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高考数学二轮复习培优专题第13讲 平面向量十大题型总结（含解析）
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这是一份高考数学二轮复习培优专题第13讲 平面向量十大题型总结（含解析），共77页。
第13讲 平面向量十大题型总结
【题型目录】
题型一：平面向量线性运算
题型二：平面向量共线问题
题型三：平面向量垂直问题
题型四：平面向量的夹角问题
题型五：平面向量数量积的计算
题型六：平面向量的模问题
题型七：平面向量的投影问题
题型八：万能建系法解决向量问题
题型九：平面向量中的最值范围问题
题型十：平面向量中多选题
【典型例题】
题型一：平面向量线性运算
【例1】在中，是边上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：
【例2】在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【例3】在中，点P为中点，点D在上，且，则( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵点P为中点，∴,∵，,
∴,∴=,故选：B.
【例4】在中，为边上的中线，E为的中点，且，则________，_________．
【答案】
【解析】如下图所示：
为的中点，则，
为的中点，所以，，
因此，，即，.
故答案为：；.
【例5】如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加减法以及三角形中位线即可得到答案.
【详解】连接，，点为线段中点，
点为线段的中点，
,
又，
.
故选：B.
【题型专练】
1.设分别为的三边的中点，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故选：A
2.设D为△ABC所在平面内的一点,若,则_____.
【答案】
【解析】如图所示：
，+3()，即有=﹣，
因为，所以λ=﹣，μ=，则=﹣3，故答案为：﹣3.
3.在中，，为上一点，若，则实数的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，则，
，
由于为上一点，则，设，则，
所以，解得.
4.在中，，，，为边上的高，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
是边上的高，，
在中，，解得，，，
，为中点，
，，
，，，
.
5.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为边中点，
∴，
∵，
∴，
即.
6．设为所在平面内一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的加减、数乘运算即可求得.
【详解】∵，所以三点共线且.如图所示：
∴，即.
故选：A.
题型二：平面向量共线问题
【例1】已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据平面向量共线的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】解：因为，且，
所以，所以；
故选：A
【例2】与模长为13的向量平行的单位向量为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据平面向量的单位化，由单位向量的定义，可得答案.
【详解】与模长为13的向量平行的单位向量为,
故选：C.
【例3】已知向量，，，若A，B，D三点共线，则________．
【答案】0
【分析】利用向量坐标线性运算可得，再由向量共线定理有且，列方程求参数m.
【详解】由，又A，B，D三点共线，
所以且，则，可得.
故答案为：0
【例4】设向量不平行，向量与平行，则实数= ___．
【答案】
【解析】因向量与平行，所以，所以，解得
【例5】在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示：
，即，，
，，，，
，、、三点共线，则.
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.
【题型专练】
1.已知非零向量，，，若，，且，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】：因非零向量，且，，所以与共线，所以，所以
2.已知向量的，，，若A，C，D三点共线，则m=______.
【答案】
【分析】由向量线性运算的坐标表示得，根据三点共线有且，即可求m值.
【详解】由，又A，C，D三点共线，
所以且，则，可得.
故答案为：
3.已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】法一：，，因，，三点共线，所以与共线，所以，所以，解得
法二：由三点共线，
得，故解得．
4.设是两个不共线的向量，若向量（）与向量共线，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为向量（）与向量共线，
所以存在实数，使得，
所以有，因此，解得.
5.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】连接AO，由O为BC中点可得，，
、、三点共线，，.故选：C.
6.已知M为的边的中点，N为内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以∥，又因为 M为边的中点，
所以点到的距离等于点到的距离，
所以,
题型三：平面向量垂直问题
【例1】已知向量，且，则=（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【解析】：，因，所以，即
，所以
【例2】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
【例3】已知单位向量的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可．
【解析】由已知可得：．
A：∵，∴本选项不符合题意；
B：∵，∴本选项不符合题意；
C：∵，∴本选项不符合题意；
D：∵，∴本选项符合题意．故选D．
【例4】已知向量，且，则实数___________.
【答案】1
【分析】先求出，再解方程即得解.
【详解】解：由题得，
因为，所以，
所以.
故答案为：1
【例5】已知非零向量满足，．若，则实数t的值为（ ）
A．4 B．–4 C． D．–
【答案】B
【解析】由可得，即，所以．故选B．
【例6】已知向量与的夹角，且||=3，||=2，若，且，则实数的值为_____．
【答案】
【解析】向量与的夹角为，且所以．由得，，即，所以，即，解得．
【题型专练】
1.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图由题意，，故，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，所以，故选D．
2.已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．
【答案】
【解析】解法一：因，是互相垂直的单位向量，所以，
所以 ，
，
，
，解得：．
解法二：建立坐标系，设，所以，所以
所以由数量积的定义得，解得：．
3.已知向量，若，则__________.
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】由题意可得，则，解得.
故答案为：
4.已知向量，且，则实数_____________．
【答案】2
【分析】根据向量坐标运算及向量垂直的坐标表示即得.
【详解】因为，又，
所以，
解得．
故答案为：2.
5.在中，，，，若为直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C．－1 D．
【答案】BD
【分析】根据题意，分类讨论、、为直角时的情况，直接计算即可求解
【详解】由题意，可得，，，
若，则，因为，无解；
若，则，解得；此时，，满足为直角三角形
若，则，解得；此时，，满足勾股定理，此时是直角三角形
则的值为或
故选：BD.
题型四：平面向量的夹角问题
【例1】已知平面向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量垂直的性质、向量的模长公式以及夹角公式求解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以，故B，C，D错误.
故选：A.
【例2】已知，，则与的夹角等于（ ）
A．150° B．90° C．60° D．30°
【答案】C
【分析】首先求出与的坐标，再根据向量模的坐标表示及数量积的坐标表示计算可得.
【详解】解：因为，，
所以，，
所以，，
，
设与的夹角为，则，
因为，所以；
故选：C
【例3】已知向量=（2，1），，则（ ）
A．若，则 B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为 D．
【答案】ABC
【分析】根据向量垂直的数量积为0可判断A，利用平面向量的几何意义及投影向量的概念可判断B选项，利用平面向量夹角公式的坐标表示可判断C选项，利用平面向量共线的坐标表示可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，所以，A正确；
对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，则，即，解得，故向量在向量上的投影向量为，B选项正确；
对于C选项，，，C选项正确；
对于D选项，，，所以与不共线，D选项错误.
故选：ABC.
【例4】若向量，满足，，，则与的夹角为_________．
【答案】
【分析】求出向量的模，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由题意得，
所以，
由于，与的夹角为，
故答案为：
【例5】已知向量满足，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量数量积计算公式即可求解．
【详解】，，，
．
，
∴．
故选：D．
【例6】若非零向量满足，则与夹角的余弦值为________．
【答案】
【分析】根据两边平方，求出，再使用向量夹角余弦公式进行求解.
【详解】因为，
所以，所以，
设与夹角为θ．所以．
故答案为：
【例7】设向量，，，，若平分与的夹角，则的值为 ．
【答案】
【解析】解法一：，所以；，
因平分与的夹角，所以，即，所以，所以，解得
解法二：因平分与的夹角，所以，又因
，所以，解得
【例8】已知的三个顶点分别为求的大小．
【答案】C
【解析】，所以
所以，所以
【题型专练】
1.设非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量的数量积的运算性质求解即可
【详解】由得，
代入得，
又
故夹角为．
故选：C
2.已知，，且，则___________.
【答案】
【分析】由题意，根据向量的数量积公式，结合模长的坐标公式，可得答案.
【详解】由题，
∴，又，∴.
故答案为：.
3.已知向量满足，，，则的夹角等于___________.
【答案】
【分析】由平面向量数量积的运算律求解
【详解】由题意，，，
则，，而，
故答案为：
4.若两个非零向量、满足，则与的夹角___________.
【答案】
【分析】由向量和与差的模相等可确定向量、相互垂直，且得到，最后运用向量夹角公式即可.
【详解】设向量与的夹角为，
若，则，
变形得 ，
所以 且 ，
则 ，故 ，
又 ，则.
