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2023年辽宁省丹东十三中中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年辽宁省丹东十三中中考数学二模试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省丹东十三中中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −3的绝对值是( )
A. −3 B. 3 C. −13 D. 13
2. 在下列立体图形中，主视图为矩形的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5 B. (a2)3=a6
C. (a−b)2=a2−b2 D. x6÷x2=x3
4. 下列命题中，假命题是( )
A. −2的绝对值是−2 B. 对顶角相等
C. 平行四边形是中心对称图形 D. 如果直线a//c，b//c，那么直线a//b
5. 将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1=40°，则∠2度数是( )
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
6. 下列说法正确的是( )
A. 一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B. 了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C. 小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分
D. 某日最高气温是7℃，最低气温是−2℃，则该日气温的极差是5℃
7. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A. 150(1−x2)=96 B. 150(1−x)=96
C. 150(1−x)2=96 D. 150(1−2x)=96
8. 如图所示，在△ABC中，按下列步骤作图：
第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE，使AD=AE；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长(大于DE的一半)为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线AF交BC于点M；
第四步：过点M作MN⊥AB于点N．
下列结论一定成立的是( )
A. CM=MN B. AC=AN
C. ∠CAM=∠BAM D. ∠CMA=∠NMA
9. 如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与AB交于点C，连接AC.若OA=2，则图中阴影部分的面积是( )
A. 2π3− 32
B. 2π3− 3
C. π3− 32
D. π3
10. 已知期物线y=aa2+b+c(a>0)交x轴于点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 计算： 4+(π−2)0−|−5|=______．
12. 多项式mn2−9m分解因式的结果是______ ．
13. 若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是______．
14. 在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是______．
15. 定义一种运算：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ．
例如：当α=45°，β=30°时，sin(45°+30°)= 22× 32+ 22×12= 6+ 24，则sin15°的值为______．
16. 如图，点A是反比例函数y=kx(x<0)图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=______．
17. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD=60°，AD=3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是______．
18. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP，则下列结论：
①AE⊥BF；
②∠OPA=45°；
③AP−BP= 2OP；
④若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47；
⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14．
其中正确的结论是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值(a2−2aa2−1−1)÷2a−1a+1，其中a=2cos30°+1．
20. (本小题14.0分)
北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项(每人限选1项)，制作了如图统计图(部分信息未给出)．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人；
(2)补全条形统计图；
(3)把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．
21. (本小题12.0分)
某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划游某村的居民目来水管速进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍，如果由甲，乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天，这项工程的规定时间是多少天？
22. (本小题12.0分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，底边BC的高AD与腰AC上的高BE相交于点F，且AE=BE，⊙O是△AEF的外接圆，连接DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)求证：DF⋅BC=EF⋅BF．
23. (本小题12.0分)
某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙(AB)上安装一遮阳篷BC，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处(AD)以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷BC与水平面的夹角为10°.如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷BC的长度(结果精确到0.1m).(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18；sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00)
24. (本小题12.0分)
某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
每千克售价x(元)
…
25
30
35
…
日销售量y(千克)
…
110
100
90
…
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
(3)当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
25. (本小题12.0分)
如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC=5 5，tan∠ABC=2，BF⊥AC，垂足为F，点D是边AB上一点(不与A，B重合)．
(1)求边BC的长；
(2)如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果CG=4，求线段AD的长；
(3)过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果△DQF和△ABC相似，求线段BD的长．
26. (本小题14.0分)
如图，抛物线y=ax2+94x−4a与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C，在直线BC上方的抛物线上有一动点E，过点E作EG⊥x轴于G，EG交直线BC于点F.过点E作ED⊥BC于点D．
(1)求抛物线及直线BC的函数关系式；
(2)设S△EDF为S1，S△BGF为S2，当S1=8125S2时，求点E的坐标．
(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点M，使得∠MAB=2∠EAB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−3的绝对值是3．
故选：B．
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
本题考查了绝对值的概念，掌握绝对值的概念是关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意；
B.球的主视图是圆，故本选项不符合题意；
C.圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项不符合题意；
D.三棱锥形的主视图是三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
3.【答案】B
【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、(a2)3=a6，故此选项符合题意；
C、(a−b)2=a2−2ab+b2，故此选项不符合题意；
D、x6÷x2=x4，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法法则逐项判断即可．
本题考查了合并同类项法则、幂的乘方法则、完全平方公式、同底数幂的除法法则，熟记这些法则和公式是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：−2的绝对值是2，故A是假命题，符合题意；
对顶角相等，故B是真命题，不符合题意；
平行四边形是中心对称图形，故C是真命题，不符合题意；
如果直线a//c，b//c，那么直线a//b，故D是真命题，不符合题意；
故选：A．
根据绝对值，中心对称等概念和相交线、平行线的相关定理逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握绝对值、中心对称等概念和相交线、平行线的相关定理．
5.【答案】B
【解析】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，
∴∠2=∠ACB，∠ABC=∠1=40°，
∵∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠2=90°−∠1=90°−40°=50°，
故选：B．
如图，易知三角板的∠A为直角，直尺的两条边平行，则可得∠1的对顶角和∠2的同位角互为余角，即可求解．
本题考查了对顶角，三角形内角和定理，余角，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定理及性质进行推导．
6.【答案】B
【解析】解：A、一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2.5，故此选项说法错误，不符合题意；
