2023年江苏省南京一中实验学校中考数学模拟试卷（6月份）（含解析）

这是一份2023年江苏省南京一中实验学校中考数学模拟试卷（6月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省南京一中实验学校中考数学模拟试卷（6月份）
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. KN95型口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．用科学记数法表示0.0000003是(    )
A. 0.3×10−6 B. 0.3×10−7 C. 3×10−6 D. 3×10−7
2. 计算(a3)2⋅a−2的结果是(    )
A. a7 B. a4 C. a3 D. a−12
3. 方程(x+1)(x−2)+1=0的根的情况，下列结论中正确的是(    )
A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根
4. 如图，四个实数在数轴上的对应点分别为点M，P，N，Q.若点M，N表示的实数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是(    )





A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=55°，P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是(    )



A. 55°
B. 62°
C. 120°
D. 130°
6. 如图，在网格中建立平面直角坐标系，已知A(0,0)，B(−3,1)，C(3,4)，若点D使得∠BCD=∠DAB，则点D的坐标可能是(    )

A. (6,3) B. (−3,4) C. (4,5) D. (−1,3)
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. 写出一个有理数，使这个数的绝对值等于它的倒数：          ．
8. 若式子x−1x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是          ．
9. 计算2 3÷( 3+ 13)的结果是          ．
10. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BA，BC的中点．若BD=2，则EF的长是          ．






11. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，若∠DCB=34°，则∠BAC=          ．






12. 上表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖了.若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员______ 人.

13. 已知x、y满足方程组|x|+2y=22|x|+y=7，则|x|+y的值为          ．
14. 已知A(x1，y1)、B(x2，y2)都在y=6x的图象上．若x1⋅x2=−2，则y1⋅y2的值为_____．
15. 小淇利用绘图软件画出函数y=−12x(x−1)(x+1)(−2≤x≤2)的图象，下列关于该函数性质的四种说法：
①图象与x轴有两个交点；
②图象关于原点中心对称；
③最大值是3，最小值是−3；
④当x>1时，y随x的增大而减小．
其中，所有正确说法的序号是          ．






16. 如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F.若AB=a，CF=b，则BE的长为          .(用含a，b的代数式表示)




三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）
17. 解方程：2xx−1+31−x=1．
四、解答题（本大题共10小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题7.0分)
解不等式组2x−1<5,①3x+12−1≥x,②并把它的解集在数轴上表示出来．


19. (本小题7.0分)
根据不等式的性质：若x−y>0，则x>y；若x−y<0，则xn−2n−1．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH=CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC，AC于F，M．
(1)求证∠B=∠C；
(2)若AB=5，AH=3，AE=2，求MF的长．





21. (本小题8.0分)
疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七(1)班和七(2)班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A(平板)、B(电脑)、C(手机)，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
(1)此次被调查的学生总人数为______；
(2)求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
(3)若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．


22. (本小题8.0分)
贴春联是中华民族的传统文化．不识字的王爷爷不小心将两幅对联弄混了，已知这四张联纸上的文字分别是：①天涯若比邻，②修业勤为贵，③行文意必高，④海内存知己．若他任意取出两张联纸，求这两张联纸恰好组成一副对联的概率．
23. (本小题8.0分)
小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜PQ做实验．他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成30°角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点．他不改变光线的角度，原地将平面镜转动了7.5°角，即∠PAP′=7.5°，使光影落在C点正上方的D点，测得CD=10cm.求平面镜放置点与墙面的距离AB.(参考数据： 3≈1.73)





24. (本小题8.0分)
尺规作图：如图，已知正方形ABCD，在边CD上求作一点P，使∠PBC=15°.(保留作图痕迹，不写作法)

25. (本小题8.0分)
如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若OF=4，求AC的长度．