故答案为:.
5.已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算出，及，从而利用向量余弦夹角公式计算得到，再利用同角三角函数平方关系求出.
【详解】因为，是单位向量，
所以，
又因为，，
所以，
，
所以，
因为，
所以．
故选：B．
6.已知向量满足，则向量与所成的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意求得，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由题意得，，
解得，所以，
因为，所以向量与所成的夹角为，
故选:B．
7.已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对等式两边平方即可求得夹角.
【详解】，，
即，
即，
又，
，
解得，，
所以.
故选：C
8.已知向量，，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，可以求得，
所以，
结合向量所成角的范围，可以求得，故选D．
9.非零向量，满足：，，则与夹角的大小为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】非零向量，满足，∴，
由可得，解得，
，为与的夹角，
，故选A．
10.已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.
【答案】
【解析】因为，，所以，
，所以，
所以 ．
11.已知向量，的夹角为，则__________.
【答案】
【解析】依题意，所以.
故答案为.
12.已知向量满足，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值．
【解析】，，，．
，因此．故选D．
题型五：平面向量数量积的计算
【例1】（2021新高考2卷）已知向量_______．
【答案】
【解析】方法一：因为，所以，即
所以，所以，所以
方法二：因为，所以，所以，即
所以，所以，
同理，所以，即，所以，所以，
同理，所以，即，所以，所以，
所以
【例2】在△中，为△的外心，则等于
A． B．6 C．12 D．
【答案】D
【解析】试题分析：如图，过点作于，则，应选D.
【例3】已知边长为3的正，则（ ）
A．3 B．9 C． D．6
【答案】D
【分析】由数量积的运算律化简后求解
【详解】由题意得，
故，
故选：D
【例4】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设且先用表示出，，求出的值，即可求出.
【详解】解：设且
故选：A.
【例5】在中，，，，，则=______．
【答案】
【分析】利用基底来表示，从而将表示为即可求解.
【详解】据题意，可作图如下，
,,
,
==.
故答案为:.
【题型专练】
1.如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为基底，结合已知条件，由平面向量的线性运算可得.
【详解】在△ABC中，AD⊥AB，，，
则
.
故选：A．
2.在中，，﹒若，则______．
【答案】
【分析】用向量、表示出向量和，再利用求出的值．
【详解】解：中，，，
所以，
所以，
因为，
所以，
解得．
故答案为：．
3.中，，，为线段上任一点，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．6
【答案】B
【分析】由，为线段上任一点，可知，则可由向量的数量积公式直接计算出结果.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
4.已知为等边三角形，为的中点，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据数量积的定义，结合等边三角形的性质，即可求得答案.
【详解】由题意知为等边三角形，为的中点，故，
设，则，
所以，
故选：C.
5.如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三点共线求出，然后把当基底表示出和，从而求的值.
【详解】因为，所以，
所以，因为三点共线，所以，即，
所以，又,
所以
.
故选：C.
6．在平行四边形ABCD中，＝6，＝5，则＝____________.
【答案】
【分析】由、，结合向量数量积的运算律求得，即可得答案.
【详解】
由题设，则，
所以，
而，则，
则，故.
故答案为：
7．已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______
【答案】##
【分析】根据向量的线性运算化简后求值即可.
【详解】解：由题意得：
，即
故答案为：
题型六：平面向量的模问题
【例1】已知，，则的最小值为________．
【答案】
【解析】：
对称轴，所以当时，
【例2】（2021新高考1卷）已知为坐标原点，点，，，，则：
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
【例3】已知向量，的夹角为60°，，，则= ．
【答案】
【解析】
【例4】已知与均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题
：∈[0，） ：∈(，]
： ∈[0， ） ：∈(，]
其中真命题是
（A）， (B) ， (C) ， (D) ，
【答案】A
【解析】由得，，即＞，即=＞，
∵∈[0，]，∴∈[0，），
由得，，即＜，即=＜，∵∈[0，]，∴∈(，]，故选A．
【例5】设，是两个非零向量
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则
【答案】C
【解析】对于A，，所以，所以，所以A错，B错；C 对，D有可能为
【题型专练】
1．设向量，，若(∈R)，则的最小值为
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】，所以
2.已知向量，，且，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐标表示求得m，然后可得的坐标，再由公式直接求模可得.
【详解】因为，所以，解得，则
所以，所以.
故选：A
3.已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据模长公式求出，进而求出，再利用模长公式进行求解.
【详解】因为，所以，
所以，则，
所以，
即．
故选：C．
4.已知，，，且，则可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据向量模的运算列方程，化简求得的值，进而求得正确答案.
【详解】，
由于，
所以，
，
，
，.
，
所以在四个选项中，BD选项符合题意.
故选：BD
5.平面向量与的夹角为，，则_____________．
【答案】
【分析】首先求出，再根据数量积的定义求出，最后根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】解：因为，所以，
又向量与的夹角为，且，
所以，
所以；
故答案为：
6.已知向量满足，且，则__________．
【答案】
【分析】根据的坐标求出，然后将平方后求出，最后将平方即可求.
【详解】因为，所以，
，所以，
所以，.
故答案为：.
7.设为单位向量，且，则______________.
【答案】
【解析】因为为单位向量，所以
所以，解得：
所以
8.设，均为单位向量，则“”是“⊥”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵，∴，∴
，又，∴，∴；反之也成立，故选C．
9.已知向量，夹角为，且||=1，||=，则||= ．
【答案】．
【解析】∵||=，平方得，即，解得||=或（舍）
题型七：平面向量的投影问题
【例1】已知向量，则在上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】先求出在方向上的投影，再求出在方向上的投影向量，从而求出投影向量的模．
【详解】解：，，
在方向上的投影为，
在方向上的投影向量为,
则在上的投影向量的模为．
故选：C．
【例2】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【答案】A
【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.
【详解】在方向上投影向量为，
，.
故选：A
【例3】已知平面向量，，满足，，与的夹角为，在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据向量数量积、投影向量的定义求在方向上的投影向量.
【详解】由在方向上的投影向量为.
故选：C
【例4】已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据及相关公式可得，再根据投影向量的计算公式求解.
【详解】，，
所以
所以在上的投影向量为，
故选：B.
【例5】已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】数形结合，取中点，由分析投影向量即可.
【详解】取中点，连接，因为为正三角形的中心，故，则向量在向量上的投影向量为
故选：C
【例6】设向量在向量上的投影向量为，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据投影向量的概念和数量积公式可得.
【详解】记向量，的夹角为，则向量在向量上的投影为，
又与同向的单位向量为，所以向量在向量上的投影向量为，
即，A错误，B正确；
所以，故C正确，D错误.
故选：BC
【题型专练】
1．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义求解．
【详解】，，
在上的投影向量为．
故选：A．
2．如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图形求出向量与的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.
【详解】延长，交于点，如图所示，
，，
，
又，
向量在向量上的投影向量为，
故选：B.
3.已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．向量与向量的夹角为 D．在的投影向量是
【答案】AC
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用平面向量夹角的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的概念可判断D选项.
【详解】对于A选项，，则，故，A对；
对于B选项，，故，B错；
对于C选项，设向量、的夹角为，则，
因为，故，C对；
对于D选项，在方向上的投影向量为，D错.
故选：AC.
4.已知，，下列结论正确的是（ ）
A．与同向共线的单位向量是
B．与的夹角余弦值为
C．向量在向量上的投影向量为
D．
【答案】ACD
【分析】根据单位向量的求法判断A，由向量夹角公式判断B，根据向量投影的求法判断C，利用数量积判断D.
【详解】，故A正确；
，故B错误；
向量在向量上的投影向量为，故C正确；
由，故D正确.
