人教A版高中数学必修第二册章末素养提升8课件

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第八章　立体几何初步章末素养提升| 体 系 构 建 | | 核 心 归 纳 | 2．空间中线线关系空间中两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种情况．两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况．(1)证明线线平行的方法①线线平行的定义；②基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；③线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b；⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b．(2)证明线线垂直的方法①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角(在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线)；②线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b．3．空间中线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、线面相交、平行三种．(1)证明直线与平面平行的方法①线面平行的定义；②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β．4．空间中面面关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种．(1)证明面面平行的方法①面面平行的定义；②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β；③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β⇒α∥β；④基本事实4的推广：α∥γ，β∥γ⇒α∥β．(2)证明面面垂直的方法①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β．| 思 想 方 法 | 【思想方法解读】本章中，转化思想体现得淋漓尽致，比如求体积、距离有时要用到顶点的转化，球的切接问题要将空间几何图形转化为平面几何图形，位置关系的证明、空间角的求解转化到三角形中求解，等等．化归与转化思想【答案】C　等体积转换法(1)用等体积法求空间几何体的体积：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换．(2)用等体积法求点到面的距离：通常在三棱锥中，转换底面与顶点，利用等体积求距离．【答案】 B★与球有关的组合体中高维与低维的转化　　　　已知三棱锥A－BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A－BD－C为直二面角，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为 (　　)【答案】D　空间与平面转换与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解决与球有关的组合体问题，不仅用到高维、也要用到低维．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．【解析】如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE．∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．★平行、垂直关系的转化 如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE ⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．(1)求证：AE⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．(1)证明：由已知得DE⊥AE，AE⊥EC．因为DE∩EC＝E，所以AE⊥平面CDE．(2)证明：如图，取AB的中点H，连接GH，FH，所以GH∥BD，FH∥BC．因为GH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以GH∥平面BCD．同理FH∥平面BCD，又GH∩FH＝H，所以平面FHG∥平面BCD．因为GF⊂平面FHG，所以GF∥平面BCD．在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中点，所以EM⊥DC．由(1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC，所以BC⊥平面CDE．因为EM⊂平面CDE，所以EM⊥BC．因为BC∩CD＝C，所以EM⊥平面BCD．因为EM∥RS，所以RS⊥平面BCD．因为RS⊂平面BDR，所以平面BDR⊥平面DCB．平行与垂直的转换平行、垂直关系的证明的核心是转化，空间向平面的转化，即面面⇔线面⇔线线．相互转化关系如下：3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是平行四边形，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE．(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，∠ADC＝∠BCD＝120°，所以∠DCA＝∠DAC＝30°，所以∠ACB＝90°，所以AC⊥BC．又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE．又EF∥AC，EF＝AC，所以MF∥AN，MF＝AN，所以四边形ANFM是平行四边形，所以AM∥NF．又NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，所以AM∥平面BDF．(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD．又因为AD⊥PD，CD∩PD＝D，所以AD⊥平面PDC．而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD．(3)解：在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB，如图．由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE⊥平面ABCD．由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．空间角向平面角的转换(1)求异面直线所成的角，一般解法是通过平移转化为平面角，将两条异面的直线平移到相交状态，作出等价的平面角，再解三角形即可．(2)求线面角，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解．(3)求二面角，利用几何体的特征作出所求二面角的平面角，再把该平面角转化到某三角形或其他平面图形中求解．4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且AB＝BC＝2AD＝2，侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等边三角形．(1)求证：BD⊥PC；(2)求二面角B－PC－D的大小．(1)证明：如图，取AB的中点O，连接PO，CO．因为△PAB是等边三角形，所以PO⊥AB．又因为侧面PAB⊥底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD．又因为BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD．又因为AB＝BC＝2AD＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°，所以△DAB≌△OBC．所以∠BCO＝∠ABD，所以BD⊥OC．又因为OC，PO⊂平面POC，OC∩PO＝O，所以BD⊥平面POC．又因为PC⊂平面POC，所以BD⊥PC．(2)解：如图，取PC的中点E，连接BE，DE．因为PB＝BC，所以BE⊥PC．又因为BD⊥PC，BE∩BD＝B，所以PC⊥平面BDE．所以PC⊥DE，所以∠BED是二面角B－PC－D的平面角．因为BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，平面PAB⊥平面ABCD，所以BC⊥平面PAB．| 链 接 高 考 | 　　　　(2018年新课标Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 (　　)空间几何体的表面积与体积【答案】B　【点评】本题考查圆柱的结构特征及圆柱表面积的求法，难度较小．【答案】D　【解析】如图，由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P－ABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于G，则AC⊥BG．又PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC．∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB．【点评】若P，A，B，C是球面上四点，PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径，解决外接问题．　　　(2019年江苏)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________．【答案】10　【点评】若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，可直接利用公式求解．其中，求三棱锥的体积有时会用到等体积转化法．　　　　(2019年新课标Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 (　　)A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】 B　点、线、面的位置关系【点评】判断空间两直线的位置关系一般可借助几何模型直观感知并准确判断．异面直线的判定方法有两种，一是定理法，即平面外一点A与平面内一点B相连的直线和平面内不经过点B的直线是异面直线；二是反证法，即先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．　　　　(2019年北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个判断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个判断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________________．【答案】若l⊥m，l⊥α，则m∥α(若m∥α，l⊥α，则l⊥m)【解析】从三个论断中选两个作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种可能．其中①③⇒②，②③⇒①是正确的命题，①②⇒③是错误的命题，故可填“若l⊥m，l⊥α，则m∥α”或“若m∥α，l⊥α，则l⊥m”．【点评】本题是结论开放的填空题，解题时要有合理的分析和判断，要求推理的每一步都正确无误．　　　　(2022年新高考Ⅱ)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E－ACD，F－ABC，F－ACE的体积分别为V1，V2，V3，则 (　　)A．V3＝2V2 B．V3＝2V1C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1【答案】CD　平行、垂直的证明及空间角的计算【点评】直接由体积公式计算V1，V2．连接BD交AC于点M，连接EM，FM，由V3＝VA－EFM＋VC－EFM计算出V3，依次判断选项即可． (2019年新课标Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．(1)求证：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．【点评】高考中平行、垂直关系的判定与性质是立体几何的核心内容，距离、面积与体积的计算是重点内容，在平时的学习中，要重视识图训练，能正确确定关键点或线的位置，将局部空间问题转化为平面模型．(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．(2)解：如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，所以MN∥BC．所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．【点评】求解空间线线角、线面角、二面角一定要注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可．