2023届高三全国各地试题精选12 直线与圆的方程

这是一份2023届高三全国各地试题精选12 直线与圆的方程，共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023届高三全国各地试题精选
12直线与圆的方程

一、单选题
1．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·广西·校联考模拟预测）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知直线与直线垂直，若直线的倾斜角为，则（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知直线上的两点，且，点为圆上任一点，则的面积的最大值为（    ）
A． B． C． D．
5．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若直线与圆：相交于，两点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·河北·校联考一模）直线与圆相切，则的最大值为（    ）
A．16 B．25 C．49 D．81
7．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知是直线的倾斜角，则的值为（    ）
A． B． C． D．
8．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，为圆上的动点，定点.现将坐标平面沿轴翻折成平面角为的二面角，此时点翻折至，则两点间距离的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知圆，圆心为的圆分别与圆相切.圆的公切线（倾斜角为钝角）交圆于两点，则线段的长度为（    ）
A． B． C．3 D．6
10．（2023·福建泉州·统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（    ）
（参考数据：，．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948

二、多选题
11．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ）
A．直线经过定点
B．的最小值为
C．点到直线的距离的最大值为
D．是锐角
12．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知圆：，直线：，则（    ）
A．直线在y轴上的截距为1
B．直线的倾斜角为
C．直线与圆有2个交点
D．圆上的点到直线的最大距离为
13．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知圆，直线，则（    ）
A．直线恒过定点
B．直线能表示平面直角坐标系内每一条直线
C．对任意实数，直线都与圆相交
D．直线被圆截得的弦长的最小值为
14．（2023·山西临汾·统考二模）在平面直角坐标系y中，圆的方程为，若直线上存在一点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的值可以是（    ）
A． B． C． D．
15．（2023·海南·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，点，，点，为圆上的两个动点，则下列说法正确的是（    ）
A．圆关于直线对称的圆的方程为
B．分别过，两点所作的圆的切线长相等
C．若点满足，则弦的中点的轨迹方程为
D．若四边形为平行四边形，则四边形的面积最小值为2
16．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知圆，P为直线上一点，过点，分别作两条不同的直线，，与圆相交于A，B，与圆的另一个交点为，则下列说法正确的是（    ）
A．若，且点在轴上的射影为，则
B．圆上的点到直线的最大距离与最小距离之和为
C．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线，过定点
D．若，则的最大值为
17．（2023·江苏南通·三模）直线与圆交于两点，为圆上任意一点，则(    ).
A．线段最短长度为 B．的面积最大值为
C．无论为何值，与圆相交 D．不存在，使取得最大值
18．（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）已知直线l经过点，曲线：.下列说法正确的是（    ）
A．当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为
B．当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个
C．当直线l与曲线有4个公共点时，直线l斜率的取值范围为
D．存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2
19．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，记线段的中点分别为，则下列结论正确的是（    ）
A．圆的方程为 B．四边形面积的最大值为
C．弦的长度的取值范围为 D．直线恒过定点
20．（2023·江苏·统考模拟预测）已知点A，B在圆O：上，点P在直线l：上，则（    ）
A．直线l与圆O相离
B．当时，的最大值是
C．当PA，PB为圆O的两条切线时，为定值
D．当PA，PB为圆O的两条切线时，直线AB过定点

三、填空题
21．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________.
22．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）圆心在直线上，且与直线相切的一个圆的方程为______.
23．（2023·山西运城·统考三模）已知直线被圆截得的线段长为，则______．
24．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知圆：和圆：的公共弦所在直线横过定点P，若过点P的直线l被圆上截得的弦长为，则直线l的方程为_____________．
25．（2023·山东烟台·统考二模）已知点P为x轴上的一个动点，过P的直线与圆相交于A，B两点，则弦中点的轨迹的最大长度为_____________．
26．（2023·重庆·校联考三模）已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是____________．
27．（2023·河北·统考模拟预测）设点，，若直线关于对称的直线与圆相切，则________．
28．（2023·山东潍坊·三模）已知圆，与圆总相切的圆的方程是_________．
29．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）点P圆上，点在直线上，O坐标原点，且，则点的横坐标的取值范围为___________．
30．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）过直线上的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线距离的最大值为_____________.

