2023年山东省枣庄市台儿庄区中考数学三调试卷（含解析）

这是一份2023年山东省枣庄市台儿庄区中考数学三调试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省枣庄市台儿庄区中考数学三调试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下计算正确的是(    )
A. (−2ab2)3=−6a3b6 B. 3ab+2b=5ab
C. (−x2)⋅(−2x)3=−8x5 D. 2m(mn2−3m2)=2m2n2−6m3
2. 如图，AB//CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB=50°，则∠GMH的度数为(    )
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°
3. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(    )
A. (x+2)(x−2)=x2−4 B. x2−4+4x=(x+2)(x−2)+4x
C. x2−12x+116=(x−14)2 D. x2−1y2=(x+1y)(x−1y)
4. 如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(−2,5)，则点C的坐标是(    )


A. (5,−2) B. (2,−5) C. (2,5) D. (−2,−5)
5. 将直线y=2x+1向上平移2个单位，相当于(    )
A. 向左平移2个单位 B. 向左平移1个单位 C. 向右平移2个单位 D. 向右平移1个单位
6. 若关于x的方程2x=m2x+1无解，则m的值为(    )
A. 0 B. 4或6 C. 6 D. 0或4
7. 正整数a、b分别满足353 A. 16 B. 9 C. 8 D. 4
8. 如图，在半径为 13的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD的长是(    )


A. 2 6 B. 2 10 C. 2 11 D. 4 3
9. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc>0；
②2a+b=0；
③3b−2c<0；
④am2+bm≥a+b(m为实数)．
其中正确结论的个数是(    )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF//BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD.若AE=2，PF=8.则图中阴影部分的面积为(    )


A. 10 B. 12 C. 16 D. 18
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知9m=3，27n=4，则32m+3n= ______ ．
12. 从不等式组2x+3≤x+92x+43−1>2−x所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是______．
13. 已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为 2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于______．
14. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，DB平分∠ADC.若AD=1，CD=3，则sin∠ABD=          ．






15. 按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：12，16，112，120，…，则这个数列前2023个数的和为______ ．
16. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
已知x+1x=3，求下列各式的值：
(1)x−1x；
(2)x4+1x4．
18. (本小题8.0分)
为了加强心理健康教育，某校组织七年级(1)(2)两班学生进行了心理健康常识测试(分数为整数，满分为10分)，已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

(1)求(2)班学生中测试成绩为10分的人数；
(2)请确定下表中a，b，c的值(只要求写出求a的计算过程)；
统计量
平均数
众数
中位数
方差
(1)班
8
8
c
1.16
(2)班
a
b
8
1.56
(3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
19. (本小题8.0分)
某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
(1)求景点B和C处之间的距离；(结果保留根号)
(2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？(结果保留整数．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)

20. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(−1,2)，AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=n−3x的图象相交于A，P两点．

(1)求m，n的值与点A的坐标；
(2)求证：△CPD∽△AEO；
(3)求sin∠CDB的值．

21. (本小题8.0分)
在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数--“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
(1)判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
(2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
22. (本小题10.0分)
如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变(四边形具有不稳定性)．
(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB=AB.我们还可以得到FC=______，EF=______；
(2)进一步观察，我们还会发现EF//AD，请证明这一结论；
(3)已知BC=30cm，DC=80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．

23. (本小题10.0分)
定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
(1)下面四边形是垂等四边形的是______；(填序号)
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
(2)图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC=45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．
(3)由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD=60°.求⊙O的半径．


24. (本小题12.0分)
已知抛物线经过A(−1,0)、B(0,3)、C(3,0)三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：∠BOF=∠BDF；
(3)是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、(−2ab2)3=−8a3b6，故A不符合题意；
B、3ab与2b不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、(−x2)⋅(−2x)3=8x5，故C不符合题意；
D、2m(mn2−3m2)=2m2n2−6m3，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，单项式乘多项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，单项式乘单项式，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