B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，故此选项说法正确，符合题意；
C、小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是13023分，故此选项说法错误，不符合题意；
D、某日最高气温是7℃，最低气温是−2℃，该日气温的极差是7−(−2)=9℃，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
利用中位数的定义、抽样调查的意义、平均数的求法、极差的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了中位数、抽样调查的意义和平均数的求法、极差，正确把握相关定义是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：第一次降价后的价格为150×(1−x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为150×(1−x)×(1−x)，
则列出的方程是150(1−x)2=96．
故选：C．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1−降低的百分率)=96，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可知，AM平分∠CAB，
∵∠C不一定等于90°，∴CM≥MN，因此A选项不符合题意；
∵∠C不一定等于90°，∴AC不一定等于AN，因此B选项不符合题意；
∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠BAM，因此C选项符合题意；
∵∠C不一定等于90°，∴∠CMA不一定等于∠NMA，因此D选项不符合题意．
故选：C．
根据题意可知，AM平分∠CAB，即可得出正确答案．
本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的定义，掌握角平分线的作图方法是本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形AOB中，OA=2，
∴OC=OA=2，
∵翻折后点A与圆心O重合，
∴AD=OD=1，CD⊥AO，
∴OC=AC，
∴OA=OC=AC=2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵CD⊥OA，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理得CD= OC2−OD2= 22−12= 3，
∴阴影部分的面积为60π×22360−2× 32=2π3− 3．
故选B．
根据垂直平分线的性质和等边三角形的性质，可以得到∠COD=60°，即可求出扇形AOC的面积，再算出△AOC的面积，即可求出阴影部分面积．
本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】D
【解析】解：∵抛物线与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1
若a+c=b+3，即a−b+c=3，则该抛物线一定经过点(−1,3)，所以②错误；
当P(m,n)为抛物线的顶点时，方程ax2+bx+c=n的解是x=m；若P(m,n)不为抛物线的顶点，则方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数解，所以③错误；
当P点为顶点时，△PAB的面积最大．此时x=−b2a=m，
∵x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两不相等的实数解，
∴x1+x2=−ba，
∴m=x1+x22，所以④正确．
故选：D．
利用抛物线与x轴交点个数和判别式的意义对①进行判断；由于x=−1，y=3满足a−b+c=3，则可对②进行判断；通过判断直线y=n与抛物线的交点个数可对③进行判断；根据三角形面积公式，当P点为顶点时，△PAB的面积最大．此时x=−b2a=m，再利用根与系数的关系得到x1+x2=−ba，于是m=x1+x22，则可对④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
11.【答案】−2
【解析】解：原式=2+1−5
=3−5
=−2．
故答案为：−2．
原式利用算术平方根性质，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，零指数幂，算术平方根，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
12.【答案】m(n+3)(n−3)
【解析】解：原式=m(n2−9)
=m(n+3)(n−3)，
故答案为：m(n+3)(n−3)．
提公因式后再利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握并应用因式分解的方法是解题的关键．
13.【答案】m>0且m≠1
【解析】解：1x−2+2x+2=x+2m(x+2)(x−2)，
给分式方程两边同时乘以最简公分母(x+2)(x−2)，
得(x+2)+2(x−2)=x+2m，
去括号，得x+2+2x−4=x+2m，
解方程，得x=m+1，
检验：当
m+1≠2，m+1=−2，
即m≠1且m≠−3时，x=m+1是原分式方程的解，
根据题意可得，
m+1>1，
∴m>0且m≠1．
故答案为：m>0且m≠1．
先解分式方程，再应用分式方程的解进行计算即可得出答案．
本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式的解的定义进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】13
【解析】解：∵在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，
∴摸到红球的概率是：22+4=13．
故答案为：13．
直接利用概率公式，进而计算得出答案．
此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
15.【答案】 6− 24
【解析】解：sin15°=sin(45°−30°)
=sin45°cos30°−cos45°sin30°
= 22× 32− 22×12
= 64− 24
= 6− 24．
故答案为： 6− 24．
把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
16.【答案】−4
【解析】解：连接OA，如图所示：
∵AB⊥y轴，
∴AB//OC，
∵D是AB的中点，
∴S△ABC=2S△ADO，△ABC的面积为4，
∵S△ADO=|k|2=2，
∴|k|=4，
根据图象可知，k<0，
∴k=−4．
故答案为：−4．
连接OA，则有S△ABC=2S△ADO，根据k的几何意义，可得|k|2=2，根据图象可知k<0，即可求出k的值．
本题考查了反比例函数k的几何意义，由三角形面积求k的值注意符号是关键．
17.【答案】32 6
【解析】解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F=OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，
∴AP是OO′的垂直平分线，
∴OP=O′P，
∴OP+PE=O′P+PE=O′E，
此时，OP+PE的值最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=3，∠BAC=12∠BAD，OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，∠AOD=90°，
∵∠BAD=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AD=3，
∴OD=12BD=32，
∴AO= AD2−DO2= 32−(32)2=32 3，
∴AC=2OA=3 3，
∵CE⊥AH，
∴∠AEC=90°，
∴OE=OA=12AC=32 3，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE=∠EAB，
∴∠OEA=∠EAB，
∴OE//AB，
∴∠EOF=∠AFO=90°，
在Rt△AOF中，∠OAB=12DAB=30°，
∴OF=12OA=34 3，
∴OO′=2OF=32 3，
在Rt△EOO′中，O′E= EO2+OO′2= (32 3)2+(32 3)2=32 6，
∴OE+PE=32 6，
∴OP+PE的最小值为32 6，
故答案为：32 6．
连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F=OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，从而可得OP=O′P，此时OP+PE的值最小，先利用菱形的性质可得AD=AB=3，∠BAC=12∠BAD，OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，∠AOD=90°，从而可得△ADB是等边三角形，进而求出AD=3，然后在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，进而利用直角三角形斜边上的中线可得OE=OA=12AC=32 3，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得OE//AB，从而求出∠EOF=90°，进而在Rt△AOF中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，即可求出OO′的长，最后在Rt△EOO′中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，角平分线的定义，等边三角形的判定与性质，轴对称−最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18.【答案】①②③⑤
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，AC⊥BD，∠ABD=∠DBC=∠ACD=45°．
∴∠BOE+∠EOC=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC=90°．
∴∠BOE=∠COF．
在△BOE和△COF中，
∠OBE=∠OCF=45°OB=OC∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴BE=CF．
在△BAE和△CBF中，
AB=BC∠ABC=∠BCF=90°BE=CF，
∴△BAE≌△CBF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF=90°，
∴∠ABP+∠BAE=90°，
∴∠APB=90°．
∴AE⊥BF．
∴①的结论正确；
②∵∠APB=90°，∠AOB=90°，
∴点A，B，P，O四点共圆，
∴∠APO=∠ABO=45°，
∴②的结论正确；
③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，
∵∠APO=45°，OH⊥OP，
∴OH=OP= 22HP，
∴HP= 2OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB=90°．
∴∠AOH=∠BOP．
∵∠OAH+BAE=45°，∠OBP+∠CBF=45°，∠BAE=∠CBF，
∴∠OAH=∠OBP．
在△AOH和△BOP中，
∠OAH=∠OBPOA=OB∠AOH=∠BOP，
∴△AOH≌△BOP(ASA)，
∴AH=BP．
∴AP−BP=AP−AH=HP= 2OP．
∴③的结论正确；
④∵BE：CE=2：3，
∴设BE=2x，则CE=3x，
∴AB=BC=5x，
∴AE= AB2+BE2= 29x.
