2022-2023学年上海市长宁区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市长宁区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上海市长宁区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，是无理数的是(    )
A. 9 B. 247 C. π2 D. 38
2. 下列等式中，正确的是(    )
A. ( −5)²=5 B. (− 5)²=5 C. 25=±5 D. 914=314
3. 在平面直角坐标系中，点P(−2,3)向下平移2个单位得到点Q，那么点Q的坐标是(    )
A. (−2,1) B. (−2,5) C. (0,3) D. (−4,3)
4. 下列图中∠1，∠2不是同位角的是(    )
A. B.
C. D.
5. 已知三角形的两条边长分别为3和4，那么该三角形的第三条边长可能是(    )
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9
6. 下面是“作∠AOB的平分线”的尺规作图过程：
①在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；
②分别以点D、E为圆心，以大于12DE的同一长度为半径作弧，两弧交于∠AOB内的一点C；
③作射线OC．
OC就是所求作的角的平分线．

该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是(    )
A. 三边对应相等的两个三角形全等
B. 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
C. 两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
D. 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
7. 16的四次方根是______．
8. 把352表示成幂的形式是______．
9. 比较下列两实数的大小：−2 ______ − 5．
10. 用科学记数法表示，并保留三个有效数字：0.002023≈ ______ ．
11. 计算：(8×27)13= ______ ．
12. 在平面直角坐标系中，已知点M(x,y)在第二象限，且它到x轴、y轴的距离分别为2、3，那么点M的坐标为______ ．
13. 直角坐标平面内，经过点A(2,−3)并且垂直于y轴的直线可以表示为直线______．
14. 如图，直线AB、CD相交于点O，EF⊥AB于O，且∠COE=50°，则∠BOD等于______ ．


15. 如图，AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF交CD于点G.∠EFG=60°，EF=6，那么△EFG的周长等于______ ．


16. 如图，在△PAB中，PA=PB，M、N、K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK.若∠MKN=40°，则∠P的度数为          ．





17. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，将△BCD沿着直线CD翻折，点B的对应点E恰好在边AC上，如果∠A=25°，那么∠ADE= ______ 度.


18. 在等腰△ABC中，如果过顶角的顶点A的一条直线AD将△ABC分别割成两个等腰三角形，那么∠BAC=___________．
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题5.0分)
计算：(827)13+ (−2)2− 15× 20．
20. (本小题5.0分)
利用幂的性质计算：316× 8÷632．
21. (本小题7.0分)
如图，已知∠ADE=∠B，∠1+∠2=180°，CD⊥AB，请填写理由，说明GF⊥AB．
解：因为∠ADE=∠B(已知)，所以DE//BC(______).
得∠1=∠3(______).
又因为∠1+∠2=180°(已知)，所以∠2+∠3=180°(______).
所以______//______(______).
所以∠FGB=∠CDB(______).
因为CD⊥AB(已知)，所以∠CDB=90°(垂直的意义)．
得∠FGB=90°，
所以GF⊥AB(垂直的意义)．

22. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC，根据下列要求画图并回答问题：

(1)画BC边上的高AH，过点C画直线CD//AB，交AH于点D；(不要求写画法和结论)
(2)在(1)的图形中，如果AB=7，BC=4，AH= 6，那么直线AB与CD间的距离等于______ ．
23. (本小题7.0分)
已知点A的坐标为(3,2)，设点A关于y轴对称点为B，点A关于原点的对称点为C，点A绕点O顺时针旋转90°得点D．
(1)点B的坐标是______ ；
点C的坐标是______ ；
点D的坐标是______ ；
(2)顺次连接点A、B、C、D，那么四边形ABCD的面积是______ ；
(3)在y轴上找一点F，使S△ABF=S△ABC，那么点F的所有可能位置是______ (用坐标表示)．

24. (本小题8.0分)
如图，已知点B、C、D在一直线上，△ABD与△ACE都是等边三角形，联结DE，试说明AB//DE的理由．

25. (本小题12.0分)
在△ABD中，AD=BD，点C、E分别在BD、AD上，且AB=AC，联结BE交AC于点F．
(1)如图1，AH是△ABC底边上的中线，且∠BAH=∠ABE．
①试说明BC=2AE的理由；
②如果△BCF为等腰三角形，求∠BAC的度数；
(2)如图2，联结CE并延长，交BA延长线于点G，如果CE⊥BD，AE=CD，试说明EG=AD的理由．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A、 9=3是有理数，故A错误；
B、247是有理数，故B错误；
C、π2是无理数，故C正确；
D、38=2是有理数，故D错误；
故选：C．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