参考答案：
1．D
【分析】先根据点在圆上，求出，考虑的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离列出方程，求出斜率和倾斜角.
【解析】由题意得，
当的斜率不存在时，此时直线方程为，与圆相交，不合题意，
当的斜率存在时，设切线的方程为，
则，解得，
设的倾斜角为，
故的倾斜角为.
故选：D
2．B
【分析】把直线方程化为，求得直线过定点，结合圆的几何性质，即可求解.
【解析】由题意，直线可化为，
联立方程组，解得，即直线过定点，
又由，可得定点在圆内，
由圆的几何性质知，圆心到直线的距离．
故选：B.
3．D
【分析】由题意可得，由诱导公式和同角三角函数的平方关系化简，代入即可得出单.
【解析】因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，所以，
所以.
故选：D.
4．A
【分析】找到圆上的点到直线距离的最大值作为的高，再由面积公式求解即可.
【解析】把圆变形为，
则圆心，半径，
圆心到直线的距离，
则圆上的点到直线的距离的最大值为，又，
∴的面积的最大值为．
故选：A．
5．B
【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再求出垂直于经过该定点的圆的直径的弦长作答.
【解析】直线，即恒过定点，
而，即点在圆内，
因此当且仅当时，最小，
而圆的圆心，半径，，
所以.
故选：B
  
6．C
【分析】利用圆与直线的位置关系得出的方程，根据方程分析利用表示的几何意义求解即可.
【解析】由直线与圆相切可得：
圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，
故，即点在圆O上，
的几何意义为圆上的点与点之间距离的平方，
由圆心为，
因为，
所以点在圆外，
所以点到点的距离的最大值为圆心到的距离与圆半径之和，
即，
所以的最大值为.
故选：C.
7．B
【分析】由题可得.方法一，由可得，后利用二倍角余弦公式，两角和的正弦公式可得答案；
方法二，由可得间关系，后利用表示，即可得答案.
【解析】法一：由题意可知，（为锐角），∴，

法二：由题意可知，（为锐角）∴，
．
故选：B．
8．B
【分析】分和两种情况讨论,当三点共线时取得最小值，综合两种情况可得结果.
【解析】设所在平面为，圆的另一半所在平面为，
若，则三点共线时，有最小值；
当在圆与轴交点时，取到最大值，即；
  
若在上的投影为，则到面距离为，
则三点共线时，有最大值，，
此时；当在圆与轴交点时，有最小值，
，此时；
即；综上可得，.
  
故选:B.
9．B
【分析】判断圆与需外切，求出的方程，进而求得圆的公切线方程，再根据弦长的几何求法，即可求得答案.
【解析】如图，由已知的圆心为，半径为，
设的半径为，
由题意知圆与需外切，否则圆无公切线或公切线（倾斜角为钝角）与圆无交点；

由题意知，即；
，即，
故圆，圆，
设圆的公切线方程为，
则，解得，即，
故到的距离为，
故，
故选：B
10．B
【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果.
【解析】设，
由题意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即点在正方形的边上运动，
因为，由图可知：
当取到最小值，即最大，点有如下两种可能：
①点为点A，则，可得；
②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取，
则；
因为，
所以的最大值为.
故选：B.
  