过点E作EG⊥AC于点G，如图，
∵∠ACB=45°，
∴EG=GC= 22EC=3 22x，
∴AG= AE2−GE2=7 22x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE=EGAG，
∴tan∠CAE=3 22x7 22x=37．
∴④的结论不正确；
⑤∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA(SAS)．
∴S△OBC=14S正方形ABCD．
∴S△BOE+S△OEC=14S正方形ABCD．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE=S△OFC，
∴S△OEC+S△OFC=14S正方形ABCD．
即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14．
∴⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
故答案为：①②③⑤．
利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(a2−2aa2−1−a2−1a2−1)⋅a+12a−1
=1−2a(a+1)(a−1)⋅a+12a−1
=11−a，
当a=2cos30°+1=2× 32+1= 3+1时，原式=11− 3−1=− 33．
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值化简a，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、特殊角是三角函数值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)100，800，
(2)∵一共调查了100名学生，爱好单板滑雪的占10%，
∴爱好单板滑雪的学生数为100×10%=10(人)，
∴爱好自由式滑雪的学生数为100−40−20−10=30(人)，
补全条形统计图如下：
(3)列表如下：
从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有12种，
抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果有：(A,C)，(B,C)，(D,C)(C,A)，(C,B)，(C,D)，一共6种等可能的结果，
∴P(抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C)=612=12．
答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率是12．
【解析】解：(1)∵调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有40人，占调查人数的40%，
∴一共调查了40÷40%=100(人)，
若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有2000×40%=800(人)，
故答案为：100，800；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由爱好花样滑冰运动的40人，占调查人数的40%，可求出调查人数，用爱好花样滑冰运动的学生占调查人数的40%，可估计2000名学生中，爱好花样滑冰运动的学生人数；
(2)求出爱好单板滑雪、爱好自由式滑雪的学生数，补全条形统计图即可；
(3)列表求出12种等可能的结果，找出恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查统计与概率问题，解题的关键是用列表法或画树状图法，不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完成，乙队单独施工需要3x天完成，
根据题意得：(1x+13x)×15+10x=1，
解得：x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意，
答：这项工程的规定时间是30天．
【解析】设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完成，乙队单独施工需要3x天完成，根据由甲，乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，AB=AC，
∴∠BDF=∠AEF=90°，BD=DC，
∵∠AFE=∠BFD，BD=DE，
∴∠FAE=∠FBD，∠FBD=∠DEF，
∵OA=OE，
∴∠FAE=∠OEA，
∴∠OEA=∠DEF，
∵∠OEA+∠OEF=∠AEF=90°，
∴∠DEF+∠OEF=90°，
∴∠OED=90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)证明：∵BE⊥AC，
∴∠AEF=∠BEC=90°，
∵∠EAF=∠EBC，AE=BE，
∴△EAF≌△EBC(ASA)，
∴AF=BC，
∵∠AEF=∠BDF=90°，∠EAF=∠DBF，
∴△AEF∽△DBF，
∴EFAF=DFBF，
∴DF⋅AF=EF⋅BF，
∴DF⋅BC=EF⋅BF．
【解析】(1)由BE⊥AC，AD⊥BC，AB=AC，得出∠BDF=∠AEF=90°，BD=DC，由AFE=∠BFD，BD=DE，得出∠FAE=∠FBD，∠FBD=∠DEF，由OA=OE，得出∠FAE=∠OEA，得出∠OEA=∠DEF，进而证明∠OED=90°，即可证明DE是⊙O的切线；
(2)先证明△EAF≌△EBC，得出AF=BC，再证明△AEF∽△DBF，得出EFAF=DFBF，进而得出DF⋅AF=EF⋅BF，即可证明DF⋅BC=EF⋅BF．
本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定方法，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
23.【答案】解：如图，作DF⊥CE交CE于点F，
∵EC//AD，∠CDG=63.4°，
∴∠FCD=∠CDG=63.4°，
，tan63.4°≈2.00，
，
∴DF=2CF，
设CF=x m，则DF=2x m，BE=(3−2x)m，
∵AD=2m，AD=EF，
∴EF=2m，
∴CE=(2+x)m，
，tan10°≈0.18，
，
解得x≈1.2，
∴BE=3−2x=3−2×1.2=0.6(m)，
，∠BCE=10°，
．
即此遮阳篷BC的长度约为3.5m．
【解析】
【分析】
根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得BE的长，然后再根据锐角三角函数，即可得到BC的长．
【解答】
解：如图，作DF⊥CE交CE于点F，
∵EC//AD，∠CDG=63.4°，
∴∠FCD=∠CDG=63.4°，
，tan63.4°≈2.00，
，
∴DF=2CF，
设CF=x m，则DF=2x m，BE=(3−2x)m，
∵AD=2m，AD=EF，
∴EF=2m，
∴CE=(2+x)m，
，tan10°≈0.18，
，
解得x≈1.2，
∴BE=3−2x=3−2×1.2=0.6(m)，
，∠BCE=10°，
．
即此遮阳篷BC的长度约为3.5m．
【点评】
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
24.【答案】解：(1)设y=kx+b，
