山东省济南市莱芜区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（五四学制）（含答案）

这是一份山东省济南市莱芜区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（五四学制）（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市莱芜区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题。（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列事件中是随机事件的是（　　）
A．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
B．明天是晴天
C．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
D．14人中至少有2人是同月出生
2．（4分）下列命题中是真命题的是（　　）
A．有理数与数轴上的点一一对应
B．若|a|＞|b|，则a＞b
C．相等的角是对顶角
D．m是实数，点P（m2+1，3）一定在第一象限
3．（4分）如图，AB∥ED，点C在AB上，CE平分∠ACD，若∠BCD＝80°，则∠D的度数为（　　）

A．50° B．80° C．79° D．90°
4．（4分）已知实数a，b满足方程组，则a+b的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（4分）在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD的延长线且AD＝DE，则△ABD≌△ECD的理由是（　　）

A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
6．（4分）若a﹣1＜b﹣1，则下列各不等式中成立的是（　　）
A．a+c＞b+c B．﹣2a＜﹣2b C．ac＜bc D．a+1＜b+3
7．（4分）已知，如图2是由4个如图1所示的长方形围成的大正方已知大正方形的面积是36cm2，中间围成的阴影部分面积是9cm2，则图1中长方形的长是（　　）

A．1.5cm B．3cm C．4.5cm D．9cm
8．（4分）若不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，PQ⊥AB，垂足为交BC于点P．按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC、AB于点D，E；
②分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧两弧相交于点F；
③作射线AF，AF与PQ的夹角为α，若α＝54°，则∠B＝​（　　）

A．14° B．16°6 C．18° D．20
10．（4分）如图，等腰△ABC的底边BC＝4cm，面积为8cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为多少？​（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题。（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请直接填写答案）
11．（4分）一个不透明的布袋里放有红色、黄色、白色三种球，它们除颜色外其余都相同，红球、黄球、白球的个数之比是3：2：1，则从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是 　 　．
12．（4分）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（m，5），则方程组的解为 　 　．
​

13．（4分）已知等腰三角形的其中二边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为　 　．
14．（4分）将一副三角板如图所示叠放在一起，若AB＝4，则阴影部分的面积是 　 　．
​

15．（4分）某校举行足球联赛，共有8场比赛，每场比赛都要分出胜负每队胜一场得3分，负一场得0分，七年级一班要想比赛得分不低于21分，则该班至少胜 　 　场．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC点F，过点O作OD⊥AC于点D，连接AO，下列四个结论：
①△BEO和△CFO都是等腰三角形；
②点O到△ABC各边的距离相等；
③若∠BAC＝α，则；
④S△ABC．
其中结论正确的有 　 　．

三、解答题。（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（6分）解方程组：．
18．（6分）解不等式组：，并写出该不等式组所有的整数解．
19．（6分）桌子上放有两张卡片，正面分别写有数字3和4；小明手里有五张卡片，正面分别写有数字1，，，3，5，将卡片正面向下，小亮随机从小明手里抽取一张，与桌子上的卡片放在一起，以卡片上的数字分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成直角三角形的概率．
20．（8分）阅读下面材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{3，﹣2}＝﹣2，min{4，4）＝4．
根据上面的材料，回答下列问题：
（1）min（﹣1，2）＝　 　；
（2）当，求x的取值范围．
21．（8分）如图，在△ABC中，AD∥EF，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥DG；
（2）若DG平分∠ADC，∠EFC＝80°，求∠2的度数．
​

22．（8分）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个甲品牌的足球和3个乙品牌的足球共需850元；购买3个甲品牌的足球和2个乙品牌的足球共需900元．
（1）求甲品牌的足球和乙品牌的足球的单价；
（2）需要购买甲品牌的足球和乙品牌的足球一共80个，且甲品牌的个数不少于乙品牌的2倍，要使此次购买足球的费用最少，甲品牌的足球和乙品牌的足球各需购买多少个？最少费用为多少．
23．（10分）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CD⊥AD于点D，BE＝FD．
​（1）求证：BC＝FC；
（2）若AC＝5，AD＝4，求四边形ABCF的面积．