2.【答案】D 
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠EHD=∠EGB=50°，
∴∠CHG=180°−∠EHD=180°−50°=130°．
∵HM平分∠CHG，
∴∠CHM=∠GHM=12∠CHG=65°．
∵AB//CD，
∴∠GMH=∠CHM=65°．
故选：D．
由AB//CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠EHD的度数，利用邻补角互补可求出∠CHG的度数，结合角平分线的定义可求出∠CHM的度数，由AB//CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠GMH=∠CHM=65°，此题得解．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：A.原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.原式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
C.原式符合因式分解的形式，符合题意；
D.原式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
故选：C．
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．

4.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查的是菱形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握菱形对角线互相平分是解题关键．
由菱形的对角线相互平分可知点A与C关于原点对称，从而得结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，即点A与点C关于原点对称，
∵点A(−2,5)，
∴点C的坐标是(2,−5)．
故选：B．  
5.【答案】B 
【解析】解：将直线y=2x+1向上平移2个单位后得到新直线解析式为：y=2x+1+2，即y=2x+3．
由于y=2x+3=2(x+1)+1，
所以将直线y=2x+1向左平移1个单位即可得到直线y=2x+3．
所以将直线y=2x+1向上平移2个单位，相当于将直线y=2x+1向左平移1个单位．
故选：B．
根据直线y=kx+b平移k值不变，只有b发生改变解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：2x=m2x+1，
2(2x+1)=mx，
4x+2=mx，
(4−m)x=−2，
∵方程无解，
∴4−m=0或x=−12，即−12=−24−m，
∴m=4或m=0，
故选：D．
解分式方程可得(4−m)x=−2，根据题意可知，4−m=0或x=−12，即−12=−24−m，求出m的值即可．
本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：∵53<64<98，2<4<7，
∴353<4<398， 2<2< 7，
∴a=4，b=2，
∴ba=24=16，
故选：A．
结合已知条件，利用无理数的估算分别求得a，b的值，然后代入ba中计算即可．
本题考查无理数的估算，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF=CF，AG=BG=12AB=3，得出EG=AG−AE=2，由勾股定理得出OG= OB2−BG2=2，
证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG=45°，OE= 2OG=2 2，求出∠OEF=30°，由直角三角形的性质得出OF=12OE= 2，由勾股定理得出DF═ 11，即可得出答案．
【解答】
解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：

则DF=CF，AG=BG=12AB=3，
∴EG=AG−AE=2，
在Rt△BOG中，OG= OB2−BG2= 13−9=2，
∴EG=OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG=45°，OE= 2OG=2 2，
∵∠DEB=75°，
∴∠OEF=30°，
∴OF=12OE= 2，
在Rt△ODF中，DF= OD2−OF2= 13−2= 11，
∴CD=2DF=2 11；
故选：C．  
9.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定2a+b=0；当x=−1时，y=a−b+c；然后由图象得出最小值确定am2+bm与a+b的大小关系．
【解答】
解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab<0，
∵当x=0时，二次函数的图象与y轴交于负半轴，
∴c<0
∴abc>0，故①正确；
②∵对称轴x=−b2a=1，
∴2a+b=0，故②正确；
③∵2a+b=0，
∴a=−12b，
∵当x=−1时，y=a−b+c>0，
∴−12b−b+c>0
∴3b−2c<0，故③正确；
④根据图象知，当x=1时，y有最小值a+b+c；
当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，
所以am2+bm≥a+b(m为实数)，故④正确．
本题正确的结论有：①②③④，4个．  
10.【答案】C 
【解析】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，
∴S阴=8+8=16，
故选：C．
想办法证明S△PEB=S△PFD解答即可．
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．

11.【答案】12 
【解析】解：∵9m=3，27n=4，
∴32m+3n=32m×33n
=(32)m×(33)n
=9m×27n
=3×4
=12，
故答案为：12．
将式子变形为32m+3n=32m×33n=(32)m×(33)n，再代入计算即可．
本题考查同底数幂的逆运算，积的乘方，幂的乘方，正确变形是解题的关键．