将(25,110)、(30,100)代入，得：25k+b=11030k+b=100，
解得：k=−2b=160，
∴y=−2x+160；
(2)由题意得：(x−20)(−2x+160)=1000，
即−2x2+200x−3200=1000，
解得：x=30或70，
又∵每千克售价不低于成本，且不高于40元，即20≤x≤40，
答：该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．
(3)设超市日销售利润为w元，
w=(x−20)(−2x+160)，
=−2x2+200x−3200，
=−2(x−50)2+1800，
∵−2<0，
∴当20≤x≤40时，w随x的增大而增大，
∴当x=40时，w取得最大值为：w=−2(40−50)2+1800=1600，
答：当每千克樱桃的售价定为40元时日销售利润最大，最大利润是1600元．
【解析】(1)利用待定系数法求解可得；
(2)根据“日销售利润=每千克利润×日销售量”可得函数解析式，根据获得1000的日销售利润列方程解出即可；
(3)将函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
25.【答案】解(1)如图1，过点A作DH⊥BC于H，
∴∠AHB=90°，
∵AB=AC=5 5，
∴BC=2BH，
在Rt△AHB中，tan∠ABC=AHBH=2，
∴AH=2BH，
根据勾股定理得，AH2+BH2=AB2，
∴(2BH)2+BH2=(5 5)2，
∴BH=5，
∴BC=2BH=10；
(2)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵tan∠ABC=2，
∴tan∠ACB=2，
由(1)知，BC=10，
∵BF⊥AC，
∴∠BFC=90°，
在Rt△BFC中，tan∠ACB=BFCF=2，
∴BF=2CF，
根据勾股定理得，BF2+CF2=BC2，
∴(2CF)2+CF2=102，
∴CF=2 5，
∴AF=AC−CF=5 5−2 5=3 5，
如图2，过点C作CK//AB交FG于K，
∴△CFK∽△AFD，
∴CKAD=CFAF，
∴CKAD=2 53 5=23，
∴△CGK∽△BGD，
∴CKBD=CGBG，
∴CG=4，
∴CKBD=410+4=27，
∴ADBD=37，
∴ADAB=310，
∴AD=310AB=310×5 5=3 52；
(3)如备用图，
在Rt△BFC中，根据勾股定理得，BF= BC2−CF2= 102−(2 5)2=4 5，
∵DE⊥BC，
∴∠BEQ=90°=∠BFC，
∵∠EBQ=∠FBC，
∴△BEQ∽△BFC，
∴EQCF=BQBC，
∵CF=2 5，BC=10，
∴EQ2 5=BQ10，
∴EQBQ= 55，
∴设EQ= 5m，则BQ=5m，
根据勾股定理得，BE=2 5m，
在Rt△BEQ中，tan∠ABC=DEBE=2，
∴DE=2BE=4 5m，
根据勾股定理得，BD=10m，
∴DQ=DE−EQ=3 5m，
∵DE⊥BC，
∴∠BEQ=90°，
∴∠CBF+∠BQE=90°，
∵∠BQE=∠DQF，
∴∠CBF+∠DQF=90°，
∵∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠DQF=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=∠DQF，
∵△DQF和△ABC相似，
∴①当△DQF∽△ACB时，
∴DQAC=QFBC，
∴3 5m5 5=QF10，
∴QF=6m，
∵BF=4 5，
∴5m+6m=4 5，
∴m=4 511，
∴BD=10m=40 511，
②当△DQF∽△BCA时，DQBC=FQAC，
∴3 5m10=FQ5 5，
∴FQ=152m，
∴152m+5m=4 5，
∴m=8 525，
∴BD=10m=16 55，
即BD的长为40 511或16 55．
【解析】(1)先利用等腰三角形的性质判断出BC=2BH，再用三角函数和勾股定理求出BH，即可得出结论；
(2)先利用勾股定理和三角函数求出CF，再判断出△CFK∽△AFD和△CGK∽△BGD，得出比例式，即可得出结论；
(3)先求出BF=4 5，再判断出△BEQ∽△BFC，得出EQBQ= 55，设EQ= 5m，则BQ=5m，BE=2 5m，进而表示出BD=10m，DQ=3 5m，∠DQF=∠C，再分两种情况，利用相似得出比例式表示出FQ，最后用BF=4 5建立方程求出m，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
26.【答案】解：(1)把A(−1,0)代入抛物线y=ax2+94x−4a中得：a−94−4a=0，
∴a=−34，
∴抛物线的解析式为：y=−34x2+94x+3，
当y=0时，−34x2+94x+3=0，
解得：x1=−1，x2=4，
∴B(4,0)，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则4k+b=0b=3，
解得：k=−34b=3，
∴直线BC的解析式为：y=−34x+3；
(2)如图1，设E(m,−34m2+94m+3)，则F(m,−34m+3)，
∴EF=(−34m2+94m+3)−(−34m+3)=−34m2+3m，
∵ED⊥BC，EG⊥AB，
∴∠EDF=∠BGF=90°，
∵∠DFE=∠BFG，
∴△BGF∽△EDF，
∴S1S2=(EDBG)2，
∵S1=8125S2，
∴S1S2=8125，
∴EDBG=95，
∴5ED=9BG，
∵∠DEF=∠OBC，
∴cos∠DEF=cos∠OBC，
∴DEEF=OBBC=45，
∴DE=45EF，
∴4EF=9BG，
∴4(−34m2+3m)=9(4−m)，
解得：m1=3，m2=4(舍)，
∴E(3,3)；
(3)存在；点M的坐标为(0,247)或(0,−247).理由如下：
分两种情况：
①当点M在y轴的正半轴上时，如图2，
过点E作EP⊥AM于P，过点E作EN⊥x轴于点N，过点P作QH//x轴，交NE于H，过点A作AQ⊥PH于Q，
∵∠MAB=2∠EAB，
∴∠PAE=∠EAB，
∴PE=EN=3，
tan∠EAN=tan∠PAE=PEAP=34，
∵∠H=∠Q=90°，∠HPE=∠QAP，
∴△EHP∽△PQA，
∴EHPQ=PHAQ=34，
设EH=3x，PQ=4x，则PH=4−4x，AQ=3+3x，
∴PHAQ=4−4x3+3x=34，
∴x=725，
∴P(325,9625)，
∴AP的解析式为：y=247x+247，
∴M(0,247)；
②当点M在y轴的负半轴上时，同理得：M(0,−247)，
综上，点M的坐标为(0,247)或(0,−247).
【解析】(1)首先将点A的坐标，代入抛物线的解析式可得a的值，确定抛物线的解析式，确定点B和C的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
(2)设E(m,−34m2+94m+3)，则F(m,−34m+3)，根据E在F的上方表示EF的长，证明△BGF∽△EDF，根据面积比等于相似比的平方和已知可得5ED=9BG，再根据∠OBC=∠DEF，由两个角的余弦相等列等式可解答；
(3)分两种情况：分M在y轴的正半轴和负半轴上，当点M在y轴的正半轴上时，如图2，作辅助线构建相似三角形，证明△EHP∽△PQA，可知相似比为34，设EH=3x，PQ=4x，则PH=4−4x，AQ=3+3x，可得P的坐标，得AP的解析式为：y=247x+247，可得点M的坐标，同理当点M在y轴的负半轴上时，同理得：M(0,−247).
