广东省湛江市2022-2023学年高二下学期5月份联考数学试卷（含答案）

这是一份广东省湛江市2022-2023学年高二下学期5月份联考数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省湛江市2022-2023学年高二下学期5月份联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知随机变量X的分布列为
X

0
1
P



则实数( )
A. B. C. D.
2、在等差数列中，，则的值为( )
A.15 B.30 C.45 D.60
3、在等比数列中，，且，则的前6项和为( )
A.22 B.24 C.21 D.27
4、的展开式中的系数为( )
A.60 B.24 C. D.
5、已知，则等于( )
A.16 B.80 C.81 D.243
6、已知，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7、《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为( )

A. B. C. D.
8、已知奇函数是上的增函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、关于的展开式，下列判断正确的是( )
A.展开式共有8项 B.展开式的各二项式系数的和为128
C.展开式的第7项的二项式系数为49 D.展开式的各项系数的和为
10、已知函数，.下列结论正确的是( )
A.函数不存在最大值，也不存在最小值
B.函数存在极大值和极小值
C.函数有且只有1个零点
D.函数的极小值就是的最小值
11、甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则( )
A.事件B与事件相互独立 B.
C. D.
12、已知数列，如果存在常数A，对于任意给定的正数r（无论多小），总存在正整数N，使得时，恒有成立，就称数列收敛于A（极限为A），即数列为收敛数列.下列结论正确的是( )
A.数列是一个收敛数列
B.若数列为收敛数列，则，使得，都有
C.若数列和为收敛数列，而数列一定为收敛数列
D.若数列和为收敛数列，则数列不一定为收敛数列
三、填空题
13、某活动小组有4男3女共7名学生在博物馆参观后排队合影留念．若这7人排成一排，且3名女生互不相邻，则共有________种不同的排法．
14、在国际自然灾害中，中国救援力量为挽救生命做出了重要贡献，完美地展示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉.某国际救援团队拥有6个医疗小组和8个抢险小组，现分别去两个受灾点执行救援任务，每个救援点至少需要2个医疗小组和4个抢险小组，则不同的分配方式一共有________种.(用数字作答)
四、解答题
15、花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为________．
16、已知函数，当时，恒成立，则实数a的取值范图是______.
17、如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，过点A作ADAB，交线段BC于点D，且，，.

（1）求；
（2）求的面积.
18、己知的前n项和.
（1）求数列的通项公式
（2）求数列的前n项和.
19、如图1，在梯形ABCD中，，，，E为CD中点，将沿AE翻折，使点D与点P重合，如图2．

图一 图二
（1）证明：PBAE；
（2）当二面角等于时，求PA与平面PEC所成角的正弦值．
20、2023年春节期间，电影院有多部新片上映，某传媒公司调查了消费者的购票途径，数据显示超八成用户选择线上购买电影票，已知有A，B，C，D，E，F，G，H这8个线上购票平台，现随机抽取了200名线上消费者并统计他们在这8个平台上购买春节档电影票的人数（假设每个消费者只选用一个购票平台购买春节档电影票）以及曾经使用过这8个平台购买电影票的人数（每个消费者可用多个平台购买电影票），得到如下表格：

A
B
C
D
E
F
G
H
购买春节档电影票的人数
40
30
30
30
30
20
10
10
曾经购买过电影票的人数
92
88
80
80
70
62
25
15
（1）把样本消费者中曾经在每个平台上购买电影票的频率作为线上消费者在相应平台上购买电影票的概率，从所有线上消费者中随机抽取4人，求恰有2人在C平台上购买电影票的概率．
（2）现从样本中在A，D，E平台上购买春节档电影票的消费者中按照分层抽样的方法抽取n个人，已知抽取的在A平台上购买春节档电影票的人数比在D平台与E平台上购买春节档电影票的人数之和少2．
①求n的值；
②从抽取的n个人中再随机抽取4人，记这4人中在E平台上购买春节档电影票的人数为X，求X的分布列及数学期望．
21、乒乓球是中国的国球，我国选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军，乒乓球运动也深受人们的喜爱．乒乓球主要有白色和黄色两种，国际乒联将球的级别用星数来表示，星级代表质量指标等级，星级越高质量越好，级别最高为“☆☆☆”，即三星球，国际乒联专业比赛指定用球，二星球适用于国内重大比赛及国家队专业训练，一星球适用于业余比赛或健身训练．一个盒子装有9个乒乓球，其中白球有2个三星“☆☆☆”，4个一星“☆”，黄球有1个三星“☆☆☆”，2个一星“☆”
（1）逐个无放回取两个球，记事件{第一次白球}，事件{第二次三星球}，求，，，并判断事件A与事件B是否相互独立；
（2）逐个无放回取球，取出白球即停止，取出的三星球数记为随机变量X，求随机变量X的分布列及期望．
22、已知函数.
（1）若，试讨论函数零点的个数；
（2）若函数恰有两个零点，，证明：.
23、已知离心率为的椭圆经过点A（2，1）．
（1）求椭圆C的方程．
（2）不经过点A且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为，试问k是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
参考答案
1、答案：D
解析：由题意：，可得：.故选：D.
2、答案：D
解析：在等差数列中，，则，因此，，故选：D.
3、答案：C
解析：设等比数列的公比为q，则，且对任意的，，
由可得，解得，
因为，则，所以，，
因此，的前6项和为，故选：C.
4、答案：B
解析：由的展开式通项为，
所以的展开式项为，
故系数.故选：B
5、答案：C
解析：，所以，故选：C
6、答案：A
解析：因，则，所以，，，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.故选：A.
7、答案：C
解析：由题意可知，10个数中，1、3、5、7、9是阳数，2、4、6、8、10是阴数，若任取3个数中有2个阳数，则，
若任取3个数中有3个阳数，则，
故这3个数中至少有2个阳数的概率，
故选：C
8、答案：D
解析：因为奇函数是上的增函数，
所以，且.
又因，所以当时，，
当时，，因为，
所以是上偶函数，
当时，因，所以函数在上单调递增，根据函数的奇偶性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以，
则，所以，故选：D.
9、答案：ABD
解析：展开式共有项，故A正确．
展开式的各二项式系数的和为，故B正确．
展开式的第7项的二项式系数为，故C错误．
展开式的各项系数的和为，故D正确．故选：ABD．
10、答案：BCD
解析：，，则，
令，令或，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增，
且，，如图，