12.【答案】35 
【解析】解：2x+3≤x+9①2x+43−1>2−x②，
由①得：x≤6，
由②得：x>1，
∴不等式组的解集为：1 ∴整数解有：2，3，4，5，6；
∴它是偶数的概率是35．
故答案为：35．
首先求得不等式组的所有整数解，然后由概率公式求得答案．
此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

13.【答案】45°或135° 
【解析】解：如图，

∵⊙O的直径AB长为2，
∴OA=OC=1，
∵AC= 2，
∴OA2+OC2=AC2，
∴∠AOC=90°，
∴∠ADC=45°，
∴∠AD′C=135°，
故答案为：45°或135°．
首先利用勾股定理逆定理得∠AOC=90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．
本题主要考查了圆周角定理，勾股定理逆定理等知识，明确一条弦对着两种圆周角是解题的关键．

14.【答案】 66 
【解析】
【分析】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，根据题意作辅助线构造直角三角形，应用解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，由已知∠A=∠ABC=90°，可得AD//BC，由平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ADB=∠CDB，则可得∠CDB=∠CBD，根据矩形的性质可得AD=BE，即可得CE=BC−BE，在Rt△CDE中，根据勾股定理DE= CD2−CE2，在Rt△ADB中，根据勾股定理可得BD= AD2+AB2，根据正弦三角函数的定义进行求解即可得出答案．
【解答】
解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，
∵∠A=∠ABC=90°，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∴∠CDB=∠CBD，
∴CD=CB=3
∵AD=BE=1，
∴CE=BC−BE=3−1=2，
在Rt△CDE中，DE= CD2−CE2= 32−22= 5，
∵DE=AB，
在Rt△ADB中，BD= AD2+AB2= 12+( 5)2= 6，
∴sin∠ABD=ADBD=1 6= 66．
故答案为： 66．  
15.【答案】20232024 
【解析】解：由数列知第n个数为1n(n+1)，
则前2023个数的和为12+16+112+120+…+12023×2024
=11×2+12×3+13×4+14×5+…+12023×2024
=1−12+12−13+13−14+14−15+…+12023−12024
=1−12024
=20232024，
故答案为：20232024．
根据数列得出第n个数为1n(n+1)，据此可得前2023个数的和为11×2+12×3+13×4+14×5+…+12023×2024，再用裂项求和计算可得．
本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据数列得出第n个数为1n(n+1)，并熟练掌握裂项求和的方法．

16.【答案】3 2 
【解析】解：如图，作G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH=1，然后连接HG′交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，

∵CH=EF=1，CH//EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，
∴G′H=EG′+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，
∴DG′=AD+AG′=2+1=3，DH=4−1=3，
由勾股定理得：HG′= 32+32=3 2，
即GE+CF的最小值为3 2．
故答案为：3 2．
利用已知可以得出GA，EF长度不变，求出GE+CF最小，利用轴对称得出E，F位置，即可求出．
此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．

17.【答案】解：(1)∵x+1x=3，
∴(x−1x)2=x2−2+1x2
=x2+2+1x2−4
=(x+1x)2−4
=9−4
=5，
则x−1x=± 5；
(2))∵x+1x=3，
∴(x+1x)2=x2+2+1x2=9，
整理得：x2+1x2=7，
则原式=x4+2+1x4−2
=(x2+1x2)2−2
=49−2
=47． 
【解析】(1)利用完全平方公式列出关系式，把已知等式代入计算，开方即可求出值；
(2)原式利用完全平方公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．

