数学必修 第二册6.4 平面向量的应用第1课时同步达标检测题

这是一份数学必修 第二册6.4 平面向量的应用第1课时同步达标检测题，共5页。
第六章　6.4　6.4.3　第1课时

A级——基础过关练
1．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则c等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．9
【答案】B
【解析】由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝(　　)
A．1　　　　 B．2
C．3　　　　 D．
【答案】A
【解析】由余弦定理知()2＝a2＋b2－2abcos 60°，因为a＝4b，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×，解得b＝1．故选A．
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝ab，则∠C＝(　　)
A．30°　　　 B．60°
C．120°　　 D．150°
【答案】C
【解析】∵(a＋b)2－c2＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，则由余弦定理可得，cos C＝＝－．∵0＜C＜180°，∴C＝120°．故选C．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＞0，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
【答案】C
【解析】由＞0得－cos C＞0，所以cos C＜0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A．　　　 B．8－4
C．1　　 D．
【答案】A
【解析】由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4．由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝．
6．锐角三角形ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　)
A．1＜a＜3　　　 B．1＜a＜5
C．＜a＜　　 D．不确定
【答案】C
【解析】若a为最大边，则b2＋c2－a2＞0，即a2＜5，∴a＜．若c为最大边，则a2＋b2＞c2，即a2＞3，∴a＞．故＜a＜．
7．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b的值可以是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．2
【答案】AC
【解析】由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4．
8．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________．
【答案】0
【解析】∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0．
9．在△ABC中，边a，b，c满足a＋b＝6，∠C＝120°，则边c的最小值为________．
【答案】3
【解析】a＋b＝6，∠C＝120°，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b时取等号．由余弦定理可得，c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝36－ab≥36－9＝27，∴c≥3，则边c的最小值为3．
10．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
解：由余弦定理的推论得cos A＝＝＝．设所求的中线长为x，由余弦定理知x2＝2＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，则x＝7．所以所求中线长为7．
B级——能力提升练
11．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(　　)
A．a2＝b2＋c2－2bccos A B．cos B＝
C．a＝bcos C＋ccos B D．acos B＋bcos A＝sin C
【答案】ABC
【解析】在A中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确；在B中，由余弦定理的推论得cos B＝，故B正确；在C中，a＝bcos C＋ccos B⇔a＝b×＋c×⇔2a2＝2a2，故C正确；在D中，acos B＋bcos A＝a×＋b×＝c≠sin C，故D错误．故选ABC．
12．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝4，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,7) B．(1,5)
C．(，5) D．(，5)
【答案】C
【解析】∵b＝3，c＝4，且△ABC是锐角三角形，∴cos A＝＞0，且cos C＝＞0．∴7＜a2＜25，∴＜a＜5．
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，且b2＋c2＝3＋bc，则角A的大小为________．
【答案】60°
【解析】∵a＝，且b2＋c2＝3＋bc．∴b2＋c2＝a2＋bc．∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝．∵0°＜A＜180°，∴A＝60°．
14．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1,2cos C＋c＝2b，则∠A＝________，△ABC的周长的取值范围是________．
【答案】　(2,3]
【解析】a＝1,2cos C＋c＝2b，∴2×＋c＝2b，整理可得，b2＋c2－1＝bc，即b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝．∵A∈(0，π)，∴A＝．∵b2＋c2－1＝bc，∴(b＋c)2＝3bc＋1≤3×2＋1．∴b＋c≤2．∵b＋c＞a＝1，∴2＜a＋b＋c≤3，即△ABC的周长范围为(2,3]．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)·cos B＝0．
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A·cos B＝0，即有sin Asin B－sin Acos B＝0．因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0．又因为cos B≠0，所以tan B＝．又因为0＜B＜π，所以B＝．
(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B．因为a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝32＋．又0＜a＜1，于是有≤b2＜1，即有≤b＜1．