高考数学二轮复习培优专题第9讲 利用导数解决整数解及方程根的个数问题（含解析）

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第9讲 利用导数解决整数解及方程根的个数问题
【典例例题】
题型一：整数解问题之化为直线与曲线位置关系问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式（其中），有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定不等式，构造函数和，作出函数图象，结合图象分析求解作答.
【详解】
由不等式（），令，，
，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，且当时，恒有，
函数，表示恒过定点，斜率为的直线，
在同一坐标系内作出函数的图象和直线，如图，

因不等式（）有且只有两个整数解，观察图象知，-1和0是不等式解集中的两个整数，
于是得，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
【点睛】
关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.
【例2】（2023·四川·成都七中模拟预测（理））已知不等式恰有2个整数解，则a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先通过不等式分析，排除的可能性，对于,将不等式分离参数，得到，分析排除的情况，然后令，利用导数分析其单调性，结合函数的正负值和零点，极值点分析，得到函数的大致图象，然后观察图象分析，将问题要求等价转化为，进而求解.
【详解】
当时，即为,即,不成立；
当时不等式等价于,
由于，故不成立；
当时，不等式等价于，
若，则不等式对于任意的恒成立，满足不等式的整数有无穷多个，不符合题意；
当时，令，则，
在上，∴单调递增，在上，∴单调递减，且在(上,在上,
又∵在趋近于时，趋近于0，
∴在上的图象如图所示：

∵，∴当时，不等式等价于有两个整数解，这两个整数解必然是和0，充分必要条件是,即,∴，
故选：C
【点睛】
分类讨论是解决这类问题的重要方法，利用导数研究单调性后要结合函数的零点和极值，极限值进行分析，然后利用数形结合思想找到题设要求的充分必要条件，是问题解决的关键步骤.
【例3】（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将问题化为有且只有两个整数解，利用导数研究的性质，并画出与的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k的范围.
【详解】
由题设，定义域为，则可得，
令，则，
所以时，即递增，值域为；
时，即递减，值域为；
而恒过，函数图象如下：

要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点，
若交点的横坐标为，则，
所以，即.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：首先转化为有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用数形结合法判断、交点横坐标范围，即可求参数范围.
【题型专练】
1.（2022·福建·莆田二中高二期中）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件，构造函数，将问题转化为存在唯一的整数使得
在直线下方，再借助导数探讨求解作答.
【详解】
令，，显然直线恒过点，
则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”，
，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，
则当时，，当时，，而，
即当时，不存在整数使得点在直线下方，
当时，过点作函数图象的切线，设切点为，则切线方程为：，
而切线过点，即有，整理得：，而，解得，
因，又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，
即存在唯一整数2使得点在直线下方，
因此有，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
【点睛】
思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线
方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.
2.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若有且仅有两个正整数，使得成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将转化为，再分别求导分析和的图象，再分别求得，，到的斜率，分析临界情况即可
【详解】
由且，得，设，，
，已知函数在（0，2）上单调递增，在上单调递减，
函数的图象过点，，，，结合图象，因为，所以．

故选：C
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知关于x的不等式的解集中只有1个整数，则实数a的取值范围是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可得不等式仅有1个整数解，利用数形结合可得，即求.
【详解】
由题可知，
所以不等式，即只有一个整数解，
令，不等式仅有1个整数解，
令，，则函数图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线的下方，
∵，由，得，
∴在上单调递减，在上单调递增，因为直线恒过点，
作出函数与直线的大致图象，

由图象可知，这个点，可得，即．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是把问题转化为函数与直线的的交点的位置问题，然后利用数形结合解决.
4.（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）设函数，若不等式恰有两个整数解，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题知恰有两个整数解，构造函数，利用导数研究函数的性质，作出函数的大致图象，利用数形结合即得.
【详解】
由，可得，
令，
由题意知恰有两个整数，使成立，
因为，由，可得，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，且，
直线恒过点，且斜率为，

结合图象可得 ，即，
解得，
即的取值范围是.
故答案为；.