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用分类讨论和数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
2023年辽宁省丹东十三中中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −3的绝对值是( )
A. −3 B. 3 C. −13 D. 13
2. 在下列立体图形中，主视图为矩形的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5 B. (a2)3=a6
C. (a−b)2=a2−b2 D. x6÷x2=x3
4. 下列命题中，假命题是( )
A. −2的绝对值是−2 B. 对顶角相等
C. 平行四边形是中心对称图形 D. 如果直线a//c，b//c，那么直线a//b
5. 将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1=40°，则∠2度数是( )
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
6. 下列说法正确的是( )
A. 一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B. 了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C. 小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分
D. 某日最高气温是7℃，最低气温是−2℃，则该日气温的极差是5℃
7. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A. 150(1−x2)=96 B. 150(1−x)=96
C. 150(1−x)2=96 D. 150(1−2x)=96
8. 如图所示，在△ABC中，按下列步骤作图：
第一步：在AB、AC上分别截取AD、AE，使AD=AE；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长(大于DE的一半)为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线AF交BC于点M；
第四步：过点M作MN⊥AB于点N．
下列结论一定成立的是( )
A. CM=MN B. AC=AN
C. ∠CAM=∠BAM D. ∠CMA=∠NMA
9. 如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与AB交于点C，连接AC.若OA=2，则图中阴影部分的面积是( )
A. 2π3− 32
B. 2π3− 3
C. π3− 32
D. π3
10. 已知期物线y=aa2+b+c(a>0)交x轴于点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 计算： 4+(π−2)0−|−5|=______．
12. 多项式mn2−9m分解因式的结果是______ ．
13. 若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是______．
14. 在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是______．
15. 定义一种运算：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ．
例如：当α=45°，β=30°时，sin(45°+30°)= 22× 32+ 22×12= 6+ 24，则sin15°的值为______．
16. 如图，点A是反比例函数y=kx(x<0)图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=______．
17. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD=60°，AD=3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是______．
18. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP，则下列结论：
①AE⊥BF；
②∠OPA=45°；
③AP−BP= 2OP；
④若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47；
⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14．
其中正确的结论是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值(a2−2aa2−1−1)÷2a−1a+1，其中a=2cos30°+1．
20. (本小题14.0分)
北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项(每人限选1项)，制作了如图统计图(部分信息未给出)．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人；
(2)补全条形统计图；
(3)把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．
21. (本小题12.0分)
某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划游某村的居民目来水管速进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍，如果由甲，乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天，这项工程的规定时间是多少天？
22. (本小题12.0分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，底边BC的高AD与腰AC上的高BE相交于点F，且AE=BE，⊙O是△AEF的外接圆，连接DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)求证：DF⋅BC=EF⋅BF．
23. (本小题12.0分)
某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙(AB)上安装一遮阳篷BC，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处(AD)以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷BC与水平面的夹角为10°.如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷BC的长度(结果精确到0.1m).(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18；sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00)
24. (本小题12.0分)
某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
每千克售价x(元)
…
25
30
35
…
日销售量y(千克)
…
110
100
90
…
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
(3)当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
25. (本小题12.0分)
如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC=5 5，tan∠ABC=2，BF⊥AC，垂足为F，点D是边AB上一点(不与A，B重合)．
(1)求边BC的长；
(2)如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果CG=4，求线段AD的长；
(3)过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果△DQF和△ABC相似，求线段BD的长．
26. (本小题14.0分)
如图，抛物线y=ax2+94x−4a与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C，在直线BC上方的抛物线上有一动点E，过点E作EG⊥x轴于G，EG交直线BC于点F.过点E作ED⊥BC于点D．
(1)求抛物线及直线BC的函数关系式；
(2)设S△EDF为S1，S△BGF为S2，当S1=8125S2时，求点E的坐标．
(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点M，使得∠MAB=2∠EAB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−3的绝对值是3．
故选：B．
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
本题考查了绝对值的概念，掌握绝对值的概念是关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意；
B.球的主视图是圆，故本选项不符合题意；
C.圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项不符合题意；
D.三棱锥形的主视图是三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
3.【答案】B
【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、(a2)3=a6，故此选项符合题意；
C、(a−b)2=a2−2ab+b2，故此选项不符合题意；
D、x6÷x2=x4，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法法则逐项判断即可．
本题考查了合并同类项法则、幂的乘方法则、完全平方公式、同底数幂的除法法则，熟记这些法则和公式是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：−2的绝对值是2，故A是假命题，符合题意；
对顶角相等，故B是真命题，不符合题意；
平行四边形是中心对称图形，故C是真命题，不符合题意；
如果直线a//c，b//c，那么直线a//b，故D是真命题，不符合题意；
故选：A．
根据绝对值，中心对称等概念和相交线、平行线的相关定理逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握绝对值、中心对称等概念和相交线、平行线的相关定理．
5.【答案】B
【解析】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，
∴∠2=∠ACB，∠ABC=∠1=40°，
∵∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠2=90°−∠1=90°−40°=50°，
故选：B．
如图，易知三角板的∠A为直角，直尺的两条边平行，则可得∠1的对顶角和∠2的同位角互为余角，即可求解．
本题考查了对顶角，三角形内角和定理，余角，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定理及性质进行推导．
6.【答案】B
【解析】解：A、一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2.5，故此选项说法错误，不符合题意；
B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，故此选项说法正确，符合题意；