26. (本小题10.0分)
设二次函数y=ax2+bx−(a+b)(a,b是常数，a≠0)．
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．
(2)若该二次函数图象经过A(−1,4)，B(0,−1)，C(1,1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
(3)若a+b<0，点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上，求证：a>0．
27. (本小题9.0分)
点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”.例如：如图中的P(1,3)是“垂距点”．
(1)在点A(2,2),B(32,−53),C(−1,5)中，是“垂距点”的点为______ ；
(2)求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标．
(3)⊙T的圆心T的坐标为(1,0)，半径为r.若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是______ ．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：0.0000003=3×10−7．
故选：D．  
2.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行求解即可．
【解答】
解：(a3)2⋅a−2
=a6⋅a−2
=a4．
故选：B．  
3.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
方程整理为一般形式，表示出根的判别式，判断解的情况，并利用根与系数关系判断即可．
【解答】
解：方程整理得：x2−x−1=0，
∵Δ=(−1)2−4×1×(−1)=1+4=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根，设为a，b，
∵a+b=1，ab=−1，
∴方程一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根绝对值．
故选：C．  
4.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查实数的性质，根据相反数确定原点的位置是解题的关键．
根据点M，N表示的实数互为相反数，则原点在MN的中点位置，即可得出结论．
【解答】
解：∵点M，N表示的实数互为相反数，
∴0点在MN的中点位置，
∴P，N，Q三点都是正数，
故选：C．  
5.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握三角形外角的性质，属于中考常考题型．
如图，连接CP.利用三角形的外角的性质判断即可．
【解答】
解：如图，连接CP．

∵AB=AC，∠A=55°，
∴∠B=∠ACB=12(180°−55°)=62.5°，
∵∠APC=∠B+∠PCB，
∴62.5°<∠APC<125°，
故选：C．  
6.【答案】A 
【解析】解：当四边形ABCD为平行四边形，
根据平行四边形的对角相等有∠BCD=∠DAB，
∴AB//DC，
点B向上平移3个单位，再向右平移6个单位到点C，
∴将点A向上平移3个单位，再向右平移6个单位到点D，
∴D点的坐标可能为(6,3)．
故选：A．
采用数形结合思想，利用平移求解．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，数形结合思想是解题的关键．

7.【答案】1 
【解析】
【分析】
本题考查了绝对值和倒数．
根据绝对值的性质和倒数的定义解答即可．
【解答】
解：∵一个数的绝对值等于它的倒数，
∴这个数是1．
故答案为：1．  
8.【答案】x≠−1 
【解析】
【分析】
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
根据分式的分母不等于0即可得出答案．
【解答】
解：∵x+1≠0，
∴x≠−1．
故答案为：x≠−1．  
9.【答案】12 
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】
解：2 3÷( 3+ 13)
=2 3÷( 3+ 33)
=2 3÷4 33
=2 3×34 3
=12，
故答案为：12．  
10.【答案】1 
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质与三角形中位线．熟练运用正方形对角线相等是解题的关键．
连接AC，由题意可得，EF是△ABC的中位线，所以EF=12AC，根据正方形的性质得，AC=BD=2.从而求出EF的长．
【解答】
解：连接AC，如图所示，

∵四边形ABCD是正方形．
∴AC=BD=2．
∵E，F分别是BA，BC的中点．
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF=12AC=12×2=1．
故答案为：1．  
11.【答案】68° 
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理，平行线的判定与性质，关键是利用圆周角定理求圆心角，利用平行线的判定与性质求解．
由圆周角定理可知，∠BOD=2∠DCB=68°，由AB为直径可知，AC⊥BC，又OD⊥BC，可知AC//OD，利用平行线的性质可求∠BAC．
【解答】
解：∵∠BOD与∠DCB为BD所对的圆心角和圆周角，∠DCB=34°，
∴∠BOD=2∠DCB=68°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又∵OD⊥BC，
∴AC//OD，
∴∠BAC=∠BOD=68°，
故答案为：68°．  
12.【答案】146 
【解析】解：由中位数为13.5岁，可知这组数据中间的两个数为13，14，
∴这个俱乐部共有学员(28+22+23)×2=146(人)．
故答案为：146．
根据统计表的信息，由中位数的概念计算即可．
本题考查的是中位数的概念，读懂统计表，从中得到必要的信息、掌握中位数的概念是解决问题的关键．