故选：ACD
5.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．若，则
B．点，与向量同方向的单位向量为
C．若，则与的夹角为60°
D．若向量，则向量在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】对于A，算出即可判断；对于B，与向量同方向的单位向量为，通过向量坐标运算即可判断；对于C，通过能得到，通过能得到，再利用计算即可判断；对于D，向量在向量上的投影向量为，通过向量坐标运算即可判断
【详解】解：对于A，因为，所以，故正确；
对于B，因为，且，所以与向量同方向的单位向量为，故正确；
对于C，因为，所以即化简得，
因为，所以即化简得，
所以，
因为，所以，故错误；
对于D，因为，，所以向量在向量上的投影向量为，故正确，
故答案为：ABD
6．己知空间向量，且，则在上的投影向量为________．
【答案】##
【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】依题意在上的投影向量为.
故答案为：
7.已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，所以在上的投影向量为.
故选：C
8.已知点、、、，则向量在方向上的投影为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】=（2，1），=（5，5），则向量在向量方向上的射影为
9.若向量满足，则在方向上投影的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，所以，
设的夹角为，则，所以，
所以在方向上投影为，
因为，所以，故选B.
题型八：万能建系法解决向量问题
边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
建系必备 （1）三角函数知识；
（2） 向量三点共线知识（对面女孩看过来）．
【例1】如图，在等腰梯形中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以的中点O为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得结果.
【详解】以的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
依题意可得，
所以，
故.
故选：B
【例2】如图，正八边形中，若，则的值为________．
【答案】
【分析】以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，由正八边形的性质可得轴，为等腰直角三角形，设，求出、、、点坐标及、、坐标，根据
的坐标运算可得答案.
【详解】
如图，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，，
，所以，
，所以，
即轴，为等腰直角三角形，
设，则，，
所以，所以，，与关于轴对称，
所以，
，，，
由得，
即，解得，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．
【题型专练】
1.如图，在梯形中，，，，，，则___________.
【答案】
【分析】作，，在和中，利用勾股定理可构造方程求得和的长；以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可计算得到结果.
【详解】作，，垂足分别为，
设，，则，
在和中，由勾股定理得：，解得：；
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，
，，.
故答案为：.
2.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】 (1). (2).
【解析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
题型九：平面向量中的最值范围问题
【例1】如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以点为原点，以，所在的直线为和轴，建立平面直角坐标系，设，得到，即可求解.
【详解】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点作轴，过点作轴，
因为且，则，
所以，
设，则，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：B.
【例2】是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【答案】D
【分析】根据三角形形状及各点位置，建立平面直角坐标系，设动点坐标，利用平面向量的坐标运算，并结合函数思想求得最值
【详解】解： 是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且
则以C为原点，CB所在的直线为x轴，平面内过C垂直于CB的直线为y轴，如图所示：
则
因为点D、E分别在边AC、BC上，且
设且，则
所以
故当时，的最小值为.
故选：D.
【例3】四边形ABCD中，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【答案】D
【分析】延长交于，设，结合条件及数量积的定义可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】延长交于，因为，，
∴，为等边三角形，
设，则，
∴，
所以当时，的最小值为.
故选：D.
【例4】如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可以点为原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，根据条件可求出，并设，得出，并且，然后即可计算出是关于的二次函数，利用二次函数求的最小值即可．
【详解】解：如图，以点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，，
，，，
，
设，则，其中，
，，
，
时，取得最小值．
故选：C.
【例5】已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据线性运算进行变换可求得，建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于的一次函数，即可求得最值.
【详解】由题意知：，设，
∴
，∴，
以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
，，，设，且
则，，
当时，
故选：C.
【例6】已知向量，，共面，且均为单位向量，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，可得表示单位圆上的点到定点的距离，即可求出.
【详解】因为向量，，共面，且均为单位向量，，
可设，
则，，即，
，它表示单位圆上的点到定点的距离，
所以最大值为.
故选：C.
【例7】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最小值为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．18
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设出，利用坐标求出的最小值
【详解】以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，垂直AD为y轴建立平面直角坐标系，
则，设，
则
，
当时，取得最小值，最小值为12.
故选：A
【例8】已知， ， ，若点是所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】以题意，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，所在的直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点，，，所以== 13（当且仅当，即时取等号），所以的最大值为13．故选A．
【题型专练】
1．已知梯形ABCD中，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，表示出的坐标，然后求解其数量积，由二次函数的性质可求得其最小值
【详解】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
因为梯形ADBC中，，，，所以，
不妨设，，
则
，
所以当时，取得最小值，
故选：D．
2．在中，，点M为边AB的中点，点P在边BC上运动，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出，根据二次函数求最值即可.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系：,
直线方程为，即，点P在边BC上，所以设，
故，因此，
故答案为：
3.为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得的最小值.
【详解】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故，
以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，
，，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
4．已知等边三角形的边长为1，点在的边上运动，则的最大值为___________.
【答案】##0.5
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算表示出，进而求得的最大值.
【详解】
以线段的中点为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则，设，则，，表示到点的距离的平方再减去，由于在三边上运动， 恰是线段的中点.所以的最大值，也即三边上的点到点距离的最大值的平方再减去，由图可知三边上点到的距离最大，最大值为，所以的最大值为.
故答案为：
5.已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】以为原点，所在直线为轴，建立坐标系，
∵为边长为的正三角形，，
∴，，
∴.
故选C．
6.如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
7.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，
设，则，，，则，当，时，取得最小值，故选．
8.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
9.已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，建立平面直角坐标系，则.
设，则，故，
即的取值范围是.
故选：A
题型十：平面向量中多选题
【例1】已知与均为单位向量，其夹角为，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【分析】转化，结合数量积的运算律，数量积的定义，分析即可判断
【详解】A对，，
B对，，
C错，，
D对，．
故选：ABD
【例2】已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为
C． D．的最大值为2
【答案】CD
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算可得，从而可判断A；根据向量在方向上的投影为可判断B;根据共线向量的坐标运算可判断C；由C可得，根据基本不等式即可判断D.
【详解】对于A，因为所以，
则与的夹角为锐角，故A错误；
对于B，因为
所以向量在方向上的投影为，故B错误；
对于C，因为所以.
因为，，所以，即，故C正确；
对于D，因为，，
所以，当且仅当,即时取等号，
故的最大值为2，故D正确.
故选:CD.
【例3】已知向量=（2，1），，则（ ）
A．若，则 B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为 D．
【答案】ABC
【分析】根据向量垂直的数量积为0可判断A，利用平面向量的几何意义及投影向量的概念可判断B选项，利用平面向量夹角公式的坐标表示可判断C选项，利用平面向量共线的坐标表示可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，所以，A正确；
对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，则，即，解得，故向量在向量上的投影向量为，B选项正确；
对于C选项，，，C选项正确；
对于D选项，，，所以与不共线，D选项错误.
故选：ABC.
【例4】在直角三角形中，，，，点P在斜边BC的中线AD上，则的值可能为（ ）
A． B．8 C． D．2
【答案】CD
【分析】利用已知条件，建立坐标系，利用斜率的数量积化简，结合二次函数的性质求解最值即可．
【详解】解：以为坐标原点，以，方向分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，
则，，,
设，，所以，，，
则，
所以．
所以时数量积取得最大值，当或时数量积取得最小值．
即．
故选：CD．
【例5】已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．若与共线，则为或
D．存在θ，使得
【答案】BD
【分析】由向量垂直的坐标表示可知A错误，由投影向量的定义可知B正确，由单位向量和共线向量的定义可知C错误，由向量与同向，可求得，可知D正确.
【详解】对于A，若，则有，即，A错误；
对于B，，在上的投影为，又因为，所以，
，B正确；
对于C，若与共线，设，所以有，解得，
因为，，，所以，C错误；
对于D，若成立，则与同向，所以，即有，，解得，故D正确.
故选：BD.
【例6】已知非零平面向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对，使
B．若，则
C．若且，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】对A，举反例，共线判断即可；对B，根据可得垂直，再根据平行四边形法则判断即可；对C，根据数量积的运算结合垂直的数量积公式判断即可；对D，根据数量积的性质判断即可.