C、小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是13023分，故此选项说法错误，不符合题意；
D、某日最高气温是7℃，最低气温是−2℃，该日气温的极差是7−(−2)=9℃，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
利用中位数的定义、抽样调查的意义、平均数的求法、极差的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了中位数、抽样调查的意义和平均数的求法、极差，正确把握相关定义是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：第一次降价后的价格为150×(1−x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为150×(1−x)×(1−x)，
则列出的方程是150(1−x)2=96．
故选：C．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1−降低的百分率)=96，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可知，AM平分∠CAB，
∵∠C不一定等于90°，∴CM≥MN，因此A选项不符合题意；
∵∠C不一定等于90°，∴AC不一定等于AN，因此B选项不符合题意；
∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠BAM，因此C选项符合题意；
∵∠C不一定等于90°，∴∠CMA不一定等于∠NMA，因此D选项不符合题意．
故选：C．
根据题意可知，AM平分∠CAB，即可得出正确答案．
本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的定义，掌握角平分线的作图方法是本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形AOB中，OA=2，
∴OC=OA=2，
∵翻折后点A与圆心O重合，
∴AD=OD=1，CD⊥AO，
∴OC=AC，
∴OA=OC=AC=2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵CD⊥OA，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理得CD= OC2−OD2= 22−12= 3，
∴阴影部分的面积为60π×22360−2× 32=2π3− 3．
故选B．
根据垂直平分线的性质和等边三角形的性质，可以得到∠COD=60°，即可求出扇形AOC的面积，再算出△AOC的面积，即可求出阴影部分面积．
本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】D
【解析】解：∵抛物线与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1
若a+c=b+3，即a−b+c=3，则该抛物线一定经过点(−1,3)，所以②错误；
当P(m,n)为抛物线的顶点时，方程ax2+bx+c=n的解是x=m；若P(m,n)不为抛物线的顶点，则方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数解，所以③错误；
当P点为顶点时，△PAB的面积最大．此时x=−b2a=m，
∵x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两不相等的实数解，
∴x1+x2=−ba，
∴m=x1+x22，所以④正确．
故选：D．
利用抛物线与x轴交点个数和判别式的意义对①进行判断；由于x=−1，y=3满足a−b+c=3，则可对②进行判断；通过判断直线y=n与抛物线的交点个数可对③进行判断；根据三角形面积公式，当P点为顶点时，△PAB的面积最大．此时x=−b2a=m，再利用根与系数的关系得到x1+x2=−ba，于是m=x1+x22，则可对④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
11.【答案】−2
【解析】解：原式=2+1−5
=3−5
=−2．
故答案为：−2．
原式利用算术平方根性质，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，零指数幂，算术平方根，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
12.【答案】m(n+3)(n−3)
【解析】解：原式=m(n2−9)
=m(n+3)(n−3)，
故答案为：m(n+3)(n−3)．
提公因式后再利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握并应用因式分解的方法是解题的关键．
13.【答案】m>0且m≠1
【解析】解：1x−2+2x+2=x+2m(x+2)(x−2)，
给分式方程两边同时乘以最简公分母(x+2)(x−2)，
得(x+2)+2(x−2)=x+2m，
去括号，得x+2+2x−4=x+2m，
解方程，得x=m+1，
检验：当
m+1≠2，m+1=−2，
即m≠1且m≠−3时，x=m+1是原分式方程的解，
根据题意可得，
m+1>1，
∴m>0且m≠1．
故答案为：m>0且m≠1．
先解分式方程，再应用分式方程的解进行计算即可得出答案．
本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式的解的定义进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】13
【解析】解：∵在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，
∴摸到红球的概率是：22+4=13．
故答案为：13．
直接利用概率公式，进而计算得出答案．
此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
15.【答案】 6− 24
【解析】解：sin15°=sin(45°−30°)
=sin45°cos30°−cos45°sin30°
= 22× 32− 22×12
= 64− 24
= 6− 24．
故答案为： 6− 24．
把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
16.【答案】−4
【解析】解：连接OA，如图所示：
∵AB⊥y轴，
∴AB//OC，
∵D是AB的中点，
∴S△ABC=2S△ADO，△ABC的面积为4，
∵S△ADO=|k|2=2，
∴|k|=4，
根据图象可知，k<0，
∴k=−4．
故答案为：−4．
连接OA，则有S△ABC=2S△ADO，根据k的几何意义，可得|k|2=2，根据图象可知k<0，即可求出k的值．
本题考查了反比例函数k的几何意义，由三角形面积求k的值注意符号是关键．
17.【答案】32 6
【解析】解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F=OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，
∴AP是OO′的垂直平分线，
∴OP=O′P，
∴OP+PE=O′P+PE=O′E，
此时，OP+PE的值最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=3，∠BAC=12∠BAD，OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，∠AOD=90°，
∵∠BAD=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AD=3，
∴OD=12BD=32，
∴AO= AD2−DO2= 32−(32)2=32 3，
∴AC=2OA=3 3，
∵CE⊥AH，
∴∠AEC=90°，
∴OE=OA=12AC=32 3，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE=∠EAB，
∴∠OEA=∠EAB，
∴OE//AB，
∴∠EOF=∠AFO=90°，
在Rt△AOF中，∠OAB=12DAB=30°，
∴OF=12OA=34 3，
∴OO′=2OF=32 3，
在Rt△EOO′中，O′E= EO2+OO′2= (32 3)2+(32 3)2=32 6，
∴OE+PE=32 6，
∴OP+PE的最小值为32 6，
故答案为：32 6．
连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F=OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，从而可得OP=O′P，此时OP+PE的值最小，先利用菱形的性质可得AD=AB=3，∠BAC=12∠BAD，OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，∠AOD=90°，从而可得△ADB是等边三角形，进而求出AD=3，然后在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，进而利用直角三角形斜边上的中线可得OE=OA=12AC=32 3，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得OE//AB，从而求出∠EOF=90°，进而在Rt△AOF中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，即可求出OO′的长，最后在Rt△EOO′中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，角平分线的定义，等边三角形的判定与性质，轴对称−最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18.【答案】①②③⑤
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，AC⊥BD，∠ABD=∠DBC=∠ACD=45°．
∴∠BOE+∠EOC=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠FOC+∠EOC=90°．
∴∠BOE=∠COF．
在△BOE和△COF中，
∠OBE=∠OCF=45°OB=OC∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴BE=CF．
在△BAE和△CBF中，
AB=BC∠ABC=∠BCF=90°BE=CF，
∴△BAE≌△CBF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF．
∵∠ABP+∠CBF=90°，
∴∠ABP+∠BAE=90°，
∴∠APB=90°．
∴AE⊥BF．
∴①的结论正确；
②∵∠APB=90°，∠AOB=90°，
∴点A，B，P，O四点共圆，
∴∠APO=∠ABO=45°，
∴②的结论正确；
③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，
∵∠APO=45°，OH⊥OP，
∴OH=OP= 22HP，
∴HP= 2OP．
∵OH⊥OP，
∴∠POB+∠HOB=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOH+∠HOB=90°．
∴∠AOH=∠BOP．
∵∠OAH+BAE=45°，∠OBP+∠CBF=45°，∠BAE=∠CBF，
∴∠OAH=∠OBP．
在△AOH和△BOP中，
∠OAH=∠OBPOA=OB∠AOH=∠BOP，
∴△AOH≌△BOP(ASA)，
∴AH=BP．
∴AP−BP=AP−AH=HP= 2OP．
∴③的结论正确；
④∵BE：CE=2：3，
∴设BE=2x，则CE=3x，
∴AB=BC=5x，
∴AE= AB2+BE2= 29x.