13.【答案】3 
【解析】
【分析】
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是结合方程的特点，看出可整体求出其值．
把两个方程相加，从而可整体求出|x|+y的值．
【解答】
解：|x|+2y=2①2|x|+y=7②，
①+②得：3|x|+3y=9，
∴|x|+y=3．
故答案为：3．  
14.【答案】−18 
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上任意一点横纵坐标的积等于比例系数．根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于6作答即可．
【解答】
解：∵A(x1,y1)、B(x2,y2)都在y=6x的图象上．
∴x1y1=6，x2y2=6，
∴x1y1⋅x2y2=36，
∵x1⋅x2=−2，
∴y1⋅y2=−18．  
15.【答案】②③④ 
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象，理解函数图象的意义以及函数的对称性以及增减性是正确判断的前提．
根据函数的图象进行判断即可．
【解答】
解：①图象与x轴有三个交点，故①错误；
②图象关于原点中心对称，故②正确；
③当x=−2时，y=3，当x=2时，y=−3，
∴函数的最大值是3，最小值是−3，故③正确；
④当x>1时，y随x的增大而减小，故④正确．
故答案为：②③④．  
16.【答案】 4a2−b2 
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形ABHE为菱形是解题的关键．
过点E作EH//AB交BC于H，连接AH，AH交BE于O，证四边形ABHE是菱形，得AH⊥BE，OB=OE，OA=OH，AH平分∠BAD，再证四边形AHCF是平行四边形，得AH=CF=b，则OA=12AH=b2，然后由勾股定理得OB= 4a2−b22，即可得出结论．
【解答】
解：过点E作EH//AB交BC于H，连接AH，AH交BE于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠BAD=∠BCD，
∴∠AEB=∠EBH，四边形ABHE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBH，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴四边形ABHE是菱形，
∴AH⊥BE，OB=OE，OA=OH，AH平分∠BAD，
∴∠AHB=∠HAD=12∠BAD，
∵CF平分∠BCD，
∴∠FCB=12∠BCD，
∴∠AHB=∠FCB，
∴AH//CF，
∴四边形AHCF是平行四边形，
∴AH=CF=b，
∴OA=12AH=b2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB= AB2−OA 2= a2−(b2)2= 4a2−b22，
∴BE=2OB= 4a2−b2，
故答案为： 4a2−b2．  
17.【答案】解：去分母得：2x−3=x−1，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解． 
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

18.【答案】解：解不等式①，得x<3.         
解不等式②，得x≥1.  
所以，不等式组的解集是1≤x<3．
它的解集在数轴上表示出来为：
． 
【解析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．

19.【答案】证明：n−1n−n−2n−1
=(n−1)2−n(n−2)n(n−1)
=1n(n−1)．
∵n<0，
∴n−1<0．
∴n(n−1)>0．
∴n−1n>n−2n−1． 
【解析】本题考查了分式的加减，不等式的性质．熟练掌握分式的加减是解题的关键．
根据分式的加减，不等式的性质解答即可．

20.【答案】(1)证明：∵AH⊥BC，垂足为H，且BH=CH，
∴AH是BC的垂直平分线．
∴AB=AC．
∴∠B=∠C；
(2)解：∵AH⊥BC，AB=AC，
∴∠BAH=∠CAH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，
∴∠AHB=∠EFB=90°．
∴AH//EF．
∴∠BAH=∠E，∠CAH=∠AME．
∴∠E=∠AME．
∴AM=AE=2．
∵AB=AC=5，
∴CM=AC−CM=3．
∵AH//EF，
∴△CMF∽△CAH．
∴MFAH=CMCA．
∴MF3=35．
∴MF=95． 
【解析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，平行线的判定与性质，证明△CMF∽△CAH是解题的关键．
(1)利用线段垂直平分线的判定与性质可证明结论；
(2)证明△CMF∽△CAH，列比例式计算可求解．

21.【答案】解：(1)100；
(2)由折线图知A人数=18+14=32人，故A的比例为32÷100=32%，
所以C类比例=1−58%−32%=10%，
所以类型C的扇形的圆心角=360°×10%=36°，
C类人数=10%×100−2=8(人)，补全折线图如下：

(3)1000×10%=100(人)，
答：估计该校七年级学生中类型C学生约有100人． 
【解析】
【分析】
本题考查了折线统计图，扇形统计图和用样本估计总体．
(1)先由折线统计图得到使用电脑(B)的学生有58人，再由扇形统计图得到其所占的百分比，然后用58除以这个百分比即可得到接受问卷调查的学生人数；
(2)先求出A所占的比例，再求出C所占比例以及七(2)班对应的人数，圆心角的度数，再补全折线统计图即可；
(3)用1000乘以样本中C类型的百分比即可得到类型C的总人数的估计值．
【解答】
解：(1)由扇形统计图知B类型人数所占比例为58%，
从折线图知B类型总人数=26+32=58(人)，
所以此次被调查的学生总人数=58÷58%=100(人)；
故答案为：100．
(2)(3)见答案．  
22.【答案】解：画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能结果，其中这两张联纸恰好组成一副对联的有4种结果，
所以这两张联纸恰好组成一副对联的概率为412=13． 
【解析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两张联纸恰好组成一副对联的情况，再利用概率公式即可求得答案．