【详解】对A，若，共线，不与，共线，则不存在实数对，使得，故A错误；
对B，因为非零平面向量，，且，则垂直，由向量加减法的平行四边形法则可得，故B正确；
对C，若且，则，即，又非零平面向量，，，则成立，故C正确；
对D，结果为向量，且与共线，同时与共线，故若，则，故D正确；
故选：BCD
【例7】正六角星是我们生活中比较常见的图形，如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（ ）
A．向量，夹角的余弦值是
B．若，则
C．若，则
D．若，非零向量，则的最小值为
【答案】AD
【分析】选项A可以通过图形分析；选项B可以通过向量的基底运算求以及求的值；选项C可以利用选项B中的结论计算；选项D中可以通过表示出，然后两边同时平方计算出，发现可以表示成关于的二次函数，从而求出的最小值
【详解】因为O，A，B，C是该正六角星的顶点，所以，即向量，夹角的余弦值是，故A正确；
因为
，则若， ，故B错误；
因为，故C错误；
因为，所以
，令，所以，即当时，
所以的最小值为，故D正确
故选：AD
【例8】下列说法中错误的为（ ）
A．己知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为
【答案】AC
【分析】由向量的数量积即向量的夹角的知识可判断A的正误；由向量的基本定理可判断B的正误；由向量的定义可判断C的正误；由平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识可判断D的正误．
【详解】对于A，，，且与的夹角为锐角，
，且（时，与的夹角为），所以且，故A错误；
对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；
对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；
对于D，因为，两边平方得，，又，
则，，
故，
而向量的夹角范围为，所以和的夹角为，故D正确．
故选：AC．
【例9】已知的外接圆的圆心为O，半径为2，，且，下列结论正确的是（ ）
A．在方向上的投影长为
B．
C．在方向上的投影长为
D．
【答案】BCD
【分析】先利用平面向量的线性运算、共线向量判定四边形OBAC是边长为2的菱形，再利用投影的定义、数量积公式进行求解.
【详解】由得，即，
所以四边形OBAC为平行四边形．
又O为外接圆的圆心，所以，
又，
所以为正三角形．因为的外接圆半径为2，
所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以，
对于A、C：在方向上的投影长为，
即选项A错误，选项C正确；
对于B：因为，
，
则，即选项B正确；
对于D：因为，
，
则，即选项D正确．
故选：BCD.
【例10】如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，且，则
【答案】ABD
【分析】根据三角形重心的性质可得，结合奔驰定理可判断A; 设点P到边的距离分别为，结合三角形面积公式可得，与比较，可判断B;由化简得，和奔驰定理比较可判断C;由三角形外心性质结合三角形面积公式可判断D.
【详解】对于A，是的重心，则,
代入就得到,正确；
对于B，设点P到边的距离分别为，
由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确；
对于，即，
与比较得到，，错误；
对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R，
所以，
代入奔驰定理即可得到，正确，
故选：ABD.
【题型专练】
1.在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可．
【详解】解：如图：
对于选项A，，即选项A错误；
对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确；
对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，，即，即选项D正确，
故选：BCD．
2.已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
【答案】ABC
【分析】根据，计算可判断A；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断B；设中点为，进而结合正弦定理得可判断C；设中点为，根据题意计算得，进而得可判断D.
【详解】解：对于A选项，因为，，又因为为的垂心，
所以，所以，故正确；
对于B选项，因为且，
所以，整理得：，即，
设为中点，则，所以三点共线，
又因为，所以垂直平分，故，正确；
对于C选项，由正弦定理得，
所以，
设中点为，则，所以，
所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；
对于D选项，因为，
设中点为，则，所以，
所以，
所以，即，
所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.
故选：ABC
3.向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
【答案】BC
【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D.
【详解】，,
,解得,故A错误
,，
由于，与的夹角为，故B正确,
,故C正确
在上的投影向量为，故D错误,
故选：BC
4.在平面四边形中，，若点E为线段上的动点，则的值可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】BC
【分析】由数量积的定义及性质，得出，，由余弦定理求得BD，进一步根据几何关系得为正三角形，.
即可以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标法可表示出，，讨论值域即可
【详解】由题，
，又，则，
则，为正三角形，，
故以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，设，则，
则，
则当时，取最小值；当时，取最大值3，故.
故选：BC
5.已知是平面向量，是单位向量，非零向量与的夹角为，向量满足，则可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】建立平面直角坐标系，由给定条件，确定，的终点的轨迹即可求解作答.
【详解】将向量平移到共起点O，以点O为原点，单位向量的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图，
由得：，即，则，
因此的终点轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，
因非零向量与的夹角为，则向量的终点在射线或上，
点到射线或的距离，
因此圆C上的点到射线或距离的最小值为，
表示圆C上的点与射线或上的点的距离，即有，A满足，
而，，因此，BD都满足，C不满足.
故选：ABD
6.设向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】先用向量，的坐标表示出题中四个选项的向量，然后逐个用平面向量的坐标运算进行检验即可.
【详解】对A，，，， 与不共线，故A错误.
对B，，，， ，，故B正确.
对C，，，， ，故C错误.
对D，，，， ，，，故D正确.
故选：BD.
7.已知是单位向量，且，则（ ）
A． B．与垂直
C．与的夹角为 D．
【答案】BC
【分析】对于A和D，利用向量模的坐标公式进行判断；对于B，先利用进行平方结合是单位向量可得到即可判断；对于C，先算出，然后利用向量夹角公式进行判断即可
【详解】解：对于A和D，因为，所以，故A和D错误；
对于B，因为，且，所以，所以与垂直，故正确；
对于C，因为，所以，
所以，
因为，所以，故正确，
故选：BC
8.下列选项中正确的是（ ）
A．若平面向量，满足，则的最大值是5；
B．在中，，，O是的外心，则的值为4；
C．函数的图象的对称中心坐标为
D．已知P为内任意一点，若，则点P为的垂心；
【答案】ABD
【分析】利用数量积的运算律及性质计算判断A；利用三角形外心及数量积计算判断B；求出函数的对称中心判断C；利用数量积运算律及垂直的向量表示判断D作答.
【详解】对于A，因，则，
当且仅当时取等号，A正确；
对于B，令边AB的中点为D，因O是的外心，则，
则，同理有,
所以，B正确；
对于C，由，得，，因此函数图象的对称中心为，，C不正确；
对于D，点P在内，由得：，即，有，
由，同理有，因此点P为的垂心，D正确.
故选：ABD
9.向量 满足，，，则的值可以是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】BC
【分析】利用题目的条件，得到，再结合得到点的轨迹为圆的一部分，最后根据圆的性质即可得到的范围.
【详解】设，，，
因为，，所以，又因为，则①，②，
第①种情况，可得点，，，四点共圆，如图所示：
因为，，所以圆的半径为1，那么；
第②种情况，点在以为圆心，1为半径的圆上，如图所示：
此时，；
综上所述：.
故选：BC.
10.已知，，，且，则可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据向量模的运算列方程，化简求得的值，进而求得正确答案.
【详解】，
由于，
所以，
，
，
，.
，
所以在四个选项中，BD选项符合题意.
故选：BD
11.已知P是边长为2的正六边形内的一点，则的最小值与最大值分别是（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】AD
【分析】利用数量积的几何意义，再结合图形即可得到数量积的最值.
【详解】
根据数量积的几何意义，可以看作和在上的投影向量的模的乘积，
因为，所以当点在点处时数量积最小，最小为；
当点在点处时数量积最大，最大为.
故选：AD.
12.八卦是我国古代的一套有象征意义的符号.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据向量的线性运算结合数量积公式求解即可.
【详解】对于A，两向量方向相反，故A错误；
对于B，连接BH交OA于M，由，可得，
由向量的平行四边形法则可得，
又，则，B正确；
对于C，由正八边形可得，
则，C正确；
对于D，，
，
易得，
又，，则，D错误.
故选：BC
13.平面向量，其中，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据向量的形式，可考虑数形结合分析，利用单位圆分别表示再逐个选项判断即可.
【详解】如图所示，因为，故在单位圆中分别作出.
