2022-2023学年上海市市北中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市市北中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了填空，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市市北中学高一（上）期中数学试卷
一、填空（1-5题每题3分，6-10题每题4分，共35分）
1．设全集，0，1，，若集合，0，，则　　．
2．已知集合，，则　　．
3．设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是　 　．
4．若关于的不等式的解集为，则　　．
5．已知集合，，则用列举法表示　　．
6．（4分）若集合，有且仅有一个元素，则实数的值是 　　．
7．（4分）已知，则关于的不等式的解集是 　　．
8．（4分）设集合，2，3，，，若，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为．若的容量为奇（偶数，则称为奇（偶子集．若，则的所有奇子集的容量之和为 　　．
9．（4分）研究问题：“已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式有如下解法：由，令，则，所以不等式的解集为．参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集 　　．
10．（4分）定义区间，，，，，，的长度均为，其中．若，是实数，且，则满足不等式的构成的区间的长度之和为　　．
二、选择题（每题4分，共16分）
11．（4分）下列四个命题中，为真命题的是　　
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
12．（4分）命题“对任意的，”的否定是　　
A．对任意的， B．对任意的，
C．存在， D．存在，
13．（4分）若集合，，，，则“”是“，1，”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（4分）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则　　
A． B． C． D．
三、解答题（共5题，总计49分）
15．解下列关于的不等式．
（1）；
（2）．
16．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
17．某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下，
①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：与游玩时间（小时）满足关系式：；
②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；
③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50．
（1）求当玩家游玩6小时时，求此时的累积经验值；
（2）若玩家为保证累积经验值不低于60，分别求玩家最短游玩时间和可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间．
18．命题：实数使得对于任意都成立；命题：集合，，，且．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题，中恰有一个真命题，求实数的取值范围．
19．若实数、、满足，则称比远离．
（1）若比远离1，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离．

2022-2023学年上海市市北中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空（1-5题每题3分，6-10题每题4分，共35分）
1．设全集，0，1，，若集合，0，，则　　．
解：全集，0，1，，若集合，0，，
则．
故答案为：．
2．已知集合，，则　　．
解：根据交集的概念可得．
故答案为：．
3．设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是　，　．
解：，，
若是的充分条件，则．
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
4．若关于的不等式的解集为，则　　．
解：由题意得，3为方程的两实数根，
，
解得，
，
故答案为：．
5．已知集合，，则用列举法表示　，　．
解：由解得或，
所以，．
故答案为：，．
6．（4分）若集合，有且仅有一个元素，则实数的值是 　或　．
解：当，时，，符合题意，
当，时，令△，
解得，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
7．（4分）已知，则关于的不等式的解集是 　　．
解：依题意，，，
所以或，
即或，
即或，
解得或，
所以不等式的解集是．
故答案为：．
8．（4分）设集合，2，3，，，若，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为．若的容量为奇（偶数，则称为奇（偶子集．若，则的所有奇子集的容量之和为 　47　．
解：时，，2，3，4，5，，
含有一个元素的奇子集为，，，
含有两个元素的奇子集为，，，，，，
含有三个元素的奇子集为，3，，
故所有奇子集的容量之和为．
故答案为：47．
9．（4分）研究问题：“已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式有如下解法：由，令，则，所以不等式的解集为．参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集 　　．
解：关于的不等式的解集为，，，
用替换，不等式可以化为：可得
可得
故答案为：．
10．（4分）定义区间，，，，，，的长度均为，其中．若，是实数，且，则满足不等式的构成的区间的长度之和为　2　．
解：，实数，，即，
设的根为和，则由求根公式可得，
，，把不等式的根排在数轴上，
穿根得不等式的解集为，，，故解集构成的区间的长度之和为
，
故答案为：2．

二、选择题（每题4分，共16分）
11．（4分）下列四个命题中，为真命题的是　　
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
解：，若，当时，，错误；
，若，，，，满足，，但，故错误；
，若，则，正确；
，若，则，故错误．
故选：．
12．（4分）命题“对任意的，”的否定是　　
A．对任意的， B．对任意的，
C．存在， D．存在，
解：根据命题“，”的否定是“，”，
命题：“对任意的，”的否定是“，”．
故选：．
13．（4分）若集合，，，，则“”是“，1，”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当时，，，，
则，1，，
则充分性成立，
当时，，，，
满足，1，，但不成立，即必要性不成立，
则“”是“，1，”的充分不必要条件，
故选：．
14．（4分）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则　　
A． B． C． D．
解：关于 的不等式即，，
的解集中的整数恰有3个，，
不等式的解集为 ，所以解集里的整数是，，0 三个．
，
，，
，
，
，
综上，，
故选：．
三、解答题（共5题，总计49分）
15．解下列关于的不等式．
（1）；
（2）．
解：（1），即，
当，即时，恒成立，故解集为，
当，即时，解得：，
当，即时，解得：，
综上：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
（2），
当时，，解得，与取交集得，
当时，，解得，与取交集得，
当时，，解得，与取交集为，
综上：不等式的解集为．
16．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，即，
解得：，
（2），解得：，解得：，
故，
因为，所以，，即，即，
当，即时，，此时，满足要求，
当，即时，，要想满足，
则要，解得：，
所以，
当，即时，，要想满足，
则要，解得：，
所以，
综上：，
故实数的取值范围是，．
17．某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下，
①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：与游玩时间（小时）满足关系式：；
②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；
③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50．
（1）求当玩家游玩6小时时，求此时的累积经验值；
（2）若玩家为保证累积经验值不低于60，分别求玩家最短游玩时间和可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间．
解：（1），则在上单调递增，
当时，，
当时，，
当时，．
（2）令，解得或（不合题意，舍去），
故①当时，累积经验值不低于60，
②当时，累积经验值，，
综上所述，玩家最短游玩时间为2小时，
故可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间为小时．
18．命题：实数使得对于任意都成立；命题：集合，，，且．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题，中恰有一个真命题，求实数的取值范围．
解：（1）命题为真命题，当时，恒成立，满足要求，
当时，对于任意都成立，
，解得：，
综合可得实数的取值范围是，；
（2）当为真命题时，，
，有非负解，
令，由于，且二次函数开口向上，
且△，
解得，
当为真命题，为假命题时，，，，，
当为假命题，为真命题时，，与，取交集得，，
综上：实数的取值范围是，，．
19．若实数、、满足，则称比远离．
（1）若比远离1，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离．
解：（1）由题意得，
，即，解得或，
故实数的取值范围是，，；
（2）证明：由题意得，，，，
则，，
，
故比远离．