24．（10分）第十六届济南•莱芜樱桃文化旅游节于2023年5月26日至6月21日在济南市莱芜区茶业口镇举办，旅游节期间，某樱桃经销商对樱桃礼盒进行优惠促销，对购买20个礼盒以上的客户有两种销售方案：
方案一：每个礼盒50元，由经销商免运费送货：
方案二：每个礼盒45元，客户需另外支付运费150元．
某公司计划购买x（＞20）个樱桃礼盒，请回答下列问题：
（1）按方案一购买该礼盒的费用为 　 　元，按方案二购买该礼盒的费用为 　 　元；（用含x的代数式表示）
（2）如果你是该经销商的推销员，请你帮助客户选择合适的购买方案．
25．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．（友情提示：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等）
（1）如图1，当DE∥AC时，求证：AE⊥BC；
（2）如图2，若∠B＝40°，∠BAD＝x（0°＜x＜60°），是否存在这样的x的值，使得△DEF是以EF为腰的等腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
​
26．（12分）在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B、C不重合，连接AD，以AD为边，向外作等边三角形△ADF，连接CF．
（1）若AB＝AC，∠BAC＝60°；
①如图1，当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和此时CF与AB关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
（2）如图3，若AB≠AC，60°＜∠BAC＜90°，点D在线段BC上，且∠FCD＝120°时，求∠BCA的度数．
​

2022-2023学年山东省济南市莱芜区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】根据随机事件的概念直接判断即可．
【解答】解：A．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，不符合题意；
B．明天是晴天，是随机事件，符合题意；
C．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，是不可能事件，不符合题意；
D．14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
2．【分析】根据绝对值的概念、数轴、对顶角的概念、点的坐标判断即可．
【解答】解：A、实数与数轴上的点一一对应，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、若|a|＞|b|，则a不一定大于b，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、m是实数，点P（m2+1，3）一定在第一象限，是真命题，符合题意；
故选：D．
3．【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠D＝∠BCD，
∵∠BCD＝80°，
∴∠D＝80°，
故选：B．
4．【分析】将方程组中的两个方程左右两边分别相加发现：a和b系数均为5，两边同时除以5即可得a+b的值．
【解答】解：，
①+②得：5a+5b＝15，
两边同时除以5得：a+b＝3．
故选：C．
5．【分析】由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，又AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，由SAS判定△ABD≌△ECD，即可得到答案．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴由SAS判定△ABD≌△ECD．
故选：A．
6．【分析】根据不等式的基本性质逐步进行判断即可．
【解答】解：∵a﹣1＜b﹣1，
∴a＜b，
A．不等式两边同时加上一个相同的数，不等号的方向不变，故不符合题意；
B．不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向要改变，故不符合题意；
C．不确定c的，正负性，故不符合题意；
D．∵a＜b，
∴a+1＜b+1，
∴a+1＜b+1+2，
∴a+1＜b+3，故符合题意．
故选：D．
7．【分析】设图1中长方形的长是xcm，宽为ycm，根据已知可得大正方形的边长为6cm，中间围成的阴影部分的边长为3cm，所以，解方程组即可得出答案．
【解答】解：设图1中长方形的长是xcm，宽为ycm，
∵大正方形的面积是36cm2，中间围成的阴影部分面积是9m2，
∴大正方形的边长为6cm，中间围成的阴影部分的边长为3cm，
∴，
解得，
∴图1中长方形的长是4.5cm．
故选：C．
8．【分析】根据不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵不等式组，
由①得：x＞2，
由②得：x＞m，
不等式组的解集为x＞2，
∴m≤2．
故选：D．
9．【分析】根据垂直的定义得到∠AQP＝90°，根据对顶角的性质得到∠1＝∠α＝54°，求得∠QAF＝90°﹣54°＝36°，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠BAF＝72°，于是得到结论．
【解答】解：如图，∵PQ⊥AB，
∴∠AQP＝90°，
∵∠1＝∠α＝54°，
∴∠QAF＝90°﹣54°＝36°，
由作图知，AF平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAF＝72°，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣72°＝18°，
故选：C．

10．【分析】连接AD，AM，AD交EF于点M′，连接BM′，此时BM′+DM′值最小，即△BDM周长最小，最小值为AD+BD．
【解答】解：连接AD，AM，AD交EF于点M′，连接BM′，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴BM+MD＝MA+MD≥AD，
∴当A、M、D在同一直线上时，
BM+DM值最小，即△BDM周长最小，最小值为AD+BD；
∵D为BC的中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∵，
∴AD＝＝4，
∴△BDM周长＝AD+BD＝2+4＝6（cm），
故选：B．

二、填空题。（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请直接填写答案）
11．【分析】用黄球所占的份数除以所有份数的和即可求得是黑球的概率．
【解答】解：∵红球、黄球、黑球的个数之比为3：2：1，
∴从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是＝，
故答案为：．
12．【分析】由两条直线的交点坐标（m，4），先求出m，再求出方程组的解即可．
【解答】解：∵y＝2x+1经过P（m，5），
∴5＝2m+1，
∴m＝2，
∴直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（2，5），
∴，
故答案为：．
13．【分析】分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，②当三角形的三边是4，9，9时，看看是否符合三角形的三边关系定理，符合时求出即可．
【解答】解：分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，
∵4+4＜9，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
②当三角形的三边是4，9，9时，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9＝22，
故答案为：22．
14．【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4，
∴AC＝2
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝2．
故S△ACF＝×2×2＝2．
故答案为：2．