题型二：方程根的个数问题
【例1】（2022·福建·漳州市第一外国语学校高二期中）设函数，则关于的方程的实数根的个数不可能为（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数确定函数的单调性，进而得出函数的图象，数形结合得出方程实数根的个数.
【详解】

，
即函数在上单调递减，在上单调递增
当时，，，
则函数与的图象如下图所示

平移直线可知，函数与的交点个数可能为
则关于的方程的实数根的个数可能为
故选：A

【例2】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习多选）已知函数，下列选项正确的是（       ）
A．函数的单调减区间为、
B．函数的值域为
C．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是
D．若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用函数的单调性与导数之间的关系可判断A选项；求出函数的值域，可判断B选项；数形结合可判断CD选项.
【详解】
对于A选项，当时，，则，
当时，，则，由可得，
所以，函数的单调减区间为、，A对；
对于B选项，当时，，
当时，，
因此，函数的值域为，B错；
对于CD选项，作出函数的图像如下图所示：

若，由可得，则方程只有两个不等的实根；
若，由可得或或，
由图可知，方程有个不等的实根，方程只有一个实根，
若关于的方程有个不相等的实数根，则，C对；
若关于的方程有个不相等的实数根，则，D对.
故选：ACD.
【例3】（2022·江西赣州·高二期中（文））已知函数，关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数t的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导，利用导数的符号变化研究其单调性、极值，对分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法，结合函数图象和不等式的整数解个数进行判定求解.
【详解】
由得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，有最大值，且，
又当时，，且，
当时，，．
其图象如图所示：

①当，由，得，
即，则，此时不等式的整数解有无数多个，不合题意；
②当时，由得或．
当时，，有无数个整数解；
当时，其解集为(0,1)的子集，不含有整数解；
故不合题意；
③当时，由得或，
当时，其解集为(0,1)，不含有整数解；
当时，若不等式有且仅有四个整数解，
又，，，，
且，
因为在递增，在递减，
所以四个整数解只能为2、3、4、5，
所以， 即
所以实数的取值范围为．
故选：B.

【例4】（2022·江西省宜春中学高二开学考试（理））已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先研究时，的单调性和极值，然后画出分段函数的图象，再令，通过换元后数形结合，可转化为一元二次方程根的分布问题，从而即可求解.
【详解】
解：当时，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以时，；
当时，；
作出大致图象如下：

由函数恰有5个不同零点，即方程恰有5个不等实根，
令，则方程，令函数，
①方程在区间和上各有一个实数根，则，解得；
②方程在区间和各有一个实数根，则，不等式组无解；
③方程的两根为1和5，此时无解．
综上，．
故选：C.
【题型专练】
1.（2022·广西百色·高二期末（理））设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求导得出的单调性，进而画出的图象，将题设转化为函数与有两个交点，结合图象求出实数的取值范围即可.
【详解】
当时，函数单调递增；当时，，则时，，
所以当时，，时，，故当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取极小值，极小值为，作出函数的图象如图：

因为函数有两个零点，所以函数与有两个交点，所以当时
函数与有两个交点，所以实数的取值范围为.
故选：D.
2.（2022·宁夏中卫·一模（文））设函数若函数有两个零点，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
有两个零点等价于与的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与最值，画出函数图象，数形结合可得结果.
【详解】
解：设，则，所以在上递减，在上递增，
，且时，，
有两个零点等价于与的图象有两个交点，
画出的图象，如下图所示，

由图可得，时，与的图象有两个交点，
此时，函数有两个零点，
实数m的取值范围是，
故选：D.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
3.（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造，通过求导，研究函数的单调性及极值，最值，画出函数图象，数形结合求出实数的取值范围.
【详解】
令，即，令，当时，，，令得：或，结合，所以，令得：，结合得：，所以在处取得极大值，也是最大值，，当时，，且，
当时，，则恒成立，单调递增，且当时，，当时，，
画出的图象，如下图：

要想有3个零点，则
故选：B