对A，，因为，则，即，故A正确；
对B，因为，故为的角平分线，且，根据向量的加法法则可得，故B正确；
对C，当时，易得均为正三角形，根据向量加法的平行四边形法则可得，此时，故C错误；
对D，由B，设，则因为，故，解得，由平行四边形法则可得此时为正三角形，，故D正确；
故选：ABD
第13讲 平面向量十大题型总结
【题型目录】
题型一：平面向量线性运算
题型二：平面向量共线问题
题型三：平面向量垂直问题
题型四：平面向量的夹角问题
题型五：平面向量数量积的计算
题型六：平面向量的模问题
题型七：平面向量的投影问题
题型八：万能建系法解决向量问题
题型九：平面向量中的最值范围问题
题型十：平面向量中多选题
【典型例题】
题型一：平面向量线性运算
【例1】在中，是边上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：
【例2】在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【例3】在中，点P为中点，点D在上，且，则( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵点P为中点，∴,∵，,
∴,∴=,故选：B.
【例4】在中，为边上的中线，E为的中点，且，则________，_________．
【答案】
【解析】如下图所示：
为的中点，则，
为的中点，所以，，
因此，，即，.
故答案为：；.
【例5】如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的加减法以及三角形中位线即可得到答案.
【详解】连接，，点为线段中点，
点为线段的中点，
,
又，
.
故选：B.
【题型专练】
1.设分别为的三边的中点，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故选：A
2.设D为△ABC所在平面内的一点,若,则_____.
【答案】
【解析】如图所示：
，+3()，即有=﹣，
因为，所以λ=﹣，μ=，则=﹣3，故答案为：﹣3.
3.在中，，为上一点，若，则实数的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，则，
，
由于为上一点，则，设，则，
所以，解得.
4.在中，，，，为边上的高，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
是边上的高，，
在中，，解得，，，
，为中点，
，，
，，，
.
5.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为边中点，
∴，
∵，
∴，
即.
6．设为所在平面内一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的加减、数乘运算即可求得.
【详解】∵，所以三点共线且.如图所示：
∴，即.
故选：A.
题型二：平面向量共线问题
【例1】已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据平面向量共线的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】解：因为，且，
所以，所以；
故选：A
【例2】与模长为13的向量平行的单位向量为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据平面向量的单位化，由单位向量的定义，可得答案.
【详解】与模长为13的向量平行的单位向量为,
故选：C.
【例3】已知向量，，，若A，B，D三点共线，则________．
【答案】0
【分析】利用向量坐标线性运算可得，再由向量共线定理有且，列方程求参数m.
【详解】由，又A，B，D三点共线，
所以且，则，可得.
故答案为：0
【例4】设向量不平行，向量与平行，则实数= ___．
【答案】
【解析】因向量与平行，所以，所以，解得
【例5】在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示：
，即，，
，，，，
，、、三点共线，则.
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.
【题型专练】
1.已知非零向量，，，若，，且，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】：因非零向量，且，，所以与共线，所以，所以
2.已知向量的，，，若A，C，D三点共线，则m=______.
【答案】
【分析】由向量线性运算的坐标表示得，根据三点共线有且，即可求m值.
【详解】由，又A，C，D三点共线，
所以且，则，可得.
故答案为：
3.已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】法一：，，因，，三点共线，所以与共线，所以，所以，解得
法二：由三点共线，
得，故解得．
4.设是两个不共线的向量，若向量（）与向量共线，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为向量（）与向量共线，
所以存在实数，使得，
所以有，因此，解得.
5.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】连接AO，由O为BC中点可得，，
、、三点共线，，.故选：C.
6.已知M为的边的中点，N为内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以∥，又因为 M为边的中点，
所以点到的距离等于点到的距离，
所以,
题型三：平面向量垂直问题
【例1】已知向量，且，则=（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【解析】：，因，所以，即
，所以
【例2】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
【例3】已知单位向量的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可．
【解析】由已知可得：．
A：∵，∴本选项不符合题意；
B：∵，∴本选项不符合题意；
C：∵，∴本选项不符合题意；
D：∵，∴本选项符合题意．故选D．
【例4】已知向量，且，则实数___________.
【答案】1
【分析】先求出，再解方程即得解.
【详解】解：由题得，
因为，所以，
所以.
故答案为：1
【例5】已知非零向量满足，．若，则实数t的值为（ ）
A．4 B．–4 C． D．–
【答案】B
【解析】由可得，即，所以．故选B．
【例6】已知向量与的夹角，且||=3，||=2，若，且，则实数的值为_____．
【答案】
【解析】向量与的夹角为，且所以．由得，，即，所以，即，解得．
【题型专练】
1.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图由题意，，故，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，所以，故选D．
2.已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．
【答案】
【解析】解法一：因，是互相垂直的单位向量，所以，
所以 ，
，
，
，解得：．
解法二：建立坐标系，设，所以，所以
所以由数量积的定义得，解得：．
3.已知向量，若，则__________.
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】由题意可得，则，解得.
故答案为：
4.已知向量，且，则实数_____________．
【答案】2
【分析】根据向量坐标运算及向量垂直的坐标表示即得.
【详解】因为，又，
所以，
解得．
故答案为：2.
5.在中，，，，若为直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C．－1 D．
【答案】BD
【分析】根据题意，分类讨论、、为直角时的情况，直接计算即可求解
【详解】由题意，可得，，，
若，则，因为，无解；
若，则，解得；此时，，满足为直角三角形
若，则，解得；此时，，满足勾股定理，此时是直角三角形
则的值为或
故选：BD.
题型四：平面向量的夹角问题
【例1】已知平面向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量垂直的性质、向量的模长公式以及夹角公式求解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以，故B，C，D错误.
故选：A.
【例2】已知，，则与的夹角等于（ ）
A．150° B．90° C．60° D．30°
【答案】C
【分析】首先求出与的坐标，再根据向量模的坐标表示及数量积的坐标表示计算可得.
【详解】解：因为，，
所以，，
所以，，
，
设与的夹角为，则，
因为，所以；
故选：C
【例3】已知向量=（2，1），，则（ ）
A．若，则 B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为 D．
【答案】ABC
【分析】根据向量垂直的数量积为0可判断A，利用平面向量的几何意义及投影向量的概念可判断B选项，利用平面向量夹角公式的坐标表示可判断C选项，利用平面向量共线的坐标表示可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，所以，A正确；
对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，则，即，解得，故向量在向量上的投影向量为，B选项正确；
对于C选项，，，C选项正确；
对于D选项，，，所以与不共线，D选项错误.
故选：ABC.
【例4】若向量，满足，，，则与的夹角为_________．
【答案】
【分析】求出向量的模，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由题意得，
所以，
由于，与的夹角为，
故答案为：
【例5】已知向量满足，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量数量积计算公式即可求解．
【详解】，，，
．
，
∴．
故选：D．
【例6】若非零向量满足，则与夹角的余弦值为________．
【答案】
【分析】根据两边平方，求出，再使用向量夹角余弦公式进行求解.
【详解】因为，
所以，所以，
设与夹角为θ．所以．
故答案为：
【例7】设向量，，，，若平分与的夹角，则的值为 ．
【答案】
【解析】解法一：，所以；，
因平分与的夹角，所以，即，所以，所以，解得
解法二：因平分与的夹角，所以，又因
，所以，解得
【例8】已知的三个顶点分别为求的大小．
【答案】C
【解析】，所以
所以，所以
【题型专练】
1.设非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量的数量积的运算性质求解即可
【详解】由得，
代入得，
又
故夹角为．
故选：C
2.已知，，且，则___________.
【答案】
【分析】由题意，根据向量的数量积公式，结合模长的坐标公式，可得答案.
【详解】由题，
∴，又，∴.
故答案为：.
3.已知向量满足，，，则的夹角等于___________.
【答案】
【分析】由平面向量数量积的运算律求解
【详解】由题意，，，
则，，而，
故答案为：
4.若两个非零向量、满足，则与的夹角___________.
【答案】
【分析】由向量和与差的模相等可确定向量、相互垂直，且得到，最后运用向量夹角公式即可.
【详解】设向量与的夹角为，
若，则，
变形得 ，
所以 且 ，
则 ，故 ，
又 ，则.
故答案为:.
5.已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算出，及，从而利用向量余弦夹角公式计算得到，再利用同角三角函数平方关系求出.