15．【分析】设这个班要胜x场，则负（8﹣x）场，根据题意列出不等式求解，考虑场次为整数即可得出．
【解答】解：设这个班要胜x场，则负（8﹣x）场，
由题意得，3x+0（8﹣x）≥21，
解得：x≥7，
∴这个班至少要胜7场．
故答案为：7．
16．【分析】先利用角平分线的定义得到∠EBO＝∠CBO，∠FCO＝∠BCO，利用平行线的性质得到∠CBO＝∠EOB，∠BCO＝∠FOC，则可证明∠EBO＝∠EOB，∠FCO＝∠FOC，于是可对①进行判断；过O点作OH⊥AB于H点，OG⊥BC于G点，如图，根据角平分线的性质得到OH＝OG，OD＝OG，则可对②进行判断；根据角平分线的定义得到∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，再利用三角形内角和定理得到∠BOC＝90°+∠BAC，则可对③进行判断；然后证明Rt△BOG≌Rt△BOH得到S△BOG＝S△BOH，同理可得S△COG＝S△COD，S△AOD＝S△AOH，所以S△BOG+S△COG+S△AOD＝S△ABC，从而可对④进行判断．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EBO＝∠CBO，∠FCO＝∠BCO，
∵EF∥BC，
∴∠CBO＝∠EOB，∠BCO＝∠FOC，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FCO＝∠FOC，
∴EB＝EO，FO＝FC，
∴△BEO和△CFO都是等腰三角形；所以①正确；
过O点作OH⊥AB于H点，OG⊥BC于G点，如图，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，OH⊥AB，OG⊥BC，OD⊥AC，
∴OH＝OG，OD＝OG，
∴OH＝OG＝OD，所以②正确；
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC＝90°+α，所以③正确；
在Rt△BOG和Rt△BOH中，
，
∴Rt△BOG≌Rt△BOH（HL），
∴S△BOG＝S△BOH，
同理可得S△COG＝S△COD，S△AOD＝S△AOH，
∴S△BOG+S△COG+S△AOD＝S△ABC，
即S△BOC+S△AOD＝S△ABC，所以④正确．
故答案为：①②③④．