【小结】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题.
11．AB
【分析】由两圆方程相减可得交点弦，即可可判断A，根据直线经过的定点即可求解C,由勾股定理即可判断CD.
【解析】设，则以为直径的圆的方程为
，
化简得，与联立，
可得所在直线方程：，即，
故可知恒过定点A正确；
到过定点的直线距离的最大值为：，
，故最小值为.B正确，
当点与定点的连线与直线垂直时，此时点到直线
的距离最大，且最大值为，故C错误；
圆心到的距离为，
由于,在直角三角形中，
当点运动到正好时，此时最小，的张角最大，
此时，
当点位于其它点时均为锐角，故，不恒为锐角，D错误.
故选：AB

12．ABC
【分析】根据截距，倾斜角的定义，判断AB；根据直线与圆的位置关系，即可判断CD.
【解析】A.当时，，直线在y轴上的截距为1，故A正确；
B.直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，，，所以直线的倾斜角为，故B正确；
C.圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以直线与圆有2个交点，故C正确；
D.根据C可知，圆上的点到直线的最大距离为，故D错误.
故选：ABC
13．ACD
【分析】A选项，变形后联立方程组，求出所过定点；B选项，在A的基础上，得到直线不能表示直线，也不能表示不过点的直线；C选项，由点到直线距离公式得到在圆内，从而得到直线都与圆相交；D选项，根据几何关系得到弦长最值.
【解析】对于A：直线的方程可化为，
联立，解得
所以直线恒过定点，∴A正确；
对于B：由A可知，直线不能表示直线，也不能表示不过点的直线，∴B错误；
对于C，因为，故直线恒过圆内一点，所以直线与圆相交，∴C正确；
对于D，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，因为，
所以最短弦长为，∴D正确．
故选：ACD．
14．ACD
【分析】由条件可知，，及两切点构成正方形，利用圆心到直线的距离小于等于,列式求实数的取值范围.
【解析】由，得，
则圆心，半径，
因为过点所作的圆的两条切线相互垂直，
所以，及两切点构成正方形，且对角线，
在直线上，
则圆心到直线的距离，解得或
根据选项，满足条件的为ACD.
故选：ACD.
15．AD
【分析】由题意求出直线AB的方程，设，则解之即可判断A；由A、B到原点的距离不相等判断B；设，由题意得，结合计算化简，即可判断C；由点到直线的距离公式和几何法求弦长，求出直线AB的方程，求出面积即可判断D.
【解析】A：，则直线AB的方程为，
设的圆心，则，解得，
所以的方程为，故A正确；
B：易知A、B到原点(圆心)的距离不相等，所以切线长不相等，故B错误；
C：设，由，且P在圆O内部，得，
又Q为弦CD的中点，则，有，
即，整理得，
即，故C错误；
D：由题意，，若四边形ABCD为平行四边形，
则，设AB直线方程为，
则O到直线AB的距离为，所以，
即，解得，所以AB直线方程为或.
当AB直线方程为即时，四边形ABCD的面积最小，且最小值为2，故D正确.

故选：AD.
16．CD
【分析】由条件证明为等边三角形，由此可求，判断A，求圆心到直线 距离，由此求圆上一点到直线的最大距离与最小距离，由此判断B，由条件证明四点共圆，求该圆与圆的公共弦，可得方程，由此判断C，结合弦长公式求，再求其最大值，判断D.
【解析】连接， 因为，，
所以为等边三角形，
因为点在轴上的射影为，
所以，为的中点，
所以，A错误；

圆的圆心为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以圆上一点到直线的最大距离为，
圆上一点到直线的最大距离为，
所以圆上一点到直线的最大距离与最小距离之和为，B错误；
设点的坐标为，
由已知，
所以四点共圆，设的中点为，
则该圆的圆心为，半径为，
所以该圆的方程为，
圆与圆的圆心距为，
因为，
故圆心距小于两圆半径和，大于两圆的半径差的绝对值，
所以圆和圆相交，又为两圆的公共弦，
由方程与方程相减可得
，即直线的方程为，
化简可得，
所以直线过定点，C正确；

当直线的斜率存在，且不为0时，
设直线的方程为，则的方程为，
所以点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以，，
所以，
又，
所以，
当直线的斜率为时，，
直线的方程为，所以，
，
当直线的斜率不存在时，直线与圆只有一个交点，与已知矛盾，
所以的最大值为，D正确；
故选：CD.