所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，
极小值即为最小值，且函数有且只有一个零点0.故选：BCD.
11、答案：BD
解析：由题意知：，，，，，，
，D正确；
，B正确；
，C错误；
，，
，事件B与事件不相互独立，A错误.
故选：BD.
12、答案：ABC
解析：对选项A：存在，取，，当时，，
则是收敛数列，A正确；
对选项B：当时，，则，
当时，中最大的项为B，取，则，B正确；
对选项C：对任意的r，取，当时，恒有，
当时，，
故当时，
则，故数列一定为收敛数列，C正确；
对选项D：对任意的r，令，取，
当时，恒有，当时，恒有，
故当时，则
，
故数列一定为收敛数列，D错误.故选：ABC
13、答案：1440
解析：先把四个男生排成一排有种排法，在每一种排列中有五个空档（包括两端），再把三个女生插入空档中有种方法，所以共有种不同方法.故答案为：1440.
14、答案：3500
解析：第一步分配医疗小组，先按或分两组再分配到两个受灾点，共有；
第二步分配抢险小组，只能按分组再分配到两个受灾点，共有，
因此，共有种，
故答案为：3500.
15、答案：或
解析：设事件“两束花是同一种花”，事件“两束花都是郁金香”，
则积事件“两束花都是郁金香”，
事件A中样本点的个数为，
积事件AB中样本点的个数为，
所以已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为
.故答案为：.
16、答案：
解析：，
即为，
整理得到，
即，使得恒成立，
（当且仅当，即时取等号），
，
即实数a的取值范围为.故答案为：.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以由正弦定理得，即，
所以由余弦定理，，
又因为，
所以.
（2）因为ADAB，所以，
由第（1）问，，所以，
又因为，所以，
所以在中，由正弦定理，，所以，
又因为，所以，
所以的面积.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，
当时，，
不满足，
因此，.
（2），
当时，，
则，
也满足，故对任意的，.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取AE中点为O，连接PO，BO，BE，
由题可知，，又，所以，
所以，，
又，PO，平面POB，
所以平面POB，
又因为平面POB，所以．
（2）

因为二面角等于，所以平面PAE平面ABCE，
平面平面ABCE＝AE，因为POAE，所以PO平面ABCE，
所以OA，OB，OP两两垂直．
以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，
不妨设AB＝2，由已知得，所以，，
则，，，，，，，，
设平面PEC的法向量，则，
取平面PEC的一个法向量，
设PA与平面PEC所成角为，则，
即PA与平面PEC所成角的正弦值为．
20、答案：（1）
（2）①；②分布列见解析；期望为
解析：（1）由题可得线上消费者在C平台上购买电影票的概率为，所以从所有线上消费者中随机抽取4人，恰有2人在平台上购买电影票的概率为．
（2）①设按照分层抽样的方法抽取的在A平台上购买春节档电影票的人数为4x，则抽取的在D平台与平台上购买春节档电影票的人数之和为6x，所以，得，所以．
②由题及①易知抽到的10个人中，在E平台上购买春节档电影票的人数为3，所以X的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
，
所以的分布列为
X
0
1
2
3
P




．
21、答案：（1），相互独立
（2）分布列见解析，
解析：（1）“第二次三星球”的概率：（或）
“第一次白球且第二次三星球”的概率：（或）
“第一次白球”的概率：，
所以.
因为成立，所以事件A与事件B相互独立.
（2）X可能取值为，
，
，
，
(或)，
分布列为
X
0
1
2
P



所以.
22、答案：（1）详见解析；
（2）证明见解析.
解析：（1）因为，
所以，
当时，，在上递增；
当时，，在上递减，
所以当时，取得最大值，
当时，，则函数无零点，
当时，，函数有一个零点；
综上：当时，，则函数无零点，
当时，，函数有一个零点.
（2）由（1）知：当时，，则函数无零点，
当时，，函数有一个零点.
当时，，，
，，
当时，，在上递增；
当时，，在上递减；
所以，则，
所以在，上各有一个零点；
则，且，
要证，则证，
因为在上递减，
所以只需证，又，
只需证，
令，
则，
则，
设，则，
所以在上递增，则，即，
则在上递减，则，即，
即，则.
23、答案：（1）
（2）定值为
解析：（1）由题可知，，解得，，故椭圆C的方程为；
（2）直线l的方程为，，，
联立方程组，整理得，
则，
由题意，必须有，即k，m必须满足，
此时，，．

，
整理得，
因为l不经过点A，所以，所以，即，
故k为定值，且该定值为；
综上，椭圆C的方程为，k为定值，且该定值为.