2022-2023学年上海市彭浦中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市彭浦中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上海市彭浦中学高一（上）期中数学试卷
一、填空题：（满分40分，每小题4分）
1．（4分）设全集，集合，则　　．
2．（4分）在中，的取值范围是 　　．
3．（4分）将化成有理数指数幂的形式 　　．
4．（4分）已知集合，，若，则的取值构成的集合是 　　．
5．（4分）已知，，用、表示　　．
6．（4分）已知集合，，，如果且，那么　　．
7．（4分）若直角三角形斜边长等于，则直角三角形面积的最大值为 　　．
8．（4分）若不等式的解集为，则实数的取值范围是　　．
9．（4分）关于的不等式的解集是，则的解集是 　　．
10．（4分）对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数，且，则的上确界为 　　．
二、选择题：（满分12分，每小题4分）
11．（4分）下列表述错误的是　　
A． B．，
C．， D．若，则
12．（4分）对任意实数，，给出下列命题：
①“”是“”的充要条件；
②若，，则；
③“”是“”的充分条件；
④若，则；
⑤若，，则．
其中真命题的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（4分）已知集合为正整数，则的所有非空真子集的个数是　　
A．30 B．31 C．510 D．511
三、解答题：（满分0分）
14．已知命题，命题．
（1）求集合，；
（2）若是的充分条件，求的取值范围．
15．已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．
16．解关于的不等式．
17．在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为（米单位时间），单位时间内用氧量为；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为．
（1）将表示为的函数；
（2）试确定下潜速度，使总的用氧量最少．
18．（1）已知，若恒成立，求实数的取值范围．
（2）已知集合，，且，求实数，的取值范围．
附加题
19．不等式的解集为，关于的不等式的解集为．
（1）当时，用列举法表示；
（2）若集合中有2021个元素，求实数的取值范围．
20．（1）已知、为正实数，，，．试比较与的大小，并指出两式相等的条件；
（2）求函数的最小值．

2022-2023学年上海市彭浦中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（满分40分，每小题4分）
1．（4分）设全集，集合，则　，　．
解：根据已知条件可得：，．
故答案为：，．
2．（4分）在中，的取值范围是 　　．
解：要使得有意义，则，且，
解得．
故答案为：．
3．（4分）将化成有理数指数幂的形式 　　．
解：．
故答案为：．
4．（4分）已知集合，，若，则的取值构成的集合是 　　．
解：，，
当时，，满足题意，
当时，，要满足题意，只需或，解得或，
综上所述：．
故答案为：．
5．（4分）已知，，用、表示　　．
解：因为，所以，
所以由换底公式得：，
因为，而，所以，
．
故答案为：．
6．（4分）已知集合，，，如果且，那么　4或1或　．
解：①当时，，
此时集合，5，，符合题意，
②当时，或，
若，集合，2，，符合题意，
若，集合，0，，符合题意，
综上所求，的值为4或1或，
故答案为：4或1或．
7．（4分）若直角三角形斜边长等于，则直角三角形面积的最大值为 　25　．
解：根据题意，设直角三角形的直角边为，，面积为，直角三角形斜边长等于，，
则，当且仅当时，等号成立，故这个直角三角形的面积最大值为25．
故答案为：25．
8．（4分）若不等式的解集为，则实数的取值范围是　，　．
解：（1）当时，得到，显然不等式的解集为；
（2）当时，二次函数开口向上，函数值不恒小于0，故解集为不可能．
（3）当时，二次函数开口向下，由不等式的解集为，
得到二次函数与轴没有交点，即△，即，解得；
综上，的取值范围为，．
故答案为：，．
9．（4分）关于的不等式的解集是，则的解集是 　　．
解：等价于，因其解集为，
故可得，且，，故可得，，
则，即，等价于，
解得．
故答案为：．
10．（4分）对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数，且，则的上确界为 　　．
解：因为，且，，，
则，
当且仅当时，即时取等号，故则的上确界为，
故答案为：．
二、选择题：（满分12分，每小题4分）
11．（4分）下列表述错误的是　　
A． B．，
C．， D．若，则
解：对于表示集合，没有任何元素．对；
对于是任何空集合的子集，对；
对于：表示点集，由与的交点构成的集合．不对；
对于，中任何元素在中都有，则，对；
故选：．
12．（4分）对任意实数，，给出下列命题：
①“”是“”的充要条件；
②若，，则；
③“”是“”的充分条件；
④若，则；
⑤若，，则．
其中真命题的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
解：对①：当时，由，显然无法得到，充分性不成立，故①是假命题；
对②：取，，，满足，，但此时，不满足，故②是假命题；
对③：取，，满足，但不满足，充分性不成立，
取，，满足，但不满足，必要性不成立，故③是假命题；
对④：是上的单调增函数，故当时，，故④是真命题；
对⑤：，是上的单调增函数，故当时，，故⑤是真命题．
综上所述，有2个真命题．
故选：．
13．（4分）已知集合为正整数，则的所有非空真子集的个数是　　
A．30 B．31 C．510 D．511
解：集合为正整数，
故由于集合为正整数，
所以，，0，1，，2，，3，，
故集合的所有非空真子集的个数是．
故选：．
三、解答题：（满分0分）
14．已知命题，命题．
（1）求集合，；
（2）若是的充分条件，求的取值范围．
解：（1），故可得，
解得，，故，；
不等式可化为，，即且，
解得，，
故，．
（2）若是的充分条件，则，
故或，
解得或，
故的取值范围为：，．
15．已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．
解：用反证法．假设与都大于或等于2，
即，（4分）
，，故可化为，
两式相加，得，
与已知矛盾．
所以假设不成立，即原命题成立．（12分）
16．解关于的不等式．
解：当时，原不等式等价于，解得，
故不等式解集为，
当时，原不等式等价于，
其对应二次方程的两根为，
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为．
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
17．在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为（米单位时间），单位时间内用氧量为；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为．
（1）将表示为的函数；
（2）试确定下潜速度，使总的用氧量最少．
解：（1）①下潜时，平均速度为（米单位时间），单位时间内用氧量为；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为．
（8分）
（2）（12分）
当且仅当即时取等号
答：当下潜速度为时，总用氧量最少．（16分）
18．（1）已知，若恒成立，求实数的取值范围．
（2）已知集合，，且，求实数，的取值范围．
解：（1）因为，
故可得，
当且仅当，即时取得最小值4；
根据题意，恒成立，
即恒成立，
又，
当且仅当时取得等号，
要满足题意，只需即可，解得，又，
故的取值范围为：．
（2）不等式等价于，解得或，
即，又因为，
故可得3为方程的一根，且其另一个根的范围是，
令，则（3），且，
即，且，
解得，．
故，的取值范围分别为，．
附加题
19．不等式的解集为，关于的不等式的解集为．
（1）当时，用列举法表示；
（2）若集合中有2021个元素，求实数的取值范围．
解：（1），即，解得或，
故或，
当时，不等式等价于，即，解得，
故，
则或，故，；
（2）即，
当，即时，，，
要满足题意，需，解得，，
当，即时，集合为空集，不满足题意，
当，即时，，
要满足题意，需，且，解得，，
综上，，，．
20．（1）已知、为正实数，，，．试比较与的大小，并指出两式相等的条件；
（2）求函数的最小值．
解：（1）作差比较：，
所以，当时两式相等．
（2）因为，故可得，
则，
当且仅当，，即取得等号，
故的最小值为49．