河南省洛阳市洛宁县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份河南省洛阳市洛宁县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省洛阳市洛宁县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝4 B．x＞4 C．x＜4 D．x≠4
2．（3分）某种计算机完成一次基本运算所需要的时间约为0.000000001秒．将数据0.000000001用科学记数法表示为（　　）
A．0.1×10﹣8 B．0.1×10﹣9 C．1×10﹣9 D．1×10﹣10
3．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（　　）

A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB
C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180°
4．（3分）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．邻边相等 B．对边相等
C．对角相等 D．是中心对称图形
5．（3分）解分式方程﹣2＝，去分母得（　　）
A．3﹣2（x﹣1）＝﹣1 B．3﹣2（x﹣1）＝1
C．3﹣2x﹣2＝﹣1 D．3﹣2x﹣2＝1
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，AB∥x轴．已知点A（﹣2，﹣2），则点C的坐标是（　　）

A．（2，4） B．（4，2） C．（3，4） D．（2，3）
7．（3分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，最终得分高者录用，测试成绩如表（单位：分）．公司的管理层经过讨论认为该职位对能力方面的要求最为重要，给出四项得分的比例为1：1：2：1，则甲、乙两人最终的得分分别为（　　）
测试成绩项
学历
经验
能力
态度
甲
8
6
8
7
乙
7
9
9
5
A．7.25分，7.5分 B．7.4分，7.5分
C．7.25分，7.8分 D．7.4分，7.8分
8．（3分）课堂上老师在黑板上给出了如下内容：如图，一次函数y1＝ax+b（a，b是常数）的图象与y轴、x轴分别交于点A（0，3）、点B，正比例函数的图象与一次函数y1的图象交于点P（m，1）．小明说：“关于x的不等式的解集为x＞3．”小红说：“a的值为”，则他们两人的说法是（　　）

A．小明对、小红错 B．小明错、小红对
C．都错 D．都对
9．（3分）如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠CDA＝80°时，∠CDF＝（　　）

A．15° B．30° C．40° D．50°
10．（3分）在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P，从A出发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，△PAC的面积为y．请结合右侧函数图象分析当x＝2022时，y的值为（　　）


A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）若一次函数y＝﹣x+b（b为常数）的图象经过第一、二、四象限，则b的值可以为　 　．（写出一个即可）．
13．（3分）某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数和方差等数个统计量中，该鞋厂最关注的是 　 　．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为　 　．

15．（3分）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图1，AD＞CD）沿过点A的直线折叠，使得点B落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图2）；再沿过点D的直线折叠，使得点C落在AD边上的点N处，点E落在AE上的点M处，折痕为DG（如图3）．若第二次折叠后，点M正好在∠NDG的平分线上，连接DM，且CD＝1，则AD＝　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：﹣•，其中x＝3．
17．（9分）某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：cm）如表：

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲
169
165
168
169
172
173
169
167
乙
161
174
172
162
163
172
172
176
两名同学的8次跳高成绩数据分析如表：根据图表信息回答下列问题：

平均数
中位数
众数
方差
甲
a
b
c
5.75
乙
169
172
172
31.25
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）你认为应该选择哪位同学参赛？并说明理由．
18．（9分）已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AO，CO上，且AE＝CF，求证：∠EBO＝∠FDO．

19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若OA＝5，OD＝4，求四边形AECD的面积．

20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B（8，1）两点，且点A在直线y＝x上．
（1）求反比例函数的表达式及点A的坐标．
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AB的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）线段OB与（2）中所作的垂直平分线相交于点C，连接AC．求△AOC的周长．

21．（10分）某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：

甲水笔
乙水笔
每支进价（元）
a
a+5
每支利润（元）
2
3
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
（1）求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
（2）若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
22．（10分）如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（6，8），△ABD与△EBD关于直线BF对称，且点E在对角线OB上．
（1）求线段OB的长；
（2）求点D的坐标及直线BF的函数表达式．

23．（11分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
请结合图①（设EC、DF交于点G），写出完整的证明过程．