2.【答案】B 
【解析】解：A.由于 −5无意义，即负数没有平方根，因此选项A不符合题意；
B.(− 5)²=5，因此选项B符合题意；
C. 25=5，因此选项C不符合题意；
D. 914= 374= 372，因此选项D不符合题意；
故选：B．
根据平方根、算术平方根的定义以及二次根式的性质和化简逐项进行计算即可．
本题考查算术平方根、平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．

3.【答案】A 
【解析】解：点P(−2,3)向下平移2个单位得到点Q(−2,1)，
故选：A．
根据点的平移规律计算求解．
本题考查了坐标与图形的平移，掌握点的平移规律是解题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：A.由图可知，∠1，∠2是同位角，故A不符合题意．
B.由图可知，∠1，∠2是同位角，故B不符合题意．
C.由图可知，∠1，∠2是同位角，故C不符合题意．
D.由图可知，∠1，∠2不是同位角，故D符合题意．
故选：D．
根据同位角的定义(在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角)解决此题．
本题主要考查同位角，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：设第三边长为x，根据三角形的三边关系定理可得：
4−3 1 观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
设第三边长为x，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得4−3 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

6.【答案】A 
【解析】解：连接CD，CE，

由作图得：OD=OE，CD=CE，OC=OC，
∴△OCD≌△OCE(SSS)，
∴∠AOC=∠BOC，
故选：A．
根据SSS证明三角形全等．
本题考查了基本作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

7.【答案】2 
【解析】解：∵24=16，
∴16的四次方根是2，
故答案为：2
利用四次方根定义计算即可得到结果．
此题考查了分数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8.【答案】523 
【解析】解：把352表示成幂的形式是523．
故答案为523．
表示为被开方数的指数除以根指数的形式即可．
考查分数指数幂的相关知识；掌握转化方式是解决本题的关键．

9.【答案】> 
【解析】解：∵2= 4< 5，
∴−2>− 5．
故答案为：>．
依据题意，先比较2与 5的大小，进而可以得解．
本题主要考查了实数的大小比较及算术平方根，解题时要能熟练掌握并灵活运用．

10.【答案】2.02×10−3 
【解析】解：0.002023≈0.00202=2.02×10−3．
故答案是：2.02×10−3．
用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．
本题主要考查了科学记数法以及有效数字，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字．

11.【答案】6 
【解析】解：原式=(23×33)13=(23)13⋅(33)13=2×3=6．
故答案为：6．
依据题意，根据分数指数幂的性质进行计算即可得解
本题主要考查了分数指数幂，解题时需要熟练掌握并理解．

12.【答案】(−3,2) 
【解析】解：∵点M在第二象限，且它到x轴、y轴的距离分别为2、3，
∴点M的横坐标是−3，纵坐标是2，
∴点M的坐标是(−3,2)．
故答案为：(−3,2)．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．

13.【答案】y=−3 
【解析】解：由题意得：经过点A(2,−3)且垂直于y轴的直线可以表示为直线为：y=−3，
故答案为：y=−3．
垂直于y轴的直线，纵坐标相等，都为−3，所以为直线：y=−3．
此题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是抓住过某点的坐标且垂直于y轴的直线的特点：纵坐标相等．

14.【答案】40° 
【解析】解：∵EF⊥AB于O，∠COE=50°，
∴∠AOC=90°−50°=40°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=40°．
故答案为：40°．
先根据EF⊥AB于O，∠COE=50°求出∠AOC的度数，再根据对顶角相等即可得出结论．
本题考查的是垂线，熟知互相垂直的两条直线组成的角是90°是解答此题的关键．

15.【答案】18 
【解析】解：如图所示：

∵AB//CD，
∴∠EFG+∠BEF=180°，
∵∠EFG=60°，
∴∠BEF=120°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠FEG=12∠BEF=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴EF=EG=FG，
∵EF=6，
∴EF+EG+FG=18，
即：△EFG的周长等于18．
故答案为：18．
本题先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BEF的度数，再利用角平分线的定义求出∠FEG的度数，就能得到△EFG是等边三角形，从而得出结论．
此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等边三角形判定和性质，利用两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．

16.【答案】100° 
【解析】解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
AM=BK∠A=∠BAK=BN，
∴△AMK≌△BKN(SAS)，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，
∴∠A=∠MKN=40°，
∴∠P=180°−∠A−∠B=180°−40°−40°=100°，
故答案为100°．
由条件可证明△AMK≌△BKN，再结合外角的性质可求得∠A=∠MKN，再利用三角形内角和可求得∠P．
本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得△AMK≌△BKN是解题的关键．

