8000=−2(x−70)2+1800，
∵−2