【详解】因为，是单位向量，
所以，
又因为，，
所以，
，
所以，
因为，
所以．
故选：B．
6.已知向量满足，则向量与所成的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意求得，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由题意得，，
解得，所以，
因为，所以向量与所成的夹角为，
故选:B．
7.已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对等式两边平方即可求得夹角.
【详解】，，
即，
即，
又，
，
解得，，
所以.
故选：C
8.已知向量，，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，可以求得，
所以，
结合向量所成角的范围，可以求得，故选D．
9.非零向量，满足：，，则与夹角的大小为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】非零向量，满足，∴，
由可得，解得，
，为与的夹角，
，故选A．
10.已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.
【答案】
【解析】因为，，所以，
，所以，
所以 ．
11.已知向量，的夹角为，则__________.
【答案】
【解析】依题意，所以.
故答案为.
12.已知向量满足，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路导引】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值．
【解析】，，，．
，因此．故选D．
题型五：平面向量数量积的计算
【例1】（2021新高考2卷）已知向量_______．
【答案】
【解析】方法一：因为，所以，即
所以，所以，所以
方法二：因为，所以，所以，即
所以，所以，
同理，所以，即，所以，所以，
同理，所以，即，所以，所以，
所以
【例2】在△中，为△的外心，则等于
A． B．6 C．12 D．
【答案】D
【解析】试题分析：如图，过点作于，则，应选D.
【例3】已知边长为3的正，则（ ）
A．3 B．9 C． D．6
【答案】D
【分析】由数量积的运算律化简后求解
【详解】由题意得，
故，
故选：D
【例4】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设且先用表示出，，求出的值，即可求出.
【详解】解：设且
故选：A.
【例5】在中，，，，，则=______．
【答案】
【分析】利用基底来表示，从而将表示为即可求解.
【详解】据题意，可作图如下，
,,
,
==.
故答案为:.
【题型专练】
1.如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为基底，结合已知条件，由平面向量的线性运算可得.
【详解】在△ABC中，AD⊥AB，，，
则
.
故选：A．
2.在中，，﹒若，则______．
【答案】
【分析】用向量、表示出向量和，再利用求出的值．
【详解】解：中，，，
所以，
所以，
因为，
所以，
解得．
故答案为：．
3.中，，，为线段上任一点，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．6
【答案】B
【分析】由，为线段上任一点，可知，则可由向量的数量积公式直接计算出结果.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
4.已知为等边三角形，为的中点，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据数量积的定义，结合等边三角形的性质，即可求得答案.
【详解】由题意知为等边三角形，为的中点，故，
设，则，
所以，
故选：C.
5.如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三点共线求出，然后把当基底表示出和，从而求的值.
【详解】因为，所以，
所以，因为三点共线，所以，即，
所以，又,
所以
.
故选：C.
6．在平行四边形ABCD中，＝6，＝5，则＝____________.
【答案】
【分析】由、，结合向量数量积的运算律求得，即可得答案.
【详解】
由题设，则，
所以，
而，则，
则，故.
故答案为：
7．已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______
【答案】##
【分析】根据向量的线性运算化简后求值即可.
【详解】解：由题意得：
，即
故答案为：
题型六：平面向量的模问题
【例1】已知，，则的最小值为________．
【答案】
【解析】：
对称轴，所以当时，
【例2】（2021新高考1卷）已知为坐标原点，点，，，，则：
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
【例3】已知向量，的夹角为60°，，，则= ．
【答案】
【解析】
【例4】已知与均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题
：∈[0，） ：∈(，]
： ∈[0， ） ：∈(，]
其中真命题是
（A）， (B) ， (C) ， (D) ，
【答案】A
【解析】由得，，即＞，即=＞，
∵∈[0，]，∴∈[0，），
由得，，即＜，即=＜，∵∈[0，]，∴∈(，]，故选A．
【例5】设，是两个非零向量
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则
【答案】C
【解析】对于A，，所以，所以，所以A错，B错；C 对，D有可能为
【题型专练】
1．设向量，，若(∈R)，则的最小值为
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】，所以
2.已知向量，，且，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐标表示求得m，然后可得的坐标，再由公式直接求模可得.
【详解】因为，所以，解得，则
所以，所以.
故选：A
3.已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据模长公式求出，进而求出，再利用模长公式进行求解.
【详解】因为，所以，
所以，则，
所以，
即．
故选：C．
4.已知，，，且，则可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据向量模的运算列方程，化简求得的值，进而求得正确答案.
【详解】，
由于，
所以，
，
，
，.
，
所以在四个选项中，BD选项符合题意.
故选：BD
5.平面向量与的夹角为，，则_____________．
【答案】
【分析】首先求出，再根据数量积的定义求出，最后根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】解：因为，所以，
又向量与的夹角为，且，
所以，
所以；
故答案为：
6.已知向量满足，且，则__________．
【答案】
【分析】根据的坐标求出，然后将平方后求出，最后将平方即可求.
【详解】因为，所以，
，所以，
所以，.
故答案为：.
7.设为单位向量，且，则______________.
【答案】
【解析】因为为单位向量，所以
所以，解得：
所以
8.设，均为单位向量，则“”是“⊥”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵，∴，∴
，又，∴，∴；反之也成立，故选C．
9.已知向量，夹角为，且||=1，||=，则||= ．
【答案】．
【解析】∵||=，平方得，即，解得||=或（舍）
题型七：平面向量的投影问题
【例1】已知向量，则在上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】先求出在方向上的投影，再求出在方向上的投影向量，从而求出投影向量的模．
【详解】解：，，
在方向上的投影为，
在方向上的投影向量为,
则在上的投影向量的模为．
故选：C．
【例2】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【答案】A
【分析】由投影向量和数量积的定义即可得出结论.
【详解】在方向上投影向量为，
，.
故选：A
【例3】已知平面向量，，满足，，与的夹角为，在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据向量数量积、投影向量的定义求在方向上的投影向量.
【详解】由在方向上的投影向量为.
故选：C
【例4】已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据及相关公式可得，再根据投影向量的计算公式求解.
【详解】，，
所以
所以在上的投影向量为，
故选：B.
【例5】已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】数形结合，取中点，由分析投影向量即可.
【详解】取中点，连接，因为为正三角形的中心，故，则向量在向量上的投影向量为
故选：C
【例6】设向量在向量上的投影向量为，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据投影向量的概念和数量积公式可得.
【详解】记向量，的夹角为，则向量在向量上的投影为，
又与同向的单位向量为，所以向量在向量上的投影向量为，
即，A错误，B正确；
所以，故C正确，D错误.
故选：BC
【题型专练】
1．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义求解．
【详解】，，
在上的投影向量为．
故选：A．
2．如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图形求出向量与的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.
【详解】延长，交于点，如图所示，
，，
，
又，
向量在向量上的投影向量为，
故选：B.
3.已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．向量与向量的夹角为 D．在的投影向量是
【答案】AC
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用平面向量夹角的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的概念可判断D选项.
【详解】对于A选项，，则，故，A对；
对于B选项，，故，B错；
对于C选项，设向量、的夹角为，则，
因为，故，C对；
对于D选项，在方向上的投影向量为，D错.
故选：AC.
4.已知，，下列结论正确的是（ ）
A．与同向共线的单位向量是
B．与的夹角余弦值为
C．向量在向量上的投影向量为
D．
【答案】ACD
【分析】根据单位向量的求法判断A，由向量夹角公式判断B，根据向量投影的求法判断C，利用数量积判断D.
【详解】，故A正确；
，故B错误；
向量在向量上的投影向量为，故C正确；
由，故D正确.
故选：ACD
5.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．若，则
B．点，与向量同方向的单位向量为
C．若，则与的夹角为60°
D．若向量，则向量在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【分析】对于A，算出即可判断；对于B，与向量同方向的单位向量为，通过向量坐标运算即可判断；对于C，通过能得到，通过能得到，再利用计算即可判断；对于D，向量在向量上的投影向量为，通过向量坐标运算即可判断
【详解】解：对于A，因为，所以，故正确；
对于B，因为，且，所以与向量同方向的单位向量为，故正确；
对于C，因为，所以即化简得，
因为，所以即化简得，
所以，
因为，所以，故错误；
对于D，因为，，所以向量在向量上的投影向量为，故正确，
故答案为：ABD
6．己知空间向量，且，则在上的投影向量为________．
【答案】##
【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】依题意在上的投影向量为.