18.【答案】解：(1)由题意知，(1)班和(2)班人数相等，为：5+10+19+12+4=50(人)，
∴(2)班学生中测试成绩为10分的人数为：50×(1−28%−22%−24%−14%)=6(人)，
答：(2)班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
(2)由题意知，a=6×10+50×28％×9+50×22％×8+50×24％×7+50×14％×650=8；
b=9；c=8；
故a，b，c的值分别为8，9，8；
(3)根据方差越小，数据分布越均匀可知(1)班成绩更均匀． 
【解析】(1)根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；
(2)根据(1)中数据分别计算a，b，c的值即可；
(3)根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．
本题主要考查统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．

19.【答案】解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A=30°，∠BCE=75°，AC=600m，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=600，
∴CD=12AC=300m，
AD= 32AC=300 3m，
∵∠BCE=75°=∠A+∠B，
∴∠B=75°−∠A=45°，
∴CD=BD=300m，
BC= 2CD=300 2m，
答：景点B和C处之间的距离为300 2m；
(2)由题意得．
AC+BC=600+300 2，
AB=AD+BD=300 3+300，
AC+BC−AB=(600+300 2)−(300 3+300)≈204.6=205m，
答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m． 
【解析】(1)通过作辅助线，构造直角三角形，在Rt△ACD中，可求出CD、AD，根据外角的性质可求出∠B的度数，在Rt△BCD中求出BC即可；
(2)计算AC+BC和AB的长，计算可得答案．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．

20.【答案】(1)解：将点P(−1,2)代入y=mx，得：2=−m，
解得：m=−2，
∴正比例函数解析式为y=−2x；
将点P(−1,2)代入y=n−3x，得：2=−(n−3)，
解得：n=1，
∴反比例函数解析式为y=−2x．
联立正、反比例函数解析式成方程组，
得：y=−2xy=−2x，
解得：x1=−1y1=2，x2=1y2=−2，
∴点A的坐标为(1,−2)．
(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB//CD，
∴∠DCP=∠BAP，即∠DCP=∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO=∠CPD=90°，
∴△CPD∽△AEO．
(3)解：∵点A的坐标为(1,−2)，
∴AE=2，OE=1，AO= AE2+OE2= 5．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP=∠AOE，
∴sin∠CDB=sin∠AOE=AEAO=2 5=2 55． 
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出m，n的值；(2)利用菱形的性质，找出∠DCP=∠OAE，∠AEO=∠CPD=90°；(3)利用相似三角形的性质，找出∠CDP=∠AOE．
(1)根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标；
(2)由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB//CD，利用平行线的性质可得出∠DCP=∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO=∠CPD=90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
(3)由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP=∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．

21.【答案】解：(1)312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，
675不是“好数”，因为6+7=13，13不能被5整除；
(2)611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：
设十位数数字为a，则百位数字为a+5(0 ∴a+a+5=2a+5，
当a=1时，2a+5=7，
∴7能被1，7整除，
∴满足条件的三位数有611，617，
当a=2时，2a+5=9，
∴9能被1，3，9整除，
∴满足条件的三位数有721，723，729，
当a=3时，2a+5=11，
∴11能被1整除，
∴满足条件的三位数有831，
当a=4时，2a+5=13，
∴13能被1整除，
∴满足条件的三位数有941，
即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个． 
【解析】此题主要考查了数的整除问题，新定义，理解并灵活运用新定义是解本题的关键．
(1)根据“好数”的意义，判断即可得出结论；
(2)设十位数数字为a，则百位数字为a+5(0
22.【答案】解：(1)CD；  AD
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∵AB=BE，EF=AD，CF=CD，
∴BE=CF，EF=BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EF//BC，
∴EF//AD；
(3)如图，过点E作EG⊥BC于G，

