高中数学7.3* 复数的三角表示达标测试

这是一份高中数学7.3* 复数的三角表示达标测试，共6页。试卷主要包含了下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
第七章　7.3　

A级——基础过关练
1．复数－i的三角形式是(　　)
A．cos＋isin B．cos＋isin
C．cos－isin D．cos＋isin
【答案】A
【解析】－i＝cosπ＋isinπ＝cos＋isin＝cos＋isin．
2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是(　　)
A．150°　　　 B．40°
C．－40°　　　 D．320°
【答案】D
【解析】sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°，故辐角的主值为320°．
3．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为(　　)
A．4　　　 B．－4
C．2π－4　　 D．－4
【答案】D
【解析】sin 4＋icos 4＝cos＋isin．
4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为(　　)
A．　　 B．或
C．2kπ＋(k∈Z)　 D．kπ＋(k∈Z)
【答案】D
【解析】因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1．所以θ＝＋kπ(k∈Z)．
5．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是(　　)
A．
B．[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]
C．
D．
【答案】A
【解析】因为1＋i＝，cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，所以(1＋i)(cos θ－isin θ)＝＝．
6．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是(　　)
A．1　　　 B．－1
C．－　　 D．－
【答案】B
【解析】因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝，所以所以a＝－1．故选B．
7．(多选)下列计算正确的是(　　)
A．2×＝2i
B．(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝2i
C．8÷＝＋i
D．2i÷＝2＋2i
【答案】BD
【解析】2×＝2＝－2i，A错误；(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝2(cos 30°＋isin 30°)(cos 60°＋isin 60°)＝2(cos 90°＋isin 90°)＝2i，B正确；8÷＝2＝2＝－＋i，C错误；2i÷＝2(cos 90°＋isin 90°)÷＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋2i，D正确．
8．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．
【答案】1－i
【解析】(1＋i)＝＝＝＝1－i．
9．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角的主值是________．
【答案】
【解析】由题知，z1＝2，z2＝2，所以的辐角的主值为－＝．
10．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式．
解：因为z1＝2，设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，所以z1z＝8．
由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，
所以α＝kπ＋(k∈Z)．又α∈(0，π)，所以α＝．
所以z2＝2＝－1＋i．
B级——能力提升练
11．设π＜θ＜，则复数的辐角的主值为(　　)
A．2π－3θ　　　 B．3θ－2π
C．3θ　　　 D．3θ－π
【答案】B
【解析】＝＝cos 3θ＋isin 3θ．因为π＜θ＜，所以3π＜3θ＜．所以π＜3θ－2π＜．故选B．
12．(多选)已知复数z1＝1＋cos θ＋isin θ(π＜θ＜2π)，z2＝1＋cos θ－isin θ(π＜θ＜2π)，则(　　)
A．z1的模是2cos B．z1的辐角的主值是π＋
C．z2的模是－2cos D．z2的辐角的主值是π－
【答案】BCD
【解析】z1＝1＋cos θ＋isin θ＝1＋＋2i·sin ·cos ＝2cos ．∵π＜θ＜2π，∴＜＜π，∴cos ＜0，∴2cos ·＝－2cos ＝－2cos ，∴r＝－2cos ，∵＜＜π，∴＜π＋＜2π，∴arg z＝π＋．故复数z1的模是－2cos ，辐角主值是π＋．z2＝2cos2－2i·sin cos ＝2cos ＝－2cos＝－2cos ·，∴r＝－2cos ，∵π＜θ＜2π，∴＜＜π，∴0＜π－＜，∴arg z＝π－．故复数z2的模是－2cos ，辐角主值为π－．综上，B，C，D正确．
13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈，则z的三角形式为________．
【答案】2
【解析】由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i．因为arg z∈，所以z＝－1－i应舍去，所以z＝－1＋i＝2．
14．已知z＝－2i，z1－z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，则z1＝________，z2＝________．
【答案】－＋i　＋i
【解析】由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又arg z2＝，所以z2＝＝＋i，z1＝z2＝(1＋i)z2＝·＝2＝－＋i．
15．设O为复平面的原点，A，B为单位圆上两点，A，B所对应的复数分别为z1，z2，z1，z2的辐角的主值分别为α，β．若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．
解：由题意可设z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β．
因为△AOB的重心G对应的复数为＋i，
所以＝＋i，即
所以所以tan＝．
故tan(α＋β)＝＝．