过点E作EG⊥AC于点G，如图，
∵∠ACB=45°，
∴EG=GC= 22EC=3 22x，
∴AG= AE2−GE2=7 22x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠CAE=EGAG，
∴tan∠CAE=3 22x7 22x=37．
∴④的结论不正确；
⑤∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，
∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA(SAS)．
∴S△OBC=14S正方形ABCD．
∴S△BOE+S△OEC=14S正方形ABCD．
由①知：△BOE≌△COF，
∴S△OBE=S△OFC，
∴S△OEC+S△OFC=14S正方形ABCD．
即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14．
∴⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
故答案为：①②③⑤．
利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(a2−2aa2−1−a2−1a2−1)⋅a+12a−1
=1−2a(a+1)(a−1)⋅a+12a−1
=11−a，
当a=2cos30°+1=2× 32+1= 3+1时，原式=11− 3−1=− 33．
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值化简a，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、特殊角是三角函数值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)100，800，
(2)∵一共调查了100名学生，爱好单板滑雪的占10%，
∴爱好单板滑雪的学生数为100×10%=10(人)，
∴爱好自由式滑雪的学生数为100−40−20−10=30(人)，
补全条形统计图如下：
(3)列表如下：
从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有12种，
抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果有：(A,C)，(B,C)，(D,C)(C,A)，(C,B)，(C,D)，一共6种等可能的结果，
∴P(抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C)=612=12．
答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率是12．
【解析】解：(1)∵调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有40人，占调查人数的40%，
∴一共调查了40÷40%=100(人)，
若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有2000×40%=800(人)，
故答案为：100，800；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由爱好花样滑冰运动的40人，占调查人数的40%，可求出调查人数，用爱好花样滑冰运动的学生占调查人数的40%，可估计2000名学生中，爱好花样滑冰运动的学生人数；
(2)求出爱好单板滑雪、爱好自由式滑雪的学生数，补全条形统计图即可；
(3)列表求出12种等可能的结果，找出恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查统计与概率问题，解题的关键是用列表法或画树状图法，不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完成，乙队单独施工需要3x天完成，
根据题意得：(1x+13x)×15+10x=1，
解得：x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意，
答：这项工程的规定时间是30天．
【解析】设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完成，乙队单独施工需要3x天完成，根据由甲，乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，AB=AC，
∴∠BDF=∠AEF=90°，BD=DC，
∵∠AFE=∠BFD，BD=DE，
∴∠FAE=∠FBD，∠FBD=∠DEF，
∵OA=OE，
∴∠FAE=∠OEA，
∴∠OEA=∠DEF，
∵∠OEA+∠OEF=∠AEF=90°，
∴∠DEF+∠OEF=90°，
∴∠OED=90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)证明：∵BE⊥AC，
∴∠AEF=∠BEC=90°，
∵∠EAF=∠EBC，AE=BE，
∴△EAF≌△EBC(ASA)，
∴AF=BC，
∵∠AEF=∠BDF=90°，∠EAF=∠DBF，
∴△AEF∽△DBF，
∴EFAF=DFBF，
∴DF⋅AF=EF⋅BF，
∴DF⋅BC=EF⋅BF．
【解析】(1)由BE⊥AC，AD⊥BC，AB=AC，得出∠BDF=∠AEF=90°，BD=DC，由AFE=∠BFD，BD=DE，得出∠FAE=∠FBD，∠FBD=∠DEF，由OA=OE，得出∠FAE=∠OEA，得出∠OEA=∠DEF，进而证明∠OED=90°，即可证明DE是⊙O的切线；
(2)先证明△EAF≌△EBC，得出AF=BC，再证明△AEF∽△DBF，得出EFAF=DFBF，进而得出DF⋅AF=EF⋅BF，即可证明DF⋅BC=EF⋅BF．
本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定方法，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
23.【答案】解：如图，作DF⊥CE交CE于点F，
∵EC//AD，∠CDG=63.4°，
∴∠FCD=∠CDG=63.4°，
，tan63.4°≈2.00，
，
∴DF=2CF，
设CF=x m，则DF=2x m，BE=(3−2x)m，
∵AD=2m，AD=EF，
∴EF=2m，
∴CE=(2+x)m，
，tan10°≈0.18，
，
解得x≈1.2，
∴BE=3−2x=3−2×1.2=0.6(m)，
，∠BCE=10°，
．
即此遮阳篷BC的长度约为3.5m．
【解析】
【分析】
根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得BE的长，然后再根据锐角三角函数，即可得到BC的长．
【解答】
解：如图，作DF⊥CE交CE于点F，
∵EC//AD，∠CDG=63.4°，
∴∠FCD=∠CDG=63.4°，
，tan63.4°≈2.00，
，
∴DF=2CF，
设CF=x m，则DF=2x m，BE=(3−2x)m，
∵AD=2m，AD=EF，
∴EF=2m，
∴CE=(2+x)m，
，tan10°≈0.18，
，
解得x≈1.2，
∴BE=3−2x=3−2×1.2=0.6(m)，
，∠BCE=10°，
．
即此遮阳篷BC的长度约为3.5m．
【点评】
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
24.【答案】解：(1)设y=kx+b，
将(25,110)、(30,100)代入，得：25k+b=11030k+b=100，
解得：k=−2b=160，
∴y=−2x+160；