23.【答案】解：由题意得：∠DAB=37.5°+7.5°=45°．
设AB=x cm，则DB=x cm，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∵tan∠CAB=BCAB，
∴BC=AB⋅tan∠CAB= 33x，
∵CD=BD−BC，
∴x− 33x=10，
∴x≈23.65．
因此，平面镜放置点与墙面的距离AB是23.65cm． 
【解析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
设AB=x cm，则DB=x cm，根据CD=BD−BC，构建方程求解即可．

24.【答案】解：如图，点P即为所求．
 
【解析】本题考查作图−复杂作图，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
作线段AB的垂直平分线交AB于点E，交CD于点F，以B为圆心，BC为半径作弧交EF于点G，作BH平分∠GBC交CD于点P，点P即为所求．

25.【答案】(1)证明：连接OD、AD．

∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴∠DAO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD//AE，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
(2)解：连接BC．

∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD//AE，
∴∠DOB=∠EAB，
∵∠DFO=∠ACB=90°，
∴△DFO∽△BCA，
∴OFAC=ODAB=12，
即4AC=12，
∴AC=8． 
【解析】(1)连接OD、AD.只要证明OD//AE，由DE⊥AC，推出DE⊥OD即可解决问题；
(2)连接BC.只要证明△DFO∽△BCA，推出OFAC=ODAB=12即可解决问题；
本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

26.【答案】解：(1)设y=0，
∴0=ax2+bx−(a+b)，
∵△=b2−4⋅a[−(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2≥0，
∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个；
(2)当x=1时，y=a+b−(a+b)=0，
∴抛物线不经过点C，
把点A(−1,4)，B(0,−1)分别代入得，
4=a−b−(a+b)−1=−(a+b)，解得a=3b=−2，
∴抛物线解析式为y=3x2−2x−1；
(3)当x=2时，m=4a+2b−(a+b)=3a+b>0①，
∵a+b<0，
∴−a−b>0②，
①②相加得：2a>0，
∴a>0． 
【解析】本题考查了二次函数图象和性质及数形结合思想．解答时，注意将相关的点坐标代入解析式．
(1)利用一元二次方程根的判别式进行判断即可；
(2)当x=1时，y=0，所以抛物线过A、B两点，然后根据待定系数法求解析式即可；
(3)把x=2代入y=ax2+bx−(a+b)，用a、b表示m，由m的范围结合a+b>0可解．

27.【答案】A，B 3 22≤r<5 
【解析】解：(1)由题意得，垂线段的长度的和为4．
∴A：2+2=4，B：32+|−52|=4，C：|−1|+5=6，
故答案为：A，B．
(2)设函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标(a,2a+3)．
由题意得|a|+|2a+3|=4．
①当a≥0时，a+(2a+3)=4．
∴a=13．
②当−32≤a<0时，−a+(2a+3)=4．
∴a=1(不合题意，舍)．
③当a<−32时，−a−(2a+3)=4．
∴a=−73．
∴综上所述，函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标是(13,113)，(−73,−53)．
(3)
设“垂距点”的坐标为(x,y)，则|x|+|y|=4(x⋅y≠0)，
当x>0，y>0时，x+y=4，即y=−x+4(0 当x<0，y>0时，−x+y=4，即y=x+4(−4 当x<0，y<0时，−x−y=4，即y=−x−4(−4 当x>0，y<0时，x−y=4，即y=x−4(0 当⊙T与DE相切时，过点T作TN⊥直线DE于点N，则△DNT为等腰直角三角形，
∴TN= 22TD= 22×|4−1|=3 22，
当⊙T过点F(−4,0)时，⊙T上不存在“垂距点”，
此时r=FT=|1−(−4)|=5，
∴若存在“垂距点”，则r的取值范围是3 22≤r<5．
故答案为：3 22≤r<5．
(1)由题意利用“垂距点”的定义垂线段的长度的和为4，对点A(2,2)，B(32,−52)，C(−1,5)进行分析判断；
(2)由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出“垂距点”的坐标；
(3)设“垂距点”的坐标为(x,y)，则|x|+|y|=4(x⋅y≠0)，画出函数图象，分情况讨论即可解得．
本题考查平面直角坐标系相关，结合题干定义以及书本所学点到轴的距离即为横纵坐标的绝对值进行分析计算．