2022-2023学年上海市黄浦区高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市黄浦区高一（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上海市黄浦区高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共14.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若1+ 2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则(    )
A. b=2，c=3 B. b=−2，c=3
C. b=−2，c=−1 D. b=2，c=−1
2. 在平面直角坐标系中，角α和β的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角α和β的终边关于y轴对称，则下列关系式一定正确的是(    )
A. α−β=2kπ+π2(k∈Z) B. α+β=2kπ+π2(k∈Z)
C. α−β=2kπ+π(k∈Z) D. α+β=2kπ+π(k∈Z)
3. 已知向量a、b，“|a|=|b|”是“a在b方向上的数量投影与b在a方向上的数量投影相等”的(    )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
4. 已知f(x)=|x|，若存在实数m，使得方程g(x)=m有无穷多个非负实数解，则g(x)的表达式可以为(    )
A. f(x−1)⋅f(x) B. f(x−1)+f(x) C. f(x)⋅f(x+1) D. f(x)+f(x+1)
二、填空题（本大题共12小题，共42.0分）
5. 若集合A={1,3}，B={3,5}，则A∪B= ______ ．
6. 不等式xx+1<0的解是______．
7. 若tanα=3，则tan(α+π4)=______．
8. 已知α∈(−π2,0)，若cos2α=78，则sinα= ______ ．
9. 已知3a=2，3b=5，若用a、b表示log65，则log65= ______ ．
10. 若tanα=14，则sin(π2+α)+2cos(π+α)sin(π−α)= ______ ．
11. 函数y=2xx+1图像的对称中心的坐标为______ ．
12. 在平面直角坐标系中，角φ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若其终边过点(1, 3)，则函数y=sin(x+φ)，x∈[0,π2]的值域为______ ．
13. 已知f(x)=x2和g(x)=xk，其中k∈{−2,−1,1,2,3}，若f(x)>g(x)对任意的x∈(1,+∞)成立，则所有的k的值为______ ．
14. 若复数z满足Rez≥0，Imz≥0，且|z|=|z−1−i|(i为虚数单位)，则|z|的最小值为______ ．
15. 在△ABC中，若AC=2，B=π3，且sinAsinC=928，则AB= ______ ．
16. 已知α∈[0,π2]，若cos(α+2nπ5)< 32对任意的正整数n成立，则α的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共44.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
已知复数z1=1+2i，z2=2+bi(b∈R,i为虚数单位)．
(1)若z1⋅z2−为实数，求z2；
(2)设z1、z2在复平面上所对应的点为Z1、Z2，O为原点，若OZ1⊥OZ2，求z2．
18. (本小题8.0分)
某小区围墙一角要建造一个水池和两条小路.如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，DC//AB，以A为圆心、AD为半径的四分之一圆及AB与AD围成的区域为水池，线段DC和CB为两条小路，且CB所在直线与圆弧相切.已知AD=10米，设∠DAC=θ(0<θ<π4)，那么当θ为多少时，才能使两条小路长之和DC+CB最小？最小长度是多少？

19. (本小题10.0分)
设a>0，f(x)=2x−a2x．
(1)当a=3时，求满足f(x)≥2的x的取值范围；
(2)求证：函数y=f(x)在区间(−∞,+∞)上是严格增函数．
20. (本小题10.0分)
如图，已知ABCD为平行四边形．
(1)若|AB|=5，|AD|=4，|BD|= 21，求AB⋅AD及|AC|的值；
(2)记平行四边形ABCD的面积为S，设AB=(x1,y1)，AD=(x2,y2)，求证：S=|x1y2−x2y1|.

21. (本小题10.0分)
已知定义在R上的函数y=f(x)，满足f(0)=0，当0 (1)若函数y=f(x)的最小正周期为π，求证：y=f(x)，x∈(−π,π)为奇函数；
(2)设a>0，若f(x+π)=2f(x)，函数y=f(x)−a在区间(0,2023π)上恰有一个零点，求a的取值范围．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：由题意1+ 2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0
∴1+2 2i−2+b+ 2bi+c=0
∴−1+b+c=02 2+ 2b=0 ，解得b=−2，c=3
故选B
由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组−1+b+c=02 2+ 2b=0，解方程得出a，b的值即可选出正确选项
本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题