17．CD
【分析】求出直线经过的定点，也可知直线斜率一定存在，结合弦长的几何求法可判断A；结合三角形面积公式以及l的位置可判断B；根据定点在圆内可判断C，结合圆周角和弧长之间的关系可判断D.
【解析】由直线可知，该直线过定点,
且直线斜率一定存在，
当时，弦的弦心距最长，则长最短为，
此时的斜率不存在，与题意矛盾，故A错误；

的面积为,
若的面积取到最大值，则为直角，
由于,此时，与题意矛盾，B错误；
由于直线过定点,在内，
故无论为何值，与圆相交，C正确；
为圆上任意一点，假设当与x轴垂直时，如图中虚线位置，
此时劣弧最短，最大，但由于直线l斜率存在，
故直线取不到图中虚线位置，即不存在，使取得最大值，D正确，
故选：CD
18．ACD
【分析】利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式逐项进行分析验证即可求解.
【解析】由，得，
即，即，
所以曲线表示以，为圆心，为半径的两个圆，如图所示.
  
设过点A且与圆N相切的直线方程为，则点N到该直线的距离，解得，，
即图中直线AC的斜率为1，直线AD的斜率为.直线AO的斜率为.
直线AC的方程为，点M到直线AC的距离，则直线AC与圆M相切于点B.
在直线l绕着点从直线AC顺时针旋转到直线AO的过程中，直线l与曲线的公共点个数都为4（不包括直线AC与直线AO的位置）；
在直线l绕着点从直线AO顺时针旋转到直线AD的过程中，直线l与曲线的公共点个数也都为4（不包括直线AO与直线AD的位置）.
所以当直线l与曲线的公共点个数为4时，直线l斜率的取值范围为.故选项C正确；
设过点A且与圆M相切的直线方程为，则点M到该直线的距离，解得，，
由图可知，当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为.故选项A正确；
由图可知，直线AO与曲线的公共点个数为3，直线AD与曲线的公共点个数也为3，直线与曲线的公共点个数为1，
所以当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有3个，故选项B错误；
因为过原点O的任意直线与曲线的公共点的个数为1或3，
所以存在定点Q（Q与O重合），使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2，故选项D正确；
故选：ACD.
19．ACD
【分析】利用待定系数法求出圆E的方程，判断A；根据圆的几何性质表示出四边形面积，结合二次函数知识求得其最大值，判断B；利用圆的几何性质可求得弦的长度的取值范围，判断C；结合四边形为矩形，可判断D.
【解析】由题意可设圆心为，半径为，
故，解得，则，
故圆的方程为，A正确；
  
连接,则,
设,则,则，
故，
所以，
当时，四边形面积取到最大值，B错误；
当弦过圆心时最长，最大值为4；
当弦时最短，最小值为，
即弦的长度的取值范围为，C正确；
由题意知，，
故四边形为矩形，则为矩形的对角线，二者互相平分，
而，故过的中点，D正确，
故选：ACD
20．AC
【分析】利用点到直线的距离判断A；取AB中点D，由线段PD长判断B；由中，同理结合数量积的定义可判断C；求出直线AB的方程判断D作答.
【解析】对于A，因为到直线的距离，即直线与圆相离，A正确；
对于B，令AB的中点为D，则，，
点D在以O为圆心，为半径的圆上，
，显然当在上运动时，无最大值，B不正确；
  
对于C，当为切线时，，
所以在中，
同理

，故C正确.
  