(2)由题意得：(x−20)(−2x+160)=1000，
即−2x2+200x−3200=1000，
解得：x=30或70，
又∵每千克售价不低于成本，且不高于40元，即20≤x≤40，
答：该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．
(3)设超市日销售利润为w元，
w=(x−20)(−2x+160)，
=−2x2+200x−3200，
=−2(x−50)2+1800，
∵−2<0，
∴当20≤x≤40时，w随x的增大而增大，
∴当x=40时，w取得最大值为：w=−2(40−50)2+1800=1600，
答：当每千克樱桃的售价定为40元时日销售利润最大，最大利润是1600元．
【解析】(1)利用待定系数法求解可得；
(2)根据“日销售利润=每千克利润×日销售量”可得函数解析式，根据获得1000的日销售利润列方程解出即可；
(3)将函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
25.【答案】解(1)如图1，过点A作DH⊥BC于H，
∴∠AHB=90°，
∵AB=AC=5 5，
∴BC=2BH，
在Rt△AHB中，tan∠ABC=AHBH=2，
∴AH=2BH，
根据勾股定理得，AH2+BH2=AB2，
∴(2BH)2+BH2=(5 5)2，
∴BH=5，
∴BC=2BH=10；
(2)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵tan∠ABC=2，
∴tan∠ACB=2，
由(1)知，BC=10，
∵BF⊥AC，
∴∠BFC=90°，
在Rt△BFC中，tan∠ACB=BFCF=2，
∴BF=2CF，
根据勾股定理得，BF2+CF2=BC2，
∴(2CF)2+CF2=102，
∴CF=2 5，
∴AF=AC−CF=5 5−2 5=3 5，
如图2，过点C作CK//AB交FG于K，
∴△CFK∽△AFD，
∴CKAD=CFAF，
∴CKAD=2 53 5=23，
∴△CGK∽△BGD，
∴CKBD=CGBG，
∴CG=4，
∴CKBD=410+4=27，
∴ADBD=37，
∴ADAB=310，
∴AD=310AB=310×5 5=3 52；
(3)如备用图，
在Rt△BFC中，根据勾股定理得，BF= BC2−CF2= 102−(2 5)2=4 5，
∵DE⊥BC，
∴∠BEQ=90°=∠BFC，
∵∠EBQ=∠FBC，
∴△BEQ∽△BFC，
∴EQCF=BQBC，
∵CF=2 5，BC=10，
∴EQ2 5=BQ10，
∴EQBQ= 55，
∴设EQ= 5m，则BQ=5m，
根据勾股定理得，BE=2 5m，
在Rt△BEQ中，tan∠ABC=DEBE=2，
∴DE=2BE=4 5m，
根据勾股定理得，BD=10m，
∴DQ=DE−EQ=3 5m，
∵DE⊥BC，
∴∠BEQ=90°，
∴∠CBF+∠BQE=90°，
∵∠BQE=∠DQF，
∴∠CBF+∠DQF=90°，
∵∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠DQF=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=∠DQF，
∵△DQF和△ABC相似，
∴①当△DQF∽△ACB时，
∴DQAC=QFBC，
∴3 5m5 5=QF10，
∴QF=6m，
∵BF=4 5，
∴5m+6m=4 5，
∴m=4 511，
∴BD=10m=40 511，
②当△DQF∽△BCA时，DQBC=FQAC，
∴3 5m10=FQ5 5，
∴FQ=152m，
∴152m+5m=4 5，
∴m=8 525，
∴BD=10m=16 55，
即BD的长为40 511或16 55．
【解析】(1)先利用等腰三角形的性质判断出BC=2BH，再用三角函数和勾股定理求出BH，即可得出结论；
(2)先利用勾股定理和三角函数求出CF，再判断出△CFK∽△AFD和△CGK∽△BGD，得出比例式，即可得出结论；
(3)先求出BF=4 5，再判断出△BEQ∽△BFC，得出EQBQ= 55，设EQ= 5m，则BQ=5m，BE=2 5m，进而表示出BD=10m，DQ=3 5m，∠DQF=∠C，再分两种情况，利用相似得出比例式表示出FQ，最后用BF=4 5建立方程求出m，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
26.【答案】解：(1)把A(−1,0)代入抛物线y=ax2+94x−4a中得：a−94−4a=0，
∴a=−34，
∴抛物线的解析式为：y=−34x2+94x+3，
当y=0时，−34x2+94x+3=0，
解得：x1=−1，x2=4，
∴B(4,0)，
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则4k+b=0b=3，
解得：k=−34b=3，
∴直线BC的解析式为：y=−34x+3；
(2)如图1，设E(m,−34m2+94m+3)，则F(m,−34m+3)，
∴EF=(−34m2+94m+3)−(−34m+3)=−34m2+3m，
∵ED⊥BC，EG⊥AB，
∴∠EDF=∠BGF=90°，
∵∠DFE=∠BFG，
∴△BGF∽△EDF，
∴S1S2=(EDBG)2，
∵S1=8125S2，
∴S1S2=8125，
∴EDBG=95，
∴5ED=9BG，
∵∠DEF=∠OBC，
∴cos∠DEF=cos∠OBC，
∴DEEF=OBBC=45，
∴DE=45EF，
∴4EF=9BG，
∴4(−34m2+3m)=9(4−m)，
解得：m1=3，m2=4(舍)，
∴E(3,3)；
(3)存在；点M的坐标为(0,247)或(0,−247).理由如下：
分两种情况：
①当点M在y轴的正半轴上时，如图2，
过点E作EP⊥AM于P，过点E作EN⊥x轴于点N，过点P作QH//x轴，交NE于H，过点A作AQ⊥PH于Q，
∵∠MAB=2∠EAB，
∴∠PAE=∠EAB，
∴PE=EN=3，
tan∠EAN=tan∠PAE=PEAP=34，
∵∠H=∠Q=90°，∠HPE=∠QAP，
∴△EHP∽△PQA，
∴EHPQ=PHAQ=34，
设EH=3x，PQ=4x，则PH=4−4x，AQ=3+3x，
∴PHAQ=4−4x3+3x=34，
∴x=725，
∴P(325,9625)，
∴AP的解析式为：y=247x+247，
∴M(0,247)；
②当点M在y轴的负半轴上时，同理得：M(0,−247)，
综上，点M的坐标为(0,247)或(0,−247).
【解析】(1)首先将点A的坐标，代入抛物线的解析式可得a的值，确定抛物线的解析式，确定点B和C的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
(2)设E(m,−34m2+94m+3)，则F(m,−34m+3)，根据E在F的上方表示EF的长，证明△BGF∽△EDF，根据面积比等于相似比的平方和已知可得5ED=9BG，再根据∠OBC=∠DEF，由两个角的余弦相等列等式可解答；
(3)分两种情况：分M在y轴的正半轴和负半轴上，当点M在y轴的正半轴上时，如图2，作辅助线构建相似三角形，证明△EHP∽△PQA，可知相似比为34，设EH=3x，PQ=4x，则PH=4−4x，AQ=3+3x，可得P的坐标，得AP的解析式为：y=247x+247，可得点M的坐标，同理当点M在y轴的负半轴上时，同理得：M(0,−247).
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用分类讨论和数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
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