2.【答案】D 
【解析】解：∵角α和β的终边关于y轴对称，
∴α=−β+π+2kπ，k∈Z，
∴α+β=π+2kπ，k∈Z．
故选：D．
根据角的定义求解．
本题主要考查了角的定义，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：因为|a|=|b|，且a在b方向上的数量投影是|a|cos，
b在a方向上的数量投影是|b|cos，所以数量投影相等，充分性成立；
若投影数量相等，即|a|cos=|b|cos，不能得出|a|=|b|，如夹角为π2时，
所以必要性不成立，是充分不必要条件．
故选：A．
分别判断充分性与必要性是否成立即可．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．

4.【答案】B 
【解析】解：当g(x)=f(x−1)+f(x)=|x−1|+|x|=−2x+1,x≤01,0 当m=1时，g(x)=m的解集为x∈[0,1]，如图：

故B选项满足题意．
A.若g(x)=f(x−1)⋅f(x)，如下图①：不符合题意．
C.若g(x)=f(x)⋅f(x+1)，如下图②：不符合题意．
D.若g(x)=f(x)+f(x+1)，如下图③：
m=1时，g(x)=m的解为负实数解，不符合题意．

                    ①

                  ②

               ③
故选：B．
画出选项中的函数，根据函数图象判断方程g(x)=m是否有无穷多个非负实数解．
本题考查函数的图象，函数与方程的关系，属于中档题．

5.【答案】{1,3,5} 
【解析】解：集合A={1,3}，B={3,5}，
则A∪B={1,3,5}．
故答案为：{1,3,5}．
利用并集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6.【答案】(−1,0) 
【解析】解：不等式xx+1<0，即x(x+1)<0，求得−1 故答案为：(−1,0)．
不等式xx+1<0，即x(x+1)<0，由此求得它的解集．
本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．

7.【答案】−2 
【解析】解：若tanα=3，
则tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=3+11−3×1=−2．
故答案为：−2．
由两角和的正切公式直接求解即可．
本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．

8.【答案】−14 
【解析】解：因为cos2α=78=1−2sin2α，
所以sin2α=116，
又因为α∈(−π2,0)，
则sinα=−14或14(舍去)．
故答案为：−14．
由已知利用二倍角公式即可求解．
本题考查了二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．

9.【答案】b1+a 
【解析】解：∵3a=2，3b=5，∴a=log32，b=log35，
log65=log35log36=log35log33+log32=b1+a．
故答案为：b1+a．
利用对数的运算性质，换底公式可求值．
本题考查对数的运算性质，属于基础题．

10.【答案】−4 
【解析】解：因为tanα=14，
则sin(π2+α)+2cos(π+α)sin(π−α)=cosα−2cosαsinα=1−2tanα=−114=−4．
故答案为：−4．
由已知利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．

11.【答案】(−1,2) 
【解析】解：y=2xx+1=2(x+1)−2x+1=2−2x+1，
则对称中心的坐标为(−1,2)．
故答案为：(−1,2)．
分式函数常数分离，可得到其对称中心．
本题考查分式函数的性质，属于基础题．

12.【答案】[12,1] 
【解析】解：因为角φ的终边过点(1, 3)，所以tanφ= 3，
又因为φ∈(0,π2)，所以φ=π3，
所以函数y=sin(x+π3)，
x∈[0,π2]时，x+π3∈[π3,5π6]，
所以x+π3=5π6时，y=sin(x+π3)取得最小值为12，
x+π3=π2时，y=sin(x+π3)取得最大值为1，
所以y=sin(x+π3)的值域为[12,1]．
故答案为：[12,1]．
根据角φ的终边过点(1, 3)求出φ，再求x∈[0,π2]时y=sin(x+π3)的最小、最大值即可．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

13.【答案】−2，−1，1 
【解析】解：因为f(x)>g(x)对任意的x∈(1,+∞)成立，
即当x∈(1,+∞)时，y=f(x)的图象始终在y=g(x)的上方，
又因为g(x)=xk为幂函数，过(1,1)，且k∈{−2,−1,1,2,3}，
当k=−2，−1时，g(x)=xk在(1,+∞)上单调递减，
所以g(x) 又因为f(x)=x2在(1,+∞)上单调递增，且f(1)=1，
所以f(x)>1>g(x)，满足题意；
当k=1时，g(x)=x，在(1,+∞)上单调递增，
此时f(x)−g(x)=x2−x=x(x−1)>0恒成立，
所以f(x)>g(x)，满足题意；
当k=2时，g(x)=x2=f(x)，不满足题意；
当k=3时，g(x)=x3，
f(x)−g(x)=x2−x3=x2(1−x)<0，
即f(x) 综上所述，使f(x)>g(x)对任意的x∈(1,+∞)成立的k的值为：−2，−1，1．
故答案为：−2，−1，1．
由题意可得当x∈(1,+∞)时，y=f(x)的图象始终在y=g(x)的上方，或f(x)−g(x)>0在(1,+∞)恒成立，根据幂函数的性质判断k=−2，−1时，是否满足题意；用作差法判断k=1，2，3时，是否满足题意．
本题考查了二次函数的性质、幂函数的性质及分类讨论思想，属于中档题．

