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数学24.1.2 垂直于弦的直径公开课教案设计
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这是一份数学24.1.2 垂直于弦的直径公开课教案设计，共6页。教案主要包含了探究新知，垂径定理的实际应用等内容，欢迎下载使用。
人教版数学九年级上24.1.2垂直于弦的直径教学设计
课题
24.1.2垂直于弦的直径
单元
第二十四章
学科
数学
年级
九年级上
学习
目标
情感态度和价值观目标
1.通过实际问题转化为数学问题，培养学生勇于探索，锲而不舍的精神。
2.通过对赵州桥的介绍，培养学生的自豪感。。
能力目标
经历对垂径定理的探究过程，感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力。
知识目标
理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的 证明、计算和作图问题。
重点
垂径定理及其推论。
难点
垂径定理及其推论的应用。
学法
自主探究、合作交流
教法
探究法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
温故知新:
我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题
1）什么是轴对称图形？
2）我们学习过的轴对称图形有哪些？
学生讨论，凭借已有经验，思考并回答问题.。
通过复习，强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。
讲授新课
一、探究新知
问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？
（2）如果是，它的对称轴是什么？
探究1：折一折
拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
（1）圆是轴对称图形。
（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径 所在的直线）
（3）圆的对称轴有无穷多条
探究2：
如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?
这样我们就得到垂径定理：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
进一步，我们还可以得到推论：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,几种条件要相互转化,形成整体,才能运用自如.
“知二推三”
(1)垂直于弦
(2)过圆心
(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧
(5)平分弦所对的劣弧
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
垂径定理的推论：如图,在下列五个条件中，你可以写出相应的命题吗?
自主练习：
1.判断
学生思考问题。
学生做实验：把圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次
学生观察：两部分重合，发现得出圆的对称性的结论。
实验：将圆沿直径CD对折
观察：图形重合部分，思考图中的等量关系
猜想： AE=EB、
弧AC=弧CB、
弧AD=弧DB
(电脑显示))垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧？
学生拓展思路思考问题，引出推论。
学生讨论，思考推论的可行性并回答教师问题。
学生自主思考后，回答老师提出的问题。
通过动手活动培养学生的动手能力，观察能力，通过比较，运用旧知识探索新问题。
引导学生通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质
通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标
帮助学生将知识内化、通过独立练习消化吸收，并达到一种检验的目的.
二、垂径定理的实际应用
我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？
如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
自主练习：
如图a、b,一弓形弦长为 _______cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______________.
方法归纳：
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
学生观看ppt，思考解题思路，讨论实际问题，把实际问题转化为数学问题。
学生自主思考后，回答老师提出的问题。
教师根据学生解题思路总结涉及垂径定理时辅助线的添加方法。
通过计算赵州桥主桥拱的半径，达到知识的学以致用。帮助学生巩固知识，提升应用，学会理论联系实际。
帮助学生将知识内化、并通过举一反三总结解题方法，还能达到知识检测的目的。
课堂练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知。
通过练习巩固本课所学，创设学生活动的机会，及时反馈知识的掌握情况。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
１、圆是轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
人教版数学九年级上24.1.2垂直于弦的直径教学设计
课题
24.1.2垂直于弦的直径
单元
第二十四章
学科
数学
年级
九年级上
学习
目标
情感态度和价值观目标
1.通过实际问题转化为数学问题，培养学生勇于探索，锲而不舍的精神。
2.通过对赵州桥的介绍，培养学生的自豪感。。
能力目标
经历对垂径定理的探究过程，感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力。
知识目标
理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的 证明、计算和作图问题。
重点
垂径定理及其推论。
难点
垂径定理及其推论的应用。
学法
自主探究、合作交流
教法
探究法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
温故知新:
我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题
1）什么是轴对称图形？
2）我们学习过的轴对称图形有哪些？
学生讨论，凭借已有经验，思考并回答问题.。
通过复习，强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。
讲授新课
一、探究新知
问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？
（2）如果是，它的对称轴是什么？
探究1：折一折
拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
（1）圆是轴对称图形。
（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径 所在的直线）
（3）圆的对称轴有无穷多条
探究2：
如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?
这样我们就得到垂径定理：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
进一步，我们还可以得到推论：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,几种条件要相互转化,形成整体,才能运用自如.
“知二推三”
(1)垂直于弦
(2)过圆心
(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧
(5)平分弦所对的劣弧
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
垂径定理的推论：如图,在下列五个条件中，你可以写出相应的命题吗?
自主练习：
1.判断
学生思考问题。
学生做实验：把圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次
学生观察：两部分重合，发现得出圆的对称性的结论。
实验：将圆沿直径CD对折
观察：图形重合部分，思考图中的等量关系
猜想： AE=EB、
弧AC=弧CB、
弧AD=弧DB
(电脑显示))垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧？
学生拓展思路思考问题，引出推论。
学生讨论，思考推论的可行性并回答教师问题。
学生自主思考后，回答老师提出的问题。
通过动手活动培养学生的动手能力，观察能力，通过比较，运用旧知识探索新问题。
引导学生通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质
通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标
帮助学生将知识内化、通过独立练习消化吸收，并达到一种检验的目的.
二、垂径定理的实际应用
我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？
如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
自主练习：
如图a、b,一弓形弦长为 _______cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______________.
方法归纳：
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
学生观看ppt，思考解题思路，讨论实际问题，把实际问题转化为数学问题。
学生自主思考后，回答老师提出的问题。
教师根据学生解题思路总结涉及垂径定理时辅助线的添加方法。
通过计算赵州桥主桥拱的半径，达到知识的学以致用。帮助学生巩固知识，提升应用，学会理论联系实际。
帮助学生将知识内化、并通过举一反三总结解题方法，还能达到知识检测的目的。
课堂练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知。
通过练习巩固本课所学，创设学生活动的机会，及时反馈知识的掌握情况。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
１、圆是轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
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