吉林省白山市2023届高三一模数学试卷（含答案）

这是一份吉林省白山市2023届高三一模数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

吉林省白山市2023届高三一模数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知集合，，若，则( )
A.-1 B.0 C.2 D.4
2、已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，则( )
A. B.1 C.2 D.4
3、某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是( )
A.82.5 B.85 C.90 D.92.5
4、“”是“”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5、已知圆与直线，P，Q，分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6、若P是一个质数，则像这样的正整数被称为梅森数，从50以内的所有质数中任取两个数，则这两个数都为梅森数的概率为( )
A. B. C. D.
7、已知函数，是R上的单调函数，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8、若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知复数，，若是纯虚数，则( )
A. B.
C.的实部是-3 D.似实部与虚部互为相反数
10、若正数a，b满足，则( )
A. B.
C. D.
11、2022年9月钱塘江多处发现罕见潮景“鱼鱗潮”.“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数(，)的图象，而破碎的涌潮的图象近似(是函数的导函数)的图象.已知当时，两湖有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为-4，则( )
A. B.
C.是偶函数 D.在区间上单调
12、在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，在堑堵中，P是棱的中点，，若平面过点P，且与平行，则( )

A.异面直线与CP所成角的余弦值为
B.三校雉的体积是该“堑堵”体积的
C.当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于
D.当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于
三、填空题
13、若，则______.
14、已知向量a，b的夹角为，且，则的最小值是______.
15、已知椭圆的左、右焦点分别是，.过作圆的切线与椭圆C.于点P，切点为M.若，则椭圆C的离心率为______.
16、如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=BC=2，，将沿边AC翻折，PD翻折到P点，且，则三棱锥外接球的表面积是______.

四、解答题
17、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的大小;
（2）若，且，求的面积.
18、已知数列的前n项和为，，，且，，成等差数列.
（1）求的通项公式;
（2）若，求数列的前n项和.
19、某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格率分别为，，.三道工序都合格的工艺品为特等品;恰有两道工序合格的工艺品为一等品;恰有一道工序合格的工艺品为二等品;其余为废品.
（1）求加工一件工艺品不是废品的概率;
（2）若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望.
20、如图，在四棱雉中，四边形ABCD是正方形，是等边三角形，平面平面ABCD，E，F分别是棱PC，AB的中点.

（1）证明：平面PDF.
（2）求平面PBC与平面PDF夹角的余弦值.
21、双曲线的离心率为，右焦点F到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的标准方程
（2）过直线上任意一点P作双曲线C的两条切线，交渐近线于A，B两点，证明：以AB为直径的圆恒过右焦点F.
22、已知函数.
（1）当时，证明，.
（2）若有两个点，，且，求的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：由题意可得.因为，所以.则.
2、答案：C
解析：由题意可得.解得.
3、答案：D
解析：因为，所以这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数量.
4、答案：B
解析：由，得，由，得，则“”是“”的充分不必要条件.
5、答案：A
解析：由题意可知圆C的圆心为，半径，则，.因为点Q在直线l上，所以，则.
6、答案：A
解析：依题意得50以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，共15个数.50以内的梅森数有，，，共3个数，所以从50以内的质数中任取两个数，则这两个数都梅森数的概率，故选A.
7、答案：B
解析：由题意可得或得或.
8、答案：D
解析：不等式恒成立等价于不等式恒图象恒在函数的图象上方.结合函数图象（图略）可知当两个函数图象相切时，取得成立，即函数的取小值.设这两个函数图像的切点为，则得，，则a的取值范围是.
9、答案：BCD
解析：因为，所以以，则正确因为，所以，所以的实部是一3，则C正确因为.所以的实部是3.虚部是-3.所以的实部与虚部互为相反数，则D正确.
10、答案：BD
解析：因为，.所以，所以，则，当且仅当，时，等号成立，故A错误.因为，后以，则，同理可得.因为，所以，当且仅当时，等号成立，则B正确.因为，所以，所以，所以，则C错误.因为，当且仅当，时，等号成立，所以D正确.
11、答案：BC
解析：由题意得，则，即，故，因为，，所以，所以，，A错误；
因为破碎的涌潮的波谷为-4，所以的最小值为-4，即，所以，所以，则，B正确；
因为，所以，所以，则C正确；
由，得，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不单调，D错误.
12、答案：ABC
解析：
13、答案：5
解析：令，得，则.
14、答案：
解析：.因为，所以，所以，则的最小值是.
15、答案：
解析：如图，取线段的中点N，则.因为，所以.因为与圆相切.所以，则，，故.因为N.O分别是，的中点.所以.由椭圆的定义可得.所以.整理得.解得.

16、答案：
解析：分别取AB，AC的中点，F，连接，PF，BF.由题意知为直角三角形AB斜边的中点.因为，所以三棱锥外接球的球心O在平面ABC的下方，设三棱锥外接球的球心为O.连接.作，垂足为H.由题中数据可得，，.设三棱锥外接球的半径为R，则，解得，故三棱锥外接球的表面积是.

17、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，即
所以.即.
因为，所以.
（2）因为，即.
因为，所以，①
因为，所以，②
联立①②可得，解得.
故的面积为.
18、答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）解法一：因为①，所以当时，②
①-②得，即，
又因为，且，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，，
由题知，所以，
整理得，
解得，所以.
解法二：因为，，
所以，
由题知，所以，
整理得，解得，
所以①
当时，②
①-②得，即，.
又，，所以数列是以1为首项，4为公比的等比数列，
所以.
（2）依题知即，
所以，
则，①
，②
①-②得，
所以.
19、答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）记“加工一件工艺品为废品”为事件A，
则
故所求的概率.
（2）由题意可知随机变量X的所有可能取值为-100，-20，100，300
，，，
则随机变量X的分布列为，
X
-100
-20
100
300
P




.
20、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明，取棱PD的中点G.连接EG.GF.
因为E，G分别是PC，PD的中点.所以，.
因为F是AB的中点.所以，，
所以，，则四边形BEX;F是平行四边形，故.
因为平面PDF.所以平面PDF.
（2）因为F是AB的中点.且.所以.
因为平面平面ABCD.且平面平面，所以PF平面ABCD.
故以F为原点.以FA.FP的方向分别为y，z釉的正方向，过点F作平行
设，则，，，，，
从而，，，.
设平面PBC的法向量为，
则令，得.
设平而PDF的法向量为，
则令，得..
设平面PBC与平面PDF的夹角为，则

21、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意可得，解得.故双曲线C的标准方程是.
（2）证明：设，由题意可知过点P的切线斜率存在，设此切线方程为，
联立整理得.
由，得.
设直线PA，PB的斜率分别为，，
则，.
联立解得，，则.
同理可得.
因为，所以，，
则.
因为，
所以，即以AB为直径的圆恒过右焦点F.
22、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：当时，，则.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故.
（2）由题意得，
则，
从而，，，
故，
因为，所以，即，
设，则.
设，则.
设，则，
由（1）可知在R上恒成立，
从而在[上单调递增，
故，即在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，
即，即的取值范围为.