14.【答案】 22 
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，
∵|z|=|z−1−i|=|(a−1)+(b−1)i|，
∴ a2+b2= (a−1)2+(b−1)2，
化简得a+b−1=0，
∴b=1−a，
∴|z|= a2+b2= a2+(1−a)2= 2a2−2a+1= 2[(a−12)2−14]+1= 2(a−12)2+12，
∴当a=12时，|z|的值取得最小值 22．
故答案为： 22．
设z=a+bi(a,b∈R)，由题意可得 a2+b2= (a−1)2+(b−1)2，化简得b=1−a，所以|z|= a2+b2= a2+(1−a)2，再结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了复数的模长公式，属于基础题．

15.【答案】2 77或6 77 
【解析】解：因为AC=2，B=π3，且sinAsinC=928，
三角形中，由正弦定理可得ACsinB=BCsinA=ABsinC，
即sinA= 34BC，sinC= 34AB，
所以sinAsinC=316BC⋅AB，
由题意sinAsinC=928，所以928=316BC⋅AB，
可得BC⋅AB=127，
在△ABC中，由余弦定理可得cosB=BA2+BC2−AC22BA⋅BC=(BA+BC)2−2BA⋅BC−AC22BA⋅BC，
即12=(BA+BC)2−42⋅127−1，
解得BA+BC=8 77，
设AB，BC为方程x2−8 77x+127=0，解得x=2 77或6 77，
所以AB为2 77或6 77．
故答案为：2 77或6 77．
由正弦定理可得sinA，sinC的表达式，由题意可得AB，BC之和及之积，进而求出AB的大小．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．

16.【答案】(π6,7π30) 
【解析】解：因为α∈[0,π2]，
因为cos(α+2nπ5)< 32对任意的正整数n成立，
所以α+2nπ5∉[−π6+2kπ,π6+2kπ]，k∈Z，
当n=1时，α+2π5∈[2π5,9π10]，满足题意；
当n=2时，α+4π5∈[4π5,13π10]，满足题意；
当n=3时，α+6π5∈[6π5,17π10]，满足题意；
当n=4时，α+8π5∈[8π5,21π10]，
此时需满足α+8π5<11π6，即α<7π30；
当n=5时，α+10π5∈[2π,5π2]，
此时需满足13π6<α+10π5，即α>π6；
由f(n)=cos(α+2nπ5)的最小正周期T=2π2π5=5，
所以n≥6之后会重复前面的取值，
综上所述，π6<α<7π30，
即α的取值为(π6,7π30).
故答案为：(π6,7π30).
由题意可得α+2nπ5∉[−π6+2kπ,π6+2kπ]，k∈Z，对n=1，2，3，4，5分别求出α+2nπ5的取值范围，从而求出α需满足的条件，再根据周期性即可得解．
本题考查了余弦函数的性质、分类讨论思想，属于中档题．

17.【答案】解：(1)z1=1+2i，z2=2+bi，
则z1⋅z2−=(1+2i)(2−bi)=2+2b+(4−b)i，
∵z1⋅z2−为实数，
∴4−b=0，解得b=4；
(2)z1、z2在复平面上所对应的点为Z1、Z2，O为原点，
则OZ1=(1,2)，OZ2=(2,b)，
∵OZ1⊥OZ2，
∴1×2+2b=0，解得b=−1，
∴z2=2−i． 
【解析】(1)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数、实数的定义，即可求解；
(2)根据已知条件，结合复数的几何意义，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．

18.【答案】解：如图，设BC切四分之一圆弧于E，
则|AE|=|AD|=10，|DC|=|EC|=10tanθ，
∠BAE=π2−2θ，|BE|=10tan(π2−2θ)=10cot2θ，
则L=|DC|+|CB|=20tanθ+10cot2θ=10(2tanθ+1tan2θ)，0<θ<π4，
令g(θ)=2tanθ+1−tan2θ2tanθ=3tan2θ+12tanθ=32tanθ+12tanθ，
∵0<θ<π4，∴0 ∴g(θ)=32tanθ+12tanθ≥2 32tanθ⋅12tanθ= 3，
当且仅当32tanθ=12tanθ，即tanθ= 33，θ=π6时，
两条小路长之和|DC|+|CB|最小，最小长度为10 3． 
【解析】设BC切四分之一圆弧于E，则|AE|=|AD|=10，|DC|=|EC|=10tanθ，|BE|=10cot2θ，则L=|DC|+|CB|=20tanθ+10cot2θ=10(2tanθ+1tan2θ)，0<θ<π4，整理后再由基本不等式求最值得答案．
本题考查函数模型的选择及应用，训练了三角恒等变换及利用基本不等式求最值，是中档题．