三、解答题。（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
①﹣②得：4y＝8，解得：y＝2，
把y＝2代入①得：2x+6＝12，解得：x＝3，
∴原方程组的解为：．
18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出整数解．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥0，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为0≤x＜3，
在此范围内的整数解有：0、1、2．
19．【分析】根据勾股定理求出当与桌面上的3和4能构成直角三角形的第三条边，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：若桌面上的3和4均是直角边，则斜边为＝5，若桌面上的4为斜边，则另一条直角边为＝，
从写有数字1，，，3，5卡片中，随机抽取1张，共有5种等可能的结果，其中与3和4能构成直角三角形的有2种，
所以从写有数字1，，，3，5卡片中，随机抽取1张，与桌面上的3和4能构成直角三角形的概率为．
20．【分析】（1）比较大小，即可得出答案；
（2）根据题意判断出，解不等式即可判断x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得min（﹣1，2）＝﹣1
故答案为：﹣1；
（2）∵min＝，
∴，
解得：x≤5．
21．【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥EF，
∴∠DAB＝∠2＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠DAB，
∴AB∥DG；
（2）解：∵AD∥EF，
∴∠EFC＝∠ADC＝80°，
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠1＝80°，
∴∠1＝40°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝140°．
22．【分析】（1）分别是设甲足球的单价x元和乙足球的单价y元，根据题目中的等量关系：2个甲足球和3个乙足球共850元；3个甲足球和两个乙足球共900元列方程组求得单价；
（2）设买甲足球m个，则买乙足球（80﹣m）个，根据甲品牌的个数不少于乙品牌的二倍，列出不等式，确定自变量m的取值范围，然后根据题目中的数量关系找到总费用W和m之间的函数关系式，再根据一次函数的性质，确定费用最少时m的值即可．
【解答】解：（1）设甲品牌的足球单价为x元/个，乙品牌的足球的单价为y元/个，
根据题意得：
解得 ，
答：甲品牌的足球和乙品牌的足球的单价分别为200元和150元；
（2）设购买甲品牌的足球m个，购买的总费用为W元，
则购买乙品牌的足球（80﹣m）个，
根据题意，得：m≥2（80﹣m），
解得：，
W＝200m+150（80﹣m）＝50m+12000，
∵50＞0，
∴W随m的增大而增大，
∵m为整数，
∴当m＝54时，
W取最小，最小值为50×54+12000＝14700，
此时，80﹣m＝26，
故购买甲品牌的足球54个，乙品牌的足球26个，总费用最少，最少费用为14700元．
23．【分析】（1）利用角平分线的性质得到CD＝CE，然后证明Rt△CBE≌Rt△CFD，从而得到BE＝FD；
（2）先利用勾股定理计算出CD＝3，再证明Rt△ACD≌Rt△ACE得到S△ACD＝S△ACE，则四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD，然后利用三角形面积公式计算．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
∵EB＝DF，CE＝CD，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（SAS），
∴BC＝FC；
（2）解：在Rt△ACD中，∵AC＝5，AD＝4，
∴CD＝＝3，
∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD．
∴S△CBE＝S△CFD；
∴S四边形ABCF＝S四边形ABCF＝2S△ACD＝2××4×3＝12．
24．【分析】（1）直接利用两种方案的收费标准得出总费用；
（2）根据（1）中总费用得出不等关系求出答案；
【解答】（1）由题意可知：按方案一购买该礼盒的费用为50x元，按方案二购买该礼盒的费用为（45x+150）元；
故答案为：50x，（45x+150）；
（2）设y1＝50x，y2＝45x+150，
令y1＝y2，50x＝45x+150，解得x＝30；
令y1＞y2，50x＜45x+150，解得x＜30；
令 y1＞y2，50x＞45x+150，解得x＞30：
故当20＜x＜30时，选择方案一：当x＝30时，两个方案都行；当x＞30时，选择方案二．
25．【分析】（1）根据折叠的性质得到∠B＝∠E，根据平行线的性质定理证明；
（2）根据∠B＝40°，求得∠ADB；然后分∠EDF＝∠DFE、∠DFE＝∠E、∠EDF＝∠E三种情况，列方程解答即可．
【解答】（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠CAF＝∠E，
∵∠B＝∠E，
∴∠B＝∠CAF，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAF+∠BAF＝90°，∠B+∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴AE⊥BC；
（2）解：存在这样的x的值，使得△DEF是以EF为腰的等腰三角形．
∵∠BAD＝x，∠B＝40°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°﹣x＝140°﹣x，
∴∠ADF＝∠B+∠BAD＝40°+x，由翻折可知：∠ADE＝∠ADB，
∴∠FDE＝∠ADE﹣∠ADF＝100°﹣2x，∠DFE＝∠AFC＝40°+2x，
①当∠EDF＝∠DFE时，100°﹣2x＝40°+2x，解得：x＝15°，
②当∠EDF＝∠E＝40° 时，100°﹣2x＝40°，解得，x＝30°，
综上所述，当 x＝15°或30°时，△DEF是以EF为腰的等腰三角形．
26．【分析】（1）①由△ADE和△ABC是等边三角形，得出∠CAF＝∠BAD，再证△ACF≌△ABD，然后再结合平行线的判定，可得出结论；
②与①的证法类似，可先由∠CAB+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，证∠CAF＝∠BAD，再证△ACF≌△ABD，然后再结合平行线的判定，可得出结论；
（2）过点A作∠CAE＝60°，交BC于点E，证△ACF≌△AED，再证△ACE 是等边三角形，从而得出结论．
【解答】解：（1）①CF＝BD，CF∥AB；
理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠BAD+∠CAD＝60°，
又∵△ADE是等边三角形，
∴∠CAF+∠CAD＝60°，
∴∠CAF＝∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACF＝∠BAC，
∴CF∥AB；

②CF＝BD，CF∥AB仍然成立，理由如下：
∵△ADE和△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠DAF＝60°，
∴∠CAB+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，
即∠CAF＝∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACF＝∠BAC，
∴CF∥AB；

（2）过点A作∠CAE＝60°，交BC于点E，
∴∠EAD+∠CAD＝60°，∠ECA+∠CEA＝180°﹣60°＝120°，
∵△ADF是等边三角形，
∴AF＝AD，∠FAD＝60°
∴∠CAF+∠CAD＝60°，
∵∠EAD+∠CAD＝60°
∴∠CAF＝∠EAD，
∵∠FCD＝120°，
∴∠FCA+∠ACE＝120°，
∠ECA+∠CEA＝120°
∴∠ACF＝∠CEA，
在△ACF 和△AED 中，
，
∴△ACF≌△AED（AAS），
∴AC＝AE，
∠CAE＝60°，
∴△ACE 是等边三角形，
∴∠BCA＝60°．
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