人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用测试题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用测试题，共7页。
第六章　6.4　6.4.1、2

A级——基础过关练
1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　)
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形状无法确定
【答案】C
【解析】由条件知2＝2，即||＝||，即△ABC为等腰三角形．
2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　)
A．40 N　　　 B．10 N
C．20 N　　 D．10 N
【答案】B
【解析】|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝10．当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N．
3．已知正方形ABCD的边长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|等于(　　)
A．0　　 B．
C．2　　 D．2
【答案】C
【解析】如图，a＋b＝c，则|a－b＋c|＝|2a|．又∵|a|＝1，∴|a－b＋c|＝2．故选C．

4．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
【答案】D
【解析】由题意作出示意图(如图)，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形，所以θ＝120°．

5．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F2的大小为(　　)
A．5 N　　 B．5 N
C．10 N　　 D．5 N
【答案】A
【解析】由题意可知对应向量如图所示．由于α＝60°，∴F2的大小为|F合|·sin 60°＝10×＝5 N．故选A．

6．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝(　　)
A．1　　 B．2
C．3　　 D．4
【答案】A
【解析】建立平面直角坐标系，如图所示．设AD＝t(t＞0)，则A(0,0)，C(1，t)，B(2,0)，则＝(1，t)，＝(－1，t)．由AC⊥BC知·＝－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1．

7．(多选)两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从A(20,15)移到点B(7,0)．其中i，j是x轴、y轴正方向上的单位向量，下列结论正确的是(　　)
A．F1对该质点做的功为－28
B．F2对该质点做的功为23
C．F1，F2的合力为F＝5i－4j
D．F1，F2的合力F对该质点做的功为－5
【答案】ABCD
【解析】＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，所以WF1＝F1·＝－13－15＝－28，A正确；WF2＝F2·＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23，B正确；F＝F1＋F2＝(5，－4)，C正确；WF＝F·＝5×(－13)＋(－4)×(－15)＝－5，D正确．
8．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则y与x的函数关系式为________．
【答案】y＝－x＋2
【解析】·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，∴x＋2y－4＝0，则y＝－x＋2．
9．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
【答案】30
【解析】＝－＝(3,6)＝，又因为·＝(4，－2)·(3,6)＝0，所以四边形ABCD为矩形．又因为||＝＝2，||＝＝3，所以S＝||×||＝2×3＝30．

10．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b．而||＝|a－b|＝＝＝＝2，所以5－2a·b＝4，所以a·b＝．又因为||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝．
B级——能力提升练
11．如图，用两根分别长5米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，绳子的重量忽略不计，则A处所受力的大小为(　　)

A．(120－50)N B．(150－50)N
C．(120－50)N D．(150－50)N
【答案】B
【解析】如图，由已知条件可知AG与垂直方向成45°角，BG与垂直方向成60°角．设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|Fa|cos 45°＋|Fb|cos 60°＝G＝100①，且|Fa|·sin 45°＝|Fb|sin 60°②．由①②解得|Fa|＝150－50．故选B．

12．(多选)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　)
A．若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心
B．若·＝·＝0，则点O为△ABC的垂心
C．若(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心
D．若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心
【答案】AC
【解析】选项A，设D为BC的中点，由于＝－(＋)＝－2·，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为△ABC的重心．选项B，向量，分别表示在边AC和AB上取单位向量和，记它们的差是向量，则当·＝0，即OA⊥B′C′时，点O在∠BAC的平分线上．同理由·＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心．选项C，＋是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，而||是该平行四边形的另一条对角线，·(＋)＝0表示这个平行四边形是菱形，即||＝||，同理有||＝||，于是O为△ABC的外心．选项D，由·＝·得·－·＝0，∴·(－)＝0，即·＝0，∴⊥．同理可证⊥，⊥．∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心．故选AC．
13．如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，则AC和OB的交点P的坐标为________．

【答案】(3,3)
【解析】设P(x，y)，＝(4,4)，＝(x，y)．由于∥，所以x－y＝0．＝(－2,6)，＝(x－4，y)，由于∥，所以6(x－4)＋2y＝0．可得x＝3，y＝3，故点P的坐标是(3,3)．
14．如图，一个力F作用于小车G，使小车G发生了40 m的位移，F的大小为50 N，且与小车的位移方向的夹角为60°，e是与小车位移方向相同的单位向量，则F在小车位移上的投影向量为________，力F做的功为________．

【答案】25e　1 000 J
【解析】∵|F|＝50，且F与小车的位移方向的夹角为60°，∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cos 60° e＝25e．∵力F作用于小车G，使小车G发生了40 m的位移，∴力F做的功W＝25×40＝1 000(J)．
15．若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R．
(1)t为何值时，共起点的三个向量a，tb，(a＋b)的终点在一条直线上？
(2)若|a|＝|b|且a与b的夹角为60°，t为何值时，|a－tb|最小？
解：(1)由题意得a－tb与a－(a＋b)共线，则设a－tb＝m，m∈R．化简得a＝b．因为a与b不共线，所以解得
所以当t＝时，a，tb，(a＋b)三个向量的终点在一条直线上．
(2)因为|a|＝|b|，所以|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos 60°＝(1＋t2－t)|a|2＝|a|2．
所以当t＝时，|a－tb|有最小值，最小值为|a|．