对于D，设，当为切线时，，
点在以为直径的圆上，
此圆的方程为，于是直线为，
即，
所以直线过定点，D不正确.
故选：AC.
21．
【分析】先把圆的方程化成标准形式，从而得出圆心坐标和半径，再通过直线方程得出直线过定点，发现定点在圆的内部，从而根据圆的有关知识知：当定点是弦的中点时，弦长最短，从而求出弦长的最小值.
【解析】圆化成标准形式为圆，
圆心，半径，
直线过定点，并在圆内，
最短时，点为弦的中点，即时，
所以.
故答案为：.
22．（答案不唯一）
【分析】依题意可得直线与直线平行，则两平行线之间的距离即为圆的半径，再取一个点确定圆心，即可得到圆的方程.
【解析】因为直线与直线平行，
设圆心坐标为，因为圆心到直线的距离等于圆的半径r，
所以，取，则圆的方程为.
故答案为：（答案不唯一）
23．
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理计算可得.
【解析】圆C：，即圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
又直线被圆截得的线段长为，所以，即，
解得.
故答案为：
24．x＝2或y＝1
【分析】两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程，从而得定点的坐标，由题意知圆心到直线l的距离为1，设直线l的方程为，利用点到直线的距离公式求出m，然后验证直线x＝2也满足题意，即可得出答案.
【解析】两圆方程相减，可得公共弦所在直线为，
令，则，所以该直线过定点，
过点P的直线l被圆上截得的弦长为时，圆心到直线l的距离为1，
设直线l的方程为，
所以，∴m＝0，直线l的方程为y＝1，
显然直线l的方程为x＝2时也满足题意，
故答案为：x＝2或y＝1．
25．
【分析】设，AB的中点为，利用平面向量数量积的坐标表示，计算整理可得，分类讨论点P在圆C外部和内部（含边界）时点M的轨迹，利用导数，结合弧长公式、圆的面积公式计算即可求解.
【解析】由，得，
所以圆心，半径为，设，AB的中点为，
则，
由题意知，
整理得.

若点P在圆C外，如图，由圆的对称性知点M的轨迹是，
设，则，且，
得，
设，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，且，所以，
即，所以函数在上单调递减，且，
所以，即此时点M的轨迹长度小于；
若点P在圆C的内部（含边界），点M的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
当PM为圆M的直径即点P在圆C上时，点M的轨迹长度最大，
此时，或，得，M的轨迹长度为，
综上：弦AB的中点M的轨迹最大长度为.
故答案为：.
26．
【分析】由求出点的轨迹，再求出该轨迹与圆有公共点的a的范围作答.
【解析】设点，则，而，
则，整理得，即点的轨迹是原点为圆心，2为半径的圆，
因为点在圆，即圆与圆有公共点，
而圆的圆心为，半径为1，
因此，即，解得或，
所以实数a的取值的范围是.
故答案为：

  
27．或
【分析】先求点A关于的对称点坐标，从而可得直线的方程，然后利用圆与直线相切可解.
【解析】记直线关于对称的直线为l，由图可知，l的斜率存在.
点关于对称的点的坐标为，在直线上，
则，所以直线的方程为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
整理得，即，解得，或．
故答案为：或

28．
【分析】根据圆标准方程可知圆心轨迹，由圆心轨迹与圆轨迹可确定圆上总有点与原点距离为4即可求出圆的方程.
【解析】圆标准方程为，
圆的圆心为，半径为2，
由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，
故圆上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆的方程是：.
故答案为：.
29．
【分析】设点的坐标为，点的坐标为，由条件可得点在以为直径的圆上，由条件列不等式可求点Q的横坐标的取值范围.
【解析】因为点在直线上，
故设点的坐标为，设点的坐标为，
则，
因为，所以，
所以，
即点在圆上，
又点在圆上，
所以两圆有交点，
又圆的圆心坐标为，半径为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以点的横坐标的取值范围为.
故答案为：.
30．/
【分析】设，分析得到，，，四点在以为直径的圆上，求出圆方程和方程，再利用数形结合分析求解.
【解析】设，则，所以.
由几何性质知,
所以，，，四点在以为直径的圆上，
设圆上任意一点坐标为，则，
所以，当时，也成立.
即圆方程为，即，
把圆和圆方程相减得.
故直线的方程为.
所以是以原点为圆心、1为半径的圆上的点，
故点到直线的距离的最大值为.
（当时取等）
故答案为：