故答案为：
7.已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，所以在上的投影向量为.
故选：C
8.已知点、、、，则向量在方向上的投影为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】=（2，1），=（5，5），则向量在向量方向上的射影为
9.若向量满足，则在方向上投影的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，所以，
设的夹角为，则，所以，
所以在方向上投影为，
因为，所以，故选B.
题型八：万能建系法解决向量问题
边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
建系必备 （1）三角函数知识；
（2） 向量三点共线知识（对面女孩看过来）．
【例1】如图，在等腰梯形中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以的中点O为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得结果.
【详解】以的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
依题意可得，
所以，
故.
故选：B
【例2】如图，正八边形中，若，则的值为________．
【答案】
【分析】以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，由正八边形的性质可得轴，为等腰直角三角形，设，求出、、、点坐标及、、坐标，根据
的坐标运算可得答案.
【详解】
如图，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，，
，所以，
，所以，
即轴，为等腰直角三角形，
设，则，，
所以，所以，，与关于轴对称，
所以，
，，，
由得，
即，解得，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．
【题型专练】
1.如图，在梯形中，，，，，，则___________.
【答案】
【分析】作，，在和中，利用勾股定理可构造方程求得和的长；以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可计算得到结果.
【详解】作，，垂足分别为，
设，，则，
在和中，由勾股定理得：，解得：；
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，
，，.
故答案为：.
2.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】 (1). (2).
【解析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
题型九：平面向量中的最值范围问题
【例1】如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以点为原点，以，所在的直线为和轴，建立平面直角坐标系，设，得到，即可求解.
【详解】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点作轴，过点作轴，
因为且，则，
所以，
设，则，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：B.
【例2】是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【答案】D
【分析】根据三角形形状及各点位置，建立平面直角坐标系，设动点坐标，利用平面向量的坐标运算，并结合函数思想求得最值
【详解】解： 是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且
则以C为原点，CB所在的直线为x轴，平面内过C垂直于CB的直线为y轴，如图所示：
则
因为点D、E分别在边AC、BC上，且
设且，则
所以
故当时，的最小值为.
故选：D.
【例3】四边形ABCD中，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【答案】D
【分析】延长交于，设，结合条件及数量积的定义可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】延长交于，因为，，
∴，为等边三角形，
设，则，
∴，
所以当时，的最小值为.
故选：D.
【例4】如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可以点为原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，根据条件可求出，并设，得出，并且，然后即可计算出是关于的二次函数，利用二次函数求的最小值即可．
【详解】解：如图，以点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，，
，，，
，
设，则，其中，
，，
，
时，取得最小值．
故选：C.
【例5】已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据线性运算进行变换可求得，建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于的一次函数，即可求得最值.
【详解】由题意知：，设，
∴
，∴，
以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
，，，设，且
则，，
当时，
故选：C.
【例6】已知向量，，共面，且均为单位向量，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，可得表示单位圆上的点到定点的距离，即可求出.
【详解】因为向量，，共面，且均为单位向量，，
可设，
则，，即，
，它表示单位圆上的点到定点的距离，
所以最大值为.
故选：C.
【例7】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最小值为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．18
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设出，利用坐标求出的最小值
【详解】以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，垂直AD为y轴建立平面直角坐标系，
则，设，
则
，
当时，取得最小值，最小值为12.
故选：A
【例8】已知， ， ，若点是所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】以题意，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，所在的直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点，，，所以== 13（当且仅当，即时取等号），所以的最大值为13．故选A．
【题型专练】
1．已知梯形ABCD中，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，表示出的坐标，然后求解其数量积，由二次函数的性质可求得其最小值
【详解】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
因为梯形ADBC中，，，，所以，
不妨设，，
则
，
所以当时，取得最小值，
故选：D．
2．在中，，点M为边AB的中点，点P在边BC上运动，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出，根据二次函数求最值即可.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系：,
直线方程为，即，点P在边BC上，所以设，
故，因此，
故答案为：
3.为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得的最小值.
【详解】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故，
以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，
，，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
4．已知等边三角形的边长为1，点在的边上运动，则的最大值为___________.
【答案】##0.5
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算表示出，进而求得的最大值.
【详解】
以线段的中点为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则，设，则，，表示到点的距离的平方再减去，由于在三边上运动， 恰是线段的中点.所以的最大值，也即三边上的点到点距离的最大值的平方再减去，由图可知三边上点到的距离最大，最大值为，所以的最大值为.
故答案为：
5.已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】以为原点，所在直线为轴，建立坐标系，
∵为边长为的正三角形，，
∴，，
∴.
故选C．
6.如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
7.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，
设，则，，，则，当，时，取得最小值，故选．
8.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
9.已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，建立平面直角坐标系，则.
设，则，故，
即的取值范围是.
故选：A
题型十：平面向量中多选题
【例1】已知与均为单位向量，其夹角为，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【分析】转化，结合数量积的运算律，数量积的定义，分析即可判断
【详解】A对，，
B对，，
C错，，
D对，．
故选：ABD
【例2】已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为
C． D．的最大值为2
【答案】CD
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算可得，从而可判断A；根据向量在方向上的投影为可判断B;根据共线向量的坐标运算可判断C；由C可得，根据基本不等式即可判断D.
【详解】对于A，因为所以，
则与的夹角为锐角，故A错误；
对于B，因为
所以向量在方向上的投影为，故B错误；
对于C，因为所以.
因为，，所以，即，故C正确；
对于D，因为，，
所以，当且仅当,即时取等号，
故的最大值为2，故D正确.
故选:CD.
【例3】已知向量=（2，1），，则（ ）
A．若，则 B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为 D．
【答案】ABC
【分析】根据向量垂直的数量积为0可判断A，利用平面向量的几何意义及投影向量的概念可判断B选项，利用平面向量夹角公式的坐标表示可判断C选项，利用平面向量共线的坐标表示可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，所以，A正确；
对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，则，即，解得，故向量在向量上的投影向量为，B选项正确；
对于C选项，，，C选项正确；
对于D选项，，，所以与不共线，D选项错误.
故选：ABC.
【例4】在直角三角形中，，，，点P在斜边BC的中线AD上，则的值可能为（ ）
A． B．8 C． D．2
【答案】CD
【分析】利用已知条件，建立坐标系，利用斜率的数量积化简，结合二次函数的性质求解最值即可．
【详解】解：以为坐标原点，以，方向分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，
则，，,
设，，所以，，，
则，
所以．
所以时数量积取得最大值，当或时数量积取得最小值．
即．
故选：CD．
【例5】已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．若与共线，则为或
D．存在θ，使得
【答案】BD
【分析】由向量垂直的坐标表示可知A错误，由投影向量的定义可知B正确，由单位向量和共线向量的定义可知C错误，由向量与同向，可求得，可知D正确.
【详解】对于A，若，则有，即，A错误；
对于B，，在上的投影为，又因为，所以，
，B正确；
对于C，若与共线，设，所以有，解得，
因为，，，所以，C错误；
对于D，若成立，则与同向，所以，即有，，解得，故D正确.
故选：BD.
【例6】已知非零平面向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对，使
B．若，则
C．若且，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】对A，举反例，共线判断即可；对B，根据可得垂直，再根据平行四边形法则判断即可；对C，根据数量积的运算结合垂直的数量积公式判断即可；对D，根据数量积的性质判断即可.
