人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时练习

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第八章　8.6　8.6.3　第2课时

A级——基础过关练
1．已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c不可能满足的是(　　)
A．两两垂直 B．两两平行
C．两两相交 D．两两异面
【答案】B　
【解析】如图，平面α，β，γ两两垂直，α∩β＝OA，α∩γ＝OB，β∩γ＝OC．若a，b，c分别与OA，OC，OB重合，则直线a，b，c两两相交，且两两垂直，故A、C正确；若直线a，b，c中有两条平行，不妨设b∥c，∵b⊂β，c⊂γ，∴b∥c∥OC，而a⊂α，若OC//a，又OC⊄α，∴OC∥α，与OC与α相交于点O矛盾，∴OC与a不平行，即a，b，c不可能两两平行，故B错误；a，b，c可以两两异面，故D正确．

2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
【答案】D　
【解析】α与γ可能平行、相交但不垂直、垂直．故选D．
3．(多选)如图，P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论成立的是(　　)

A．PE⊥AC B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD
【答案】ABC　
【解析】因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立．又因为PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立．故选ABC．
4．平面α⊥平面β，直线a∥平面α，则(　　)
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
【答案】D　
【解析】因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．
5．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　)
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
【答案】C　
【解析】如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC．因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C．又因为CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1．故选C．

6．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
【答案】D　
【解析】A中，m与n可能相交、平行或异面，故A错误；B中，α与β相交或平行，故B错误；C中，α与β相交或平行，故C错误；D中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选D．
7．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A　
【解析】过点A作AH⊥BD于点H．由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC．又因为DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选A．
8．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
【答案】平行　
【解析】由题意知n⊥α，又因为m⊥α，所以m∥n．
9．在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．
【答案】2　
【解析】如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM．所以PM＝．要求PM的最小值，只需求出CM的最小值即可．在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2．

10．如图，三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC．求证：平面PAB⊥平面PBC．

证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC．
又∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB．
又∵BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC．
B级——能力提升练
11．(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是(　　)
A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
D．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
【答案】AC　
【解析】根据平面与平面垂直的性质知A正确；B中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；C中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；D中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．故选AC．
12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
【答案】D　
【解析】如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β．故选D．

13．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
【答案】45°　
【解析】如图，过A作AO⊥BD于O点．∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°．

14．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________，分别为____________________．

【答案】3　平面ABD和平面BCD，平面ABC和平面BCD，平面ACD和平面ABD　
【解析】因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，所以平面ABC⊥平面BCD．因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．
15．如图，在三棱锥P－ABC中，△PBC为等边三角形，O为BC的中点，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)已知E为PO的中点，F是AB上的点，AF＝λAB．若EF∥平面PAC，求λ的值．
(1)证明：如图，连接PO．∵△PBC为等边三角形，点O为BC的中点，∴PO⊥BC．

∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，
∴PO⊥平面ABC．
∵AC⊂平面ABC，∴PO⊥AC．
∵AC⊥PB，PO∩PB＝P，∴AC⊥平面PBC．
∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC．
(2)解：如图，取CO中点G，连接EG，FG．

∵E为PO的中点，∴EG∥PC．
∵EG⊄平面PAC，PC⊂面PAC，∴EG∥平面PAC．
∵F是AB上的点，AF＝λAB，EF∥平面PAC，
且EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAC，
∴FG∥AC，∴λ＝＝＝．
∴λ的值为．