【结论应用】
（1）如图②，在正方形ABCD中，CE⊥DF．连结DE、EF，若正方形的边长为3，四边形CDEF的面积为8，则CF的长为 　 　．
（2）如图③，在正方形ABCD中，CE⊥DF．
①四边形BEGF与△CDG的面积关系为：S四边形BEGF　 　S△CDG．（填“＞”，“＜”或“＝”）
②若正方形的边长为5，且图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3：5，则△CDG的周长为 　 　．


参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝4 B．x＞4 C．x＜4 D．x≠4
【分析】根据分母不等于零分式有意义，可得答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣4≠0，
解得，x≠4，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
2．（3分）某种计算机完成一次基本运算所需要的时间约为0.000000001秒．将数据0.000000001用科学记数法表示为（　　）
A．0.1×10﹣8 B．0.1×10﹣9 C．1×10﹣9 D．1×10﹣10
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000001＝1×10﹣9．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（　　）

A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB
C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180°
【分析】先证AB∥CD，再由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】解：应增加的条件是：∠ABD＝∠CDB，理由如下：
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
4．（3分）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．邻边相等 B．对边相等
C．对角相等 D．是中心对称图形
【分析】利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解．
【解答】解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是邻边相等．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
5．（3分）解分式方程﹣2＝，去分母得（　　）
A．3﹣2（x﹣1）＝﹣1 B．3﹣2（x﹣1）＝1
C．3﹣2x﹣2＝﹣1 D．3﹣2x﹣2＝1
【分析】将分式方程去分母即可．
【解答】解：﹣2＝，
去分母，得3﹣2（x﹣1）＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，AB∥x轴．已知点A（﹣2，﹣2），则点C的坐标是（　　）

A．（2，4） B．（4，2） C．（3，4） D．（2，3）
【分析】先由矩形的性质得出线段的长，再结合点A的坐标即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，
∵点A（﹣2，﹣2），
∴BH＝CE＝2，BF＝2，
∴CF＝4，
∴点C的坐标为（2，4），
故选：A．

【点评】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
7．（3分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，最终得分高者录用，测试成绩如表（单位：分）．公司的管理层经过讨论认为该职位对能力方面的要求最为重要，给出四项得分的比例为1：1：2：1，则甲、乙两人最终的得分分别为（　　）
测试成绩项
学历
经验
能力
态度
甲
8
6
8
7
乙
7
9
9
5
A．7.25分，7.5分 B．7.4分，7.5分
C．7.25分，7.8分 D．7.4分，7.8分
【分析】运用加权平均数公式计算即可．
【解答】解：甲最终的得分为：＝7.4（分），
乙最终的得分为：＝7.8（分），
故选：D．
【点评】本题考查了加权平均数的计算与运用，熟练掌握平均数的计算是解题的关键．
8．（3分）课堂上老师在黑板上给出了如下内容：如图，一次函数y1＝ax+b（a，b是常数）的图象与y轴、x轴分别交于点A（0，3）、点B，正比例函数的图象与一次函数y1的图象交于点P（m，1）．小明说：“关于x的不等式的解集为x＞3．”小红说：“a的值为”，则他们两人的说法是（　　）

A．小明对、小红错 B．小明错、小红对
C．都错 D．都对
【分析】将点P的坐标代入正比例函数y2＝x求得m的值；然后将点A、P的坐标代入一次函数解析式，求得a的值，根据点P的坐标，利用图象即可得到关于x的不等式的解集．
【解答】解：将点P（m，1）代入y2＝x，得m＝1．
解得m＝3．
所以P（3，1）．
由图象可知，关于x的不等式的解集为x＞3，
把A（0，3），P（3，1）分别代入y1＝ax+b（a，b是常数），得．
解得a＝﹣．
故他们两人的说法都是正确的．
故选：D．

【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，使问题更加直观化．
9．（3分）如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠CDA＝80°时，∠CDF＝（　　）