17.【答案】40 
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵△BCD沿直线CD翻折得到△EDC，
∴∠BCD=∠ECD=45°
∴∠BDC=∠EDC=70°，
∴∠ADE=180°−∠BDC−∠EDC=40°．
故答案为：40．
先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，然后根据翻折的性质求出∠ECD和∠BCD的度数，进而求出∠BDC和∠EDC的度数即可解答．
本题考查了翻折变换以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练应用翻折变换的性质求出∠BDC和∠EDC的度数．

18.【答案】90°或108° 
【解析】解：①当BD=CD，CD=AD时，如图①所示，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
设∠B=∠C=x，
∵BD=CD，CD=AD，
∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=∠C=x，
∴4x=180°，
∴x=45°，
∴∠BAC=2x=45°×2=90°；
②当AD=BD，AC=CD时，如图②所示，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C
设∠B=∠C=x，
∵AD=BD，AC=CD，
∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=180°−x2，
∴180°−x2+x=180°−2x，
解得：x=36°，
∴∠BAC=180°−2x=180°−2×36°=108°，
故答案为：90°或108°．
根据题意画出图形，分类讨论，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质，根据题意画出图形分类讨论，利用三角形的内角和定理是解答此题的关键．

19.【答案】解：原式=23+2−2
=23． 
【解析】依据题意，由分数指数幂的意义及二次根式的运算法则进行计算即可得解．
本题主要考查了分数指数幂及实数的运算，解题时需要熟练掌握并准确计算．

20.【答案】解：316× 8÷632
=243×232÷256
=22
=4． 
【解析】将各根式化为同底数幂的形式，再利用同底数幂的乘除法法则计算．
此题考查了分数指数幂的计算，将各根式正确化为同底数幂的形式及正确掌握分数指数幂的计算法则是解题的关键．

21.【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；  CD，FG，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 
【解析】解：∵∠ADE=∠B(已知)，
∴DE//BC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠1=∠3(两直线平行，内错角相等)，
∵∠1+∠2=180°(已知)，
∴∠2+∠3=180°(等量代换)，
∴CD//FG(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠FGB=∠CDB(两直线平行，同位角相等)，
∵CD⊥AB(已知)，
∴∠CDB=90°(垂直的定义)，
∴∠FGB=90°，
∴GF⊥AB(垂直的定义)．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；CD；FG；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
利用平行线的判定定理和性质定理解答即可．
本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键．

22.【答案】解：(1)如图，线段AH，直线CD即为所求．

(2)4 67． 
【解析】解：(1)见答案；
(2)过点C作CT⊥AB于T．

∵AB=7，BC=4，AH= 6，
S△ABC=12BC·AH=12AB·CT，
∴12×4× 6=12×7CT，
∴CT=4 67，
因此，直线AB与CD间的距离等于4 67．
故答案为：4 67．
(1)根据三角形高的定义画出图形即可．
(2)过点C作CT⊥AB于T.根据等面积法求解，构建方程求解即可．
本题考查作三角形的高，作已知直线的平行线，平行线间的距离以及面积法等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的高的定义，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

23.【答案】(−3,2)  (−3,−2)  (2,−3)  25  (0,6)或(0,−2) 
【解析】解：(1)∵点A的坐标为(3,2)，
又∵点A关于y轴对称点为B，点A关于原点的对称点为C，
∴点B的坐标为(−3,2)，点C的坐标为(−3,−2)；
∵点A绕点O顺时针旋转90°得点D，
∴点D在第四象限，OA=OD，∠AOD=90°，
过点A作AE⊥x轴于E，过点D作DH⊥y轴于H，则∠OEA=∠OHD=90°，

∵点A的坐标为(3,2)，
∴OE=3，AE=2，
∵∠AOD=∠EOH=90°，
∴∠AOE+∠EOD=∠DOH+∠EOD，
即：∠AOE=∠DOH，
在△AOE和△DOH中，
∠AOE=∠DOH∠OEA=∠OHD=90°OA=OD，
∴△AOE≌△DOH(AAS)，
∴AE=DH=2，OE=OH=3，
∴点D的坐标为(2,−3)．
故答案为：(−3,2)；(−3,−2)；(2,−3)．
(2)∵点A(3,2)，点B(−3,2)，点C(−3,−2)；
∴AB=6，BC=4，AB⊥BC，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12×6×4=12，
在Rt△OAE中，OE=3，AE=2，
由勾股定理得：OA= OE2+AE2= 13，
由旋转的性质得：∠AOD=90°，OD=OA= 13，
∵点C与点A关于原点O对称，
∴OC=OA= 13，点A，O，C在同一条直线上，
∴AC=OA+OC=2 13，
∴S△ACD=12AC⋅OD=12×2 13× 13=13，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12+13=25，
故答案为：25．
(3)∵点H在y轴上，设点H的坐标为(0,t)，
设AB与y轴交于点T，