19.【答案】解：(1)2x−32x≥2，即(2x)2−2×2x−3≥0亦即(2x−3)(2x+1)≥0，
因为2x+1>0，所以上述不等式即为2x−3≥0，解得x≥log23，
故满足f(x)≥2的x的取值范围是[log23,+∞)；
(2)设x1、x2是区间(−∞,+∞)上任意给定的两个实数，且x1 f(x1)−f(x2)=(2x1−a2x1)−(2x2−a2x2)=(2x1−2x2)(2x1x2+a)2x12x2>0，由x1 可得0<2x1<2x2，即2x1−2x2<0，又a>0，从而2x1x2+a>0，
故f(x1)−f(x2)<0，即f(x1) 因此，函数y=f(x)在区间(−∞,+∞)上是严格增函数． 
【解析】(1)转化成一元二次不等式即可；(2)利用定义证明函数单调性．
本题考查函数的性质，考查函数单调性的定义，属于中档题．

20.【答案】解：(1)在△ABD中，由余弦定理有：cosA=|AB|2+|AD|2−|BD|22|AB||AD|=25+16−212×5×4=12，
∴AB⋅AD=|AB|×|AD|cosA=5×4×12=10，
|AC|=|AB+AD|= (AB+AD)2= AB2+2AB⋅AD+AD2= 25+2×10+16= 61；
证明：(2)∵A∈(0,π)，∴sinA>0，
∴S=|AB|×|AD|sin∠A=|AB|×|AD|× 1−cos2A
=|AB|×|AD|× 1−(AB⋅AD|AB||AD|)2
=|AB||AD|× |AB|2|AD|2−(AB⋅AD)2|AB||AD|
= |AB|2|AD|2−(AB⋅AD)2
= (x12+y12)(x22+y22)−(x1x2+y1y2)2
= (x1y2−x2y1)2
=|x1y2−x2y1|，
原命题得证． 
【解析】(1)在△ABD中，由余弦定理可求得cosA，再由平面向量数量积运算可求得AB⋅AD，由AC=AB+AD和模的计算公式即可求|AC|的值；
(2)由平行四边形的面积公式将其面积用AB,AD的模和夹角表示出来，化简即可．
本题考查平面向量的数量积和夹角，平面向量的坐标运算，余弦定理，平行四边形的面积等，属于中档题．

21.【答案】(1)证明：当−π 又因为函数y=f(x)的最小正周期为π，所以f(x+π)=f(x)，
所以f(x)=−cosx，故f(x)=−cosx,−π 对于任意给定的−π 所以f(−x)=cos(−x)=cosx=f(x)．
对于任意给定的0 所以f(−x)=−cos(−x)=−cosx=−f(x)，
当x=0时，f(0)=0．
综上所述，函数y=f(x)，x∈(−π,π)为奇函数；
(2)解：f(x+π)=2f(x)，即f(x)=2f(x−π)，
当π 当2π 据此可得，当(2n−1)π 当2π 函数y=f(x)在区间(kπ,kπ+π)(k为正整数)上为严格的减函数，其值域为(−2k,2k)，
函数y=f(x)−a在区旬(0,2023π)上恰有一个零点，等价于关于x的方程在区间(0,2023π)上仅有一解，
对于函数y=f(x)，在区间(0,2022π)上，其函数值的取值范围是(−22021,22021)；
在区间(2022π,2023π)上，其函数值的取值范围是(−22022,22022).
由题意，关于x的方程f(x)=a在区间(0,2022π)上须无解，而在区间(2022π,2023π)上仅有一解，
所以a的取值范围是[22021,22022). 
【解析】(1)由函数的周期性和奇偶性即可证明；
(2)令f(x )−a=0，则f(x)=a等价于关于x的方程在区间(0,2023π)上仅有一解，分别求出在区间(0,2022π)和区间(2022π,2023π)y=f(x)的取值范围即可得出答案．
本题主要考查三角函数的周期性，奇偶性，已知函数零点个数求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．