A．15° B．30° C．40° D．50°
【分析】连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF＝∠CDF，根据已知可得出∠CBF的度数，从而得∠CDF的度数．
【解答】解：如图，连接BF，

∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，∠CDA+∠BAD＝180°，∠CDA＝∠ABC，
∵∠CDA＝80°，
∴∠BAD＝100°，∠ABC＝80°，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CDF，
∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°，
∴AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAF＝50°，
∴∠CBF＝80°﹣50°＝30°，
∴∠CDF＝30°．
故选：B．

【点评】本题考查全等三角形的判定，菱形的性质，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，利用SAS判定△BCF≌△DCF是关键．
10．（3分）在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P，从A出发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，△PAC的面积为y．请结合右侧函数图象分析当x＝2022时，y的值为（　　）


A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】观察函数图象可知，点P在正方形ABCD的边上每运动一周，则x的值增加16，而2022÷16＝126（周）……6（单位长度），则当x＝2022时，点P位于BC边的中点处，于是可以求得△PAC的面积为4，即y＝4，得到问题的答案．
【解答】解：∵点P在正方形ABCD的边上每运动一周，则x的值增加16，
∴2022÷16＝126（周）……6（单位长度），
∴当x＝2022时，点P位于BC边的中点处，
∴y＝×2×4＝4，
故选：B．
【点评】此题重点考查正方形的性质、三角形的面积公式、一次函数的图象、动点问题的求解等知识与方法，通过计算点P在正方形ABCD的边上运动的周数及后面的余数来确定当x＝2022时点P所在的位置是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝　3　．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝1+2
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12．（3分）若一次函数y＝﹣x+b（b为常数）的图象经过第一、二、四象限，则b的值可以为　1　．（写出一个即可）．
【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可．
【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
k＝﹣1，
∴b＞0，
故答案可以是：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当b＜0时，函数图象与y轴相交于负半轴．
13．（3分）某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数和方差等数个统计量中，该鞋厂最关注的是 　众数　．
【分析】鞋厂最感兴趣的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的即这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现最多的数，故鞋厂最感兴趣的销售量最多的鞋号即这组数据的众数．
故答案为：众数．
【点评】本题主要考查了学生对统计量的意义的理解与运用，要求学生对对统计量进行合理的选择和恰当的运用，比较简单．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为　2　．

【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S△OAC＝S△OBD＝×2＝1，再相加即可．
【解答】解：∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，
∴S△OAC＝S△OBD＝×2＝1，
∴S△OAC+S△OBD＝1+1＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于|k|．
15．（3分）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图1，AD＞CD）沿过点A的直线折叠，使得点B落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图2）；再沿过点D的直线折叠，使得点C落在AD边上的点N处，点E落在AE上的点M处，折痕为DG（如图3）．若第二次折叠后，点M正好在∠NDG的平分线上，连接DM，且CD＝1，则AD＝　　．

【分析】由第一次折叠可知∠BAE＝∠DAE＝45°，连接DE，由第二次折叠可知∠DGE＝∠DGA＝90°，DE为∠CDG的平分线，由角平分线的性质可得GE＝CE，于是可通过HL证明Rt△DGE≌Rt△DCE得到DG＝CD＝1，易得△ADG为等腰直角三角形，则AD＝．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在AD边上的点F处，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
如图，连接DE，

∵沿过点D的直线折叠，使得点C落在AD边上的点N处，点E落在AE上的点M处，折痕为DG，
∴∠DGE＝∠DGA＝90°，
又∵点M正好在∠NDG的平分线上，
∴DE为∠CDG的平分线，
∵EG⊥DG，EC⊥CD，
∴GE＝CE，
在Rt△DGE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△DGE≌Rt△DCE（HL），
∴DG＝CD＝1，
∵∠DAE＝45°，∠DGA＝90°，
∴△ADG为等腰直角三角形，
∴AD＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定与性质是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：﹣•，其中x＝3．
【分析】先通分，再计算，最后将x＝3代入即可．
【解答】解：原式＝•
＝
＝，
当x＝3时，原式＝＝2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，是基础知识要熟练掌握．
17．（9分）某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：cm）如表：

