初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系公开课教案设计

这是一份初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系公开课教案设计，共5页。教案主要包含了复习引入，探究新知，典例精讲，学以致用，拓展提升等内容，欢迎下载使用。

人教版数学九年级上第四课时教学设计
课题
21.2.4解一元二次方程
单元
第二十一章
学科
数学
年级
九年级上
学习
目标
情感态度和价值观目标
培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神。
能力目标
学生经历探索、尝试发现一元二次方程根与系数的关系，感受不完全归纳验证以及演绎证明。
知识目标
1.了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用；
2.在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。
重点
一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用。
难点
发现一元二次方程根与系数的关系。
学法
探究学习、合作交流法
教法
启发引导、归纳推理

教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、复习引入
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
2. 方程的两根x1，x2与系数a，b，c还有其他关系吗？
一元二次方程的求根公式：
求根公式不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反应了根与系数之间的关系。
出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题。
通过温故知新，创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲。
讲授新课
二、探究新知
1.填表、观察、猜想
启发：猜想二次项系数为1时，根与系数的关系.

问题：
（1）用语言叙述你发现的规律；
（2）x2+px+q=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。
跟踪练习：
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
x2-6x-15=0
2.启发：如果方程二次项系数不为1呢？
表2:填表、观察、猜想

问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律：
（1）用语言叙述你发现的规律；
（2）ax2+bx+c=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。
跟踪练习：
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1)3x2+7x-9=0 (2)5x-1=4x2
3.总结归纳：
一元二次方程的根与系数的关系：
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。
求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系。
注：能用根与系数的关系的前提条件为：
1.一元二次方程为一般形式： ax2+bx+c=0（a≠0）
2.b2=4ac≥0
学生通过去括号、合并得到一般形式的一 元二次方程，教师适时点拨，分析总结得到结论。




出示探究问题，学生通过特殊例子入手，再通过一般形式推导证明，教师引导学生根据求根公式进行探究、交流，尝试发现结论。

通过思考问题，让学生知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系，为后面继续研究做铺垫。





对比探究，让学生通过探究问题，体会从特殊到一般的认知过程，体会数学结论的确定性。



三、典例精讲
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积：
x2-3x=15； 3x2+2=1-4x； 5x2-1=4x2+x；
分析：任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的 相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。
总结：
在使用根与系数的关系时，应注意：
（1）不是一般式的要先化成一般式；
（2）在使用x1+x2=－ 时，
注意“－ ”不要漏写。
2.已知2x2-3x-5=0的两根是x1，x2。求（1） + ，（2） x12+x22，（3）|x1-x2 |
归纳：
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值：

学生独立完成，再合作交流，教师最后巡视指导，并总结解题注意事项。
学生使用一元二次方程根与系数的关系解题，进一步加强对所学知识的理解和掌握。

四、学以致用
1.方程mx2-2mx+m-1=0(m≠0)有一个正根，一个负根，求m的取值范围。

2.已知关于x的方程x2-（m+1）x+2m-1=0。
（1）当m_____时，此方程的两根互为相反数。
（2）当m_____时，此方程的两根互为倒数。

通过实际应用练习使用一元二次方程根与系数的关系解题。
通过解决实际问题，进一步巩固一元二次方程根与系数的关系。

五、拓展提升
已知关于m2+2m-2009=0，n2+2n-2009=0（m≠n），求（m-1）（n-1）。

思考并讨论解题。
通过拓展提升巩固本课新知，帮助学生学会迁移运用。
课堂练习
1.若方程x2﹣4x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（　）
A．6 B．﹣6 C．18 D．﹣18
2.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根，则 = _______.
3.关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=______．
4.已知方程x2+kx+k+2=0的两个实数根是x1、x2，且x12+x22=4，求k的值．

5.已知关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．

学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正。
通过练习巩固本课所学，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系。
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
本节学习了一元二次方程根与系数的关系，
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系是什么?
x1+x2=－， x1x2=
学会学生归纳，总结阐述，体会，反思，梳理主要知识。
通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，为熟练运用作准备。