【详解】对A，若，共线，不与，共线，则不存在实数对，使得，故A错误；
对B，因为非零平面向量，，且，则垂直，由向量加减法的平行四边形法则可得，故B正确；
对C，若且，则，即，又非零平面向量，，，则成立，故C正确；
对D，结果为向量，且与共线，同时与共线，故若，则，故D正确；
故选：BCD
【例7】正六角星是我们生活中比较常见的图形，如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（ ）
A．向量，夹角的余弦值是
B．若，则
C．若，则
D．若，非零向量，则的最小值为
【答案】AD
【分析】选项A可以通过图形分析；选项B可以通过向量的基底运算求以及求的值；选项C可以利用选项B中的结论计算；选项D中可以通过表示出，然后两边同时平方计算出，发现可以表示成关于的二次函数，从而求出的最小值
【详解】因为O，A，B，C是该正六角星的顶点，所以，即向量，夹角的余弦值是，故A正确；
因为
，则若， ，故B错误；
因为，故C错误；
因为，所以
，令，所以，即当时，
所以的最小值为，故D正确
故选：AD
【例8】下列说法中错误的为（ ）
A．己知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为
【答案】AC
【分析】由向量的数量积即向量的夹角的知识可判断A的正误；由向量的基本定理可判断B的正误；由向量的定义可判断C的正误；由平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识可判断D的正误．
【详解】对于A，，，且与的夹角为锐角，
，且（时，与的夹角为），所以且，故A错误；
对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；
对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；
对于D，因为，两边平方得，，又，
则，，
故，
而向量的夹角范围为，所以和的夹角为，故D正确．
故选：AC．
【例9】已知的外接圆的圆心为O，半径为2，，且，下列结论正确的是（ ）
A．在方向上的投影长为
B．
C．在方向上的投影长为
D．
【答案】BCD
【分析】先利用平面向量的线性运算、共线向量判定四边形OBAC是边长为2的菱形，再利用投影的定义、数量积公式进行求解.
【详解】由得，即，
所以四边形OBAC为平行四边形．
又O为外接圆的圆心，所以，
又，
所以为正三角形．因为的外接圆半径为2，
所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以，
对于A、C：在方向上的投影长为，
即选项A错误，选项C正确；
对于B：因为，
，
则，即选项B正确；
对于D：因为，
，
则，即选项D正确．
故选：BCD.
【例10】如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，且，则
【答案】ABD
【分析】根据三角形重心的性质可得，结合奔驰定理可判断A; 设点P到边的距离分别为，结合三角形面积公式可得，与比较，可判断B;由化简得，和奔驰定理比较可判断C;由三角形外心性质结合三角形面积公式可判断D.
【详解】对于A，是的重心，则,
代入就得到,正确；
对于B，设点P到边的距离分别为，
由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确；
对于，即，
与比较得到，，错误；
对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R，
所以，
代入奔驰定理即可得到，正确，
故选：ABD.
【题型专练】
1.在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可．
【详解】解：如图：
对于选项A，，即选项A错误；
对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确；
对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，，即，即选项D正确，
故选：BCD．
2.已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
【答案】ABC
【分析】根据，计算可判断A；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断B；设中点为，进而结合正弦定理得可判断C；设中点为，根据题意计算得，进而得可判断D.
【详解】解：对于A选项，因为，，又因为为的垂心，
所以，所以，故正确；
对于B选项，因为且，
所以，整理得：，即，
设为中点，则，所以三点共线，
又因为，所以垂直平分，故，正确；
对于C选项，由正弦定理得，
所以，
设中点为，则，所以，
所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；
对于D选项，因为，
设中点为，则，所以，
所以，
所以，即，
所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.
故选：ABC
3.向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
【答案】BC
【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D.
【详解】，,
,解得,故A错误
,，
由于，与的夹角为，故B正确,
,故C正确
在上的投影向量为，故D错误,
故选：BC
4.在平面四边形中，，若点E为线段上的动点，则的值可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】BC
【分析】由数量积的定义及性质，得出，，由余弦定理求得BD，进一步根据几何关系得为正三角形，.
即可以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标法可表示出，，讨论值域即可
【详解】由题，
，又，则，
则，为正三角形，，
故以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，设，则，
则，
则当时，取最小值；当时，取最大值3，故.
故选：BC
5.已知是平面向量，是单位向量，非零向量与的夹角为，向量满足，则可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】建立平面直角坐标系，由给定条件，确定，的终点的轨迹即可求解作答.
【详解】将向量平移到共起点O，以点O为原点，单位向量的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图，
由得：，即，则，
因此的终点轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，
因非零向量与的夹角为，则向量的终点在射线或上，
点到射线或的距离，
因此圆C上的点到射线或距离的最小值为，
表示圆C上的点与射线或上的点的距离，即有，A满足，
而，，因此，BD都满足，C不满足.
故选：ABD
6.设向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】先用向量，的坐标表示出题中四个选项的向量，然后逐个用平面向量的坐标运算进行检验即可.
【详解】对A，，，， 与不共线，故A错误.
对B，，，， ，，故B正确.
对C，，，， ，故C错误.
对D，，，， ，，，故D正确.
故选：BD.
7.已知是单位向量，且，则（ ）
A． B．与垂直
C．与的夹角为 D．
【答案】BC
【分析】对于A和D，利用向量模的坐标公式进行判断；对于B，先利用进行平方结合是单位向量可得到即可判断；对于C，先算出，然后利用向量夹角公式进行判断即可
【详解】解：对于A和D，因为，所以，故A和D错误；
对于B，因为，且，所以，所以与垂直，故正确；
对于C，因为，所以，
所以，
因为，所以，故正确，
故选：BC
8.下列选项中正确的是（ ）
A．若平面向量，满足，则的最大值是5；
B．在中，，，O是的外心，则的值为4；
C．函数的图象的对称中心坐标为
D．已知P为内任意一点，若，则点P为的垂心；
【答案】ABD
【分析】利用数量积的运算律及性质计算判断A；利用三角形外心及数量积计算判断B；求出函数的对称中心判断C；利用数量积运算律及垂直的向量表示判断D作答.
【详解】对于A，因，则，
当且仅当时取等号，A正确；
对于B，令边AB的中点为D，因O是的外心，则，
则，同理有,
所以，B正确；
对于C，由，得，，因此函数图象的对称中心为，，C不正确；
对于D，点P在内，由得：，即，有，
由，同理有，因此点P为的垂心，D正确.
故选：ABD
9.向量 满足，，，则的值可以是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】BC
【分析】利用题目的条件，得到，再结合得到点的轨迹为圆的一部分，最后根据圆的性质即可得到的范围.
【详解】设，，，
因为，，所以，又因为，则①，②，
第①种情况，可得点，，，四点共圆，如图所示：
因为，，所以圆的半径为1，那么；
第②种情况，点在以为圆心，1为半径的圆上，如图所示：
此时，；
综上所述：.
故选：BC.
10.已知，，，且，则可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据向量模的运算列方程，化简求得的值，进而求得正确答案.
【详解】，
由于，
所以，
，
，
，.
，
所以在四个选项中，BD选项符合题意.
故选：BD
11.已知P是边长为2的正六边形内的一点，则的最小值与最大值分别是（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】AD
【分析】利用数量积的几何意义，再结合图形即可得到数量积的最值.
【详解】
根据数量积的几何意义，可以看作和在上的投影向量的模的乘积，
因为，所以当点在点处时数量积最小，最小为；
当点在点处时数量积最大，最大为.
故选：AD.
12.八卦是我国古代的一套有象征意义的符号.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据向量的线性运算结合数量积公式求解即可.
【详解】对于A，两向量方向相反，故A错误；
对于B，连接BH交OA于M，由，可得，
由向量的平行四边形法则可得，
又，则，B正确；
对于C，由正八边形可得，
则，C正确；
对于D，，
，
易得，
又，，则，D错误.
故选：BC
13.平面向量，其中，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据向量的形式，可考虑数形结合分析，利用单位圆分别表示再逐个选项判断即可.
【详解】如图所示，因为，故在单位圆中分别作出.
对A，，因为，则，即，故A正确；
对B，因为，故为的角平分线，且，根据向量的加法法则可得，故B正确；
对C，当时，易得均为正三角形，根据向量加法的平行四边形法则可得，此时，故C错误；
对D，由B，设，则因为，故，解得，由平行四边形法则可得此时为正三角形，，故D正确；
故选：ABD
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