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲
169
165
168
169
172
173
169
167
乙
161
174
172
162
163
172
172
176
两名同学的8次跳高成绩数据分析如表：根据图表信息回答下列问题：

平均数
中位数
众数
方差
甲
a
b
c
5.75
乙
169
172
172
31.25
（1）a＝　169　，b＝　169　，c＝　169　；
（2）你认为应该选择哪位同学参赛？并说明理由．
【分析】（1）利用平均数、众数及中位数的定义分别求得a、b、c的值即可；
（2）根据平均数、方差的意义比较即可．
【解答】解：（1）将甲学生成绩重新排列为165、167、168、169、169、169、172、173，
所以甲成绩的平均数a＝×（165+167+168+169+169+169+172+173）＝169，
中位数b＝＝169，众数c＝169，
故答案为：169，169，169；
（2）应选择甲参赛，理由如下：
两人平均数相同，但是甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩更稳定，故选择甲参赛（答案不唯一）．
【点评】本题考查平均数和方差的意义．平均数表示数据的平均水平；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
18．（9分）已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AO，CO上，且AE＝CF，求证：∠EBO＝∠FDO．

【分析】连接DE、BF，由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，由已知条件得出OE＝OF，证明四边形BEDF是平行四边形，得出对边平行BE∥DF，即可得出结论．
【解答】证明：连接DE、BF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴∠EBO＝∠FDO．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形BEDF是平行四边形是解决问题的关键．
19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若OA＝5，OD＝4，求四边形AECD的面积．

【分析】（1）先证四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED，再证∠AED＝∠ADE，则AD＝AE，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质可得AC＝2AO＝10，DE＝2DO＝8，AC⊥DE，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴AC＝2AO＝10，DE＝2DO＝8，AC⊥DE，
∴四边形AECD的面积＝×AC•BD＝40．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B（8，1）两点，且点A在直线y＝x上．
（1）求反比例函数的表达式及点A的坐标．
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AB的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）线段OB与（2）中所作的垂直平分线相交于点C，连接AC．求△AOC的周长．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用尺规作出线段AC的垂直平分线m即可；
（3）由△AOC的周长＝OA+OC+AC＝OA+OC+BC＝OA+OB，即可求解．
【解答】解：（1）将点B代入反比例函数表达式得：1＝，
解得：k＝8，
则反比例函数表达式为：y＝，
∵点A在直线y＝x上，则设点A（m，m），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：m2＝8，
解得m＝2（负值已舍去），
故点A（2，2）；

（2）如图，直线m即为所求．


（3）∵m是AB的中垂线，则AC＝BC，
∴△AOC的周长＝OA+OC+AC＝OA+OC+BC＝OA+OB＝+＝4．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，反比例函数的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：

甲水笔
乙水笔
每支进价（元）
a
a+5
每支利润（元）
2
3
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
（1）求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
（2）若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
【分析】（1）根据花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等，可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元；
（2）根据题意，可以得到利润与购进甲种水笔数量的函数关系，然后根据要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，可以得到购进A种水笔数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
【解答】解：（1）由题意可得：＝，
解得a＝5，
经检验，a＝5是原分式方程的解，
∴a+5＝10，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；
（2）设利润为w元，甲种水笔购进x支，
w＝2x+3×＝0.5x+600，
∵k＝0.5＞0，
∴w随x的增大而增大，
∵购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，
∴x≤×4，
解得，x≤266，
∵x为整数，
∴当x＝266时，w取得最大值，最大值733，
此时，＝67，
答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
22．（10分）如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（6，8），△ABD与△EBD关于直线BF对称，且点E在对角线OB上．
（1）求线段OB的长；
（2）求点D的坐标及直线BF的函数表达式．