∵DC=AB=BE=80cm，点H是CD的中点，
∴CH=DH=40cm，
在Rt△BHC中，BH= BC2+CH2= 1600+900=50(cm)，
∵EG⊥BC，
∴CH//EG，
∴△BCH∽△BGE，
∴BHBE=CHEG，
∴5080=40EG，
∴EG=64，
∴EF与BC之间的距离为64cm． 
【解析】(1)解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，
∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴AB=BE，EF=AD，CF=CD，
故答案为：CD，AD；
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB=CD，AD=BC，
∵AB=BE，EF=AD，CF=CD，
∴BE=CF，EF=BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EF//BC，
∴EF//AD；
(3)如图，过点E作EG⊥BC于G，

∵DC=AB=BE=80cm，点H是CD的中点，
∴CH=DH=40cm，
在Rt△BHC中，BH= BC2+CH2= 1600+900=50(cm)，
∵EG⊥BC，
∴CH//EG，
∴△BCH∽△BGE，
∴BHBE=CHEG，
∴5080=40EG，
∴EG=64，
∴EF与BC之间的距离为64cm．
(1)由推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解；
(2)通过证明四边形BEFC是平行四边形，可得结论；
(3)由勾股定理可求BH的长，由相似三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

23.【答案】(1)④
(2)∵AC⊥BD，ED⊥BD，
∴AC//DE，
又∵AD//BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，
又∵∠DBC=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=DE，
∴BD=AC，
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
(3)如图，过点O作OE⊥BD，连接OD，
则DE=12BD，

∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC=BD，
又∵垂等四边形的面积是24，
∴12AC⋅BD=24，
解得，AC=BD=4 3，
又∵∠BCD=60°，
∴∠DOE=60°，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD=r，DE=2 3，
∴r=DEsin60∘=2 3 32=4，
∴⊙O的半径为4． 
【解析】(1)①平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直和相等，故不是垂等四边形；
②矩形对角线相等但不一定垂直，故不是垂等四边形；
③菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故不是垂等四边形；
④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
故选：④；
(2)根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC=DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；
(3)过点O作OE⊥BD，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O的半径．
本题是一道圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、新定义、圆周角定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答问题．

24.【答案】(1)解：设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，
把A(−1,0)、B(0,3)、C(3,0)代入
得：0=a−b+c3=c0=9a+3b+c，解得a=−1b=2c=3，
∴抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
(2)证明：∵正方形OBDC，
∴∠OBC=∠DBC，BD=OB，
∵BF=BF，
∴△BOF≌△BDF，
∴∠BOF=∠BDF；
(3)解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，
∴令y=3，则3=−x2+2x+3，解得：x1=0，x2=2，
∴E(2,3)，
①如图，

当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，
∴∠FDM为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴DF=DM，
∴∠M=∠DFM，
∴∠BDF=∠M+∠DFM=2∠M，
∵BM//OC，
∴∠M=∠MOC，
由(2)得∠BOF=∠BDF，
∴∠BDF+∠MOC=3∠M=90°，
∴∠M=30°，
在Rt△BOM中，
BM=OBtan30∘=3 3，
∴ME=BM−BE=3 3−2；
②如图，

当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴MF=DM，
∴∠BDF=∠MFD，
∴∠BMO=∠BDF+∠MFD=2∠BDF，
由(2)得∠BOF=∠BDF，
∴∠BMO=2∠BOM，
∴∠BOM+∠BMO=3∠BOM=90°，
∴∠BOM=30°，
在Rt△BOM中，
BM=tan30°⋅OB= 3，
∴ME=BE−BM=2− 3，
综上所述，ME的值为：3 3−2或2− 3． 
【解析】(1)把A(−1,0)、B(0,3)、C(3,0)代入y=ax2+bx+c，即可得解；
(2)根据正方形的性质得出∠OBC=∠DBC，BD=OB，再由BF=BF，得出△BOF≌△BDF，最后利用全等三角形的性质得出结论；
(3)分两种情况讨论解答，当M在线段BD的延长线上时，先求出∠M，再利用解直角三角形得出结果，当M在线段BD上时，得出∠BOM=30°，类别①解答即可．
本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及解直角三角形，分类讨论思想的运用是解题的关键．