∵AB//x轴，点A的坐标为(3,2)，
∴点T的坐标为(0,2)，
∴FT=|t−2|，
∴S△ABF=12AB⋅FT=12×6×|t−2|=3|t−2|，
∵S△ABF=S△ABC，
∴3|t−2|=12，
∴|t−2|=4，
∴t−2=4或t−2=−4，
由t−2=4解得：t=6，由t−2=−4解得：t=−2，
∴点F的位置是(0,6)或(0,−2)，
故答案为：(0,6)或(0,−2)．
故答案为：(1)(−3,2)，(−3,−2)，(2,−3)；(2)25；(3)(0,6)或(0,−2)．
(1)根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等可得点B的坐标，根据关于原点对称的点横坐标、纵坐标都互为相反数可得点C的坐标，根据点A绕点O顺时针旋转得点D得点D在第四象限，OA=OD，∠AOD=90°，过点A作AE⊥x轴于E，过点D作DH⊥y轴于H，证△AOE和△DOH全等得AE=DH=2，OE=OH=3，据此可得点D的坐标；
(2)根据点A(3,2)，B(−3,2)，C(−3,−2)得AB=6，BC=4，AB⊥BC，据此可求出S△ABC=12，由勾股定理求出OA= 13，根据旋转的性质及点C与点A关于原点O对称得OC=OA= 13，点A，O，C在同一条直线上，据此了求出S△ACD=13，进而可得四边形ABCD的面积；
(3)设点H的坐标为(0,t)，AB与y轴交于点T，由AB//x轴，点A(3,2)得点T(0,2)，则FT=|t−2|，S△ABF=3|t−2|，再由S△ABF=S△ABC列出关于t的方程，解方程求出t的值即可得点F的坐标．
此题主要考查了点的坐标，图形的旋转变换及性质，三角形的面积等，解答此题的关键是熟练掌握关于坐标轴对称点的坐标的特征，关于原点对称点的坐标的特征，图形旋转变换及性质．

24.【答案】证明：∵△ABD与△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，∠BAD=∠CAE=60°，AC=AE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC与△DAE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
∴∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AB//DE． 
【解析】由等边三角形性质得AB=AD，∠BAD=∠CAE=60°，AC=AE，则∠BAC=∠DAE，再证△BAC≌△DAE(SAS)，得∠B=∠ADE=60°，则∠BAD=∠ADE，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

25.【答案】解：(1)①∵AD=BD，
∴∠EAB=∠HBA(等边对等角)，
在△ABH与△BAE中，
∠BAH=∠ABE AB=BA ∠ABH=∠EAB ，
∴△ABH≌△BAE(ASA)，
∴BH=AE(全等三角形对应边相等)，
∵AH是△ABC底边上的中线，AB=AC，
∴BH=CH，
∴BC=2BH=2AE；
②根据题意可知：要使△BCF为等腰三角形，
只有BF=BC，
∴∠BFC=∠BCF，
∴∠ABC=∠BFC=∠BCF，
∵AH是△ABC底边上的中线，AB=AC，
∴∠BAH=∠CAH，
∴∠BAH=∠ABE=∠CAH，
∴∠BFC=∠BAH+∠ABE+∠CAH=3∠BAH，
∵∠BCF=90°−∠CAH=90°−∠BAH，
∴3∠BAH=90°−∠BAH，
∴2∠BAH=45°，
∴∠BAC=45°；
(2)如图，AH是△ABC底边上的中线，
∵AB=AC，

∴AH⊥BD，
∵CE⊥BD，
∴AH//CE，
∵BH=CH，
∴AB=AG，
∴AC=AG，
∵∠GAE=180°−∠DAB=180°−∠B=180°−(90°−∠BAH)=90°+∠BAH=90°+∠CAH，
∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠CAH+90°，
∴∠GAE=∠ACD，
在△GAE和△ACD中，
AG=AC∠GAE=∠ACDAE=CD，
∴△GAE≌△ACD(SAS)，
∴EG=AD． 
【解析】(1)①根据等腰三角形的性质得出∠EAB=∠HBA，利用ASA证明△ABH≌△BAE，根据全等三角形的性质得出BH=AE，再根据等腰三角形的性质即可得解；
②要使△BCF为等腰三角形，只有BF=BC，所以∠BFC=∠BCF，得∠ABC=∠BFC=∠BCF，然后证明3∠BAH=90°−∠BAH，得2∠BAH=45°，进而可以解决问题；
(2)证明△GAE≌△ACD(SAS)，即可解决问题．
本题属于三角形的综合题，难度较大，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余的性质，解决本题的关键是得到△GAE≌△ACD．