【分析】（1）根据点B的坐标，利用勾股定理直接计算出OB长；
（2）设DE＝x，则AD＝x，OD＝8﹣x，OE＝4，利用勾股定理可求出OD长，点的坐标可求，根据B、D坐标，待定系数法可求直线BF解析式．
【解答】解：（1）∵点B的坐标是（6，8），
∴OC＝6，BC＝8，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
OB＝＝＝10，
（2）∵△ABD与△EBD关于直线BF对称，
∴∠DEO＝∠DEB＝∠BAO＝90°，AD＝DE，AB＝BE＝6，
在Rt△DEO中，设DE＝x，则AD＝x，DO＝6﹣x，OE＝OB﹣BE＝4，
由勾股定理得DE2+OE2＝OD2得，x2+42＝（6﹣x）2，
解得x＝，
∴OD＝6﹣＝，
∴D（0，），
设BF的解析式为y＝kx+，
∵B（6，8）在直线BF上，
∴8＝6k+，k＝，
∴BF的解析式为y＝x+．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，根据条件灵活设解析式便于简化计算．
23．（11分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．
请结合图①（设EC、DF交于点G），写出完整的证明过程．

【结论应用】
（1）如图②，在正方形ABCD中，CE⊥DF．连结DE、EF，若正方形的边长为3，四边形CDEF的面积为8，则CF的长为 　　．
（2）如图③，在正方形ABCD中，CE⊥DF．
①四边形BEGF与△CDG的面积关系为：S四边形BEGF　＝　S△CDG．（填“＞”，“＜”或“＝”）
②若正方形的边长为5，且图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3：5，则△CDG的周长为 　3+5　．

【分析】【教材呈现】根据四边形ABCD是正方形，证明△BCE≌△CDF（ASA），即得CE＝DF；
【结论应用】（1）由【教材呈现】知，设CE＝DF＝x，根据四边形CDEF的面积为8，得x2＝8，解得DF＝4，即得CF＝＝；
（2）①由△BCE≌△CDF，得S△BCE＝S△CDF，即可得S四边形BEGF＝S△CDG；
②由正方形的边长为5，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3：5，可得S四边形BEGF+S△CDG＝10，即DG•CG＝5，DG•CG＝10，在Rt△CDG中，DG2+CG2＝CD2＝25，可得（DG+CG）2＝25+2DG•CG＝45，从而DG+CG＝3，故△CDG的周长为3+5．
【解答】【教材呈现】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠EBC＝90°＝∠FCD，
∵CE⊥DF，
∴∠CDF＝90°﹣∠DCE＝∠BCE，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
∴CE＝DF；
【结论应用】
解：（1）由【教材呈现】知，当CE⊥DF时，CE＝DF，
设CE＝DF＝x，
∵四边形CDEF的面积为8，
∴CE•DG+CE•FG＝8，
∴CE•（DG+FG）＝8，
∴CE•DF＝8，即x2＝8，
∴x＝4（负值已舍去），
∴DF＝4，
∵正方形的边长为3，
∴CF＝＝＝；
故答案为：；
（2）①由【教材呈现】知，当CE⊥DF时，△BCE≌△CDF，
∴S△BCE＝S△CDF，
∴S△BCE﹣S△CFG＝S△CDF﹣S△CFG，
即S四边形BEGF＝S△CDG，
故答案为：＝；
②∵正方形的边长为5，
∴正方形的面积为25，
∵图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3：5，
∴图中阴影部分的面积为25×＝15，
∴S四边形BEGF+S△CDG＝25﹣15＝10，
由①知S四边形BEGF＝S△CDG，
∴S△CDG＝5，
∴DG•CG＝5，
∴DG•CG＝10，
在Rt△CDG中，DG2+CG2＝CD2＝25，
∴（DG+CG）2＝25+2DG•CG＝25+2×10＝45，
∴DG+CG＝3（负值已舍去），
∴DG+CG+CD＝3+5，即△CDG的周长为3+5，
故答案为：3+5．
【点评】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，三角形和四边形的面积，勾股定理及应用，完全平方公式等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BCE≌△CDF．