2023届高三全国各地试题精选16 概率

这是一份2023届高三全国各地试题精选16 概率，共40页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届高三全国各地试题精选
16 概率

一、单选题
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）从中随机取2个不同的数，则这2个数之和是4与6的公倍数的概率是（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·校联考模拟预测）将5个小球放入甲乙两个框中，每个框一定要有球，放完后小明等概率从甲乙中依次取出球，若甲框最先被取完且甲框中不为两个球，则甲框中小球个数的期望为（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）在九位数123456789中，任意交换两个数字的位置，则交换后任意两个偶数不相邻的概率为（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东潍坊·三模）已知事件,,，，则（    ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）将《三国演义》､《西游记》､《水浒传》､《红楼梦》4本名著全部随机分给甲､乙､丙三名同学，每名同学至少分得1本，A表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；B表示事件：“《西游记》分给同学甲”；C表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
6．（2023·山西·校联考模拟预测）将一个四棱锥的每个顶点涂上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则共使用4种颜色的概率为（    ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·校联考模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球．若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（    ）
A． B． C． D．
8．（2023·广东汕头·统考三模）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40=3+37.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率是（    ）
A． B． C． D．
9．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（    ）

A． B． C． D．
10．（2023·湖南·校联考模拟预测）学校校园从教室到寝室的一排路灯共12盏，按照规定，如果两端有坏了的路灯或者中间同时坏了相邻的两盏或两盏以上的路灯，就必须马上维修，已知这排路灯坏了3盏，则这排路灯必须马上维修的概率为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
11．（2023·广东广州·广州六中校考三模）已知事件A，B，且，则（    ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
12．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）一个不透明的袋子里，装有大小相同的个红球和个蓝球，每次从中不放回地取出一球，则下列说法正确的是（    ）
A．取出个球，取到红球的概率为
B．取出个球，在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为
C．取出个球，第二次取到红球的概率为
D．取出个球，取到红球个数的均值为
13．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）下列命题中，正确的命题是（    ）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍
B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为
C．设服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大
14．（2023·湖北·统考二模）已知随机事件的概率分别为，且，则（    ）
A．事件与事件相互独立 B．事件与事件相互对立
C． D．
15．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）袋中有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个蓝球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件；“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C． D．
16．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）下列说法正确的有（    ）
A．若事件与事件互斥，则
B．若，，，则
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．这组数据的分位数为
17．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）下列命题中，正确的命题是（    ）
A．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人
B．在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若，，则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．已知，则
18．（2023·山东日照·统考二模）下列说法正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则的最小值为4
C．命题使得，则
D．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率为
19．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）在正三棱柱中，若A点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n次后还在底面ABC的概率为，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C．为等比数列 D．
20．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知事件满足，，则下列结论正确的是（    ）
A．如果，那么
B．如果，那么，
C．如果与互斥，那么
D．如果与相互独立，那么

三、填空题
21．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）如图是甲､乙两在5次技能测评中的成绩茎叶图，其中乙的一个成绩数据被污损.假设被污损数据取到任何可能值的概率相等，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是__________.
  
22．（2023·浙江·校联考二模）袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，则__________.
23．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）志愿者在打赢疫情防控阻击战中贡献了自己的力量，现从3名男性志愿者和2名女性志愿者中，任选3名参加社区志愿服务，则既有男性志愿者又有女性志愿者的概率为__________.
24．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）某幼儿园一名小朋友过生日，幼园老师为该小朋友准备了外表大小一样的5个盒子，其中3个盒中各装一个变形金刚玩具，另外2个盒中各装一套积木玩具，这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚和1个积木的概率为____________.
25．（2023·广东汕头·统考二模）某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法，平均每个人需要化验______次.（结果保留四位有效数字）（，，）.
26．（2023·四川遂宁·统考三模）已知，从这四个数中任取一个数，使函数有两不相等的实数根的概率为__________.
27．（2023·浙江·校联考二模）已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球1个白球，从甲盒中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的个数为随机变量X，则X的期望为______．
28．（2023·新疆·统考二模）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），在注中，刘徽对“牟合方盖”有以下的描述：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸.规之为圆囷，径二寸，高二寸.又复横规之，则其形有似牟合方盖矣.八棋皆似阳马，圆然也.按合盖者，方率也.丸其中，即圆率也.”牟合方盖的发现有着重大的历史意义.通过计算得知正方体内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为.若在该正方体内任取一点，则此点取自“牟合方盖”内的概率是_____________.

29．（2023·湖北十堰·统考二模）甲、乙两位同学玩游戏：给定实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数，由甲掷一枚骸子，若朝上的点数为1，2，3，则，若朝上的点数为4，则，若朝上的点数为5，6，则．对实数重复上述操作，得到新的实数，若，则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为________．
30．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知函数，若是从，，三个数中任取的一个数，是以，两个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为____________.

四、解答题
31．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验，为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表：
传统艺术活动
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
书画
古琴
汉服
戏曲
面塑
高一体验人数
80
45
55
20
45
高二体验人数
40
60
60
80
40
高三体验人数
15
50
40
75
30

(1)从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；
(2)利用频率估计概率，从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，设这三名学生中参加戏曲体验的人数为，求的分布列及数学期望；
(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取名学生进行访谈，设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，当取得最大值时，写出的值，及对应的值．（直接写出答案即可）
32．（2023·四川·校联考模拟预测）据相关机构调查研究表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔韧度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔韧度､力量､速度､耐力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.
  
(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)在样本中从和的学生中采用分层抽样的方法抽取5人，从所抽5人中任选2人，求2人成绩均在内的概率.
33．（2023·北京·统考模拟预测）2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：
班号
1
2
3
4
人数
30
40
20
10

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.
(1)求各班参加竞赛的人数；
(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望；
(3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率.
34．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解、两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于旅游景点的问卷100份，关于旅游景点的问卷80份.问卷中，对景点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差评，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下：

非常满意
满意
一般
差评
景点
50
30
5
15
景点
35
30
7
8
假设用频率估计概率，且游客对，两个旅游景点的满意度评价相互独立.
(1)从所有（人数足够多）在旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有（人数足够多）在旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率；
(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择、哪个旅游景点?说明理由.
35．（2023·上海徐汇·统考三模）2022年卡塔尔世界杯决赛圈的参赛队有克罗地亚、荷兰、葡萄牙、英格兰、法国等13支欧洲球队以及摩洛哥、巴西、阿根廷等19支非欧洲球队.世界杯决赛圈赛程中的每场淘汰赛都要分出胜负，规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，否则就进入30分钟的加时赛.在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，那就进行点球大战.点球大战分为2个阶段.第一阶段：双方各派5名球员依次踢点球（未必要踢满5轮），前5轮进球数更多的球队获胜.第二阶段：…
2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果
淘汰赛
比赛结果
淘汰赛
比赛结果
决赛
荷兰美国
决赛
克罗地亚巴西
阿根廷澳大利亚
荷兰阿根廷
法国波兰
摩洛哥葡萄牙
英格兰塞内加尔
英格兰法国
日本克罗地亚
半决赛
阿根廷克罗地亚
巴西韩国
法国摩洛哥
摩洛哥西班牙
季军赛
克罗地亚摩洛哥
葡萄牙瑞士
决赛
阿根廷法国点球大战中阿根廷胜法国

欧洲球队
其他球队
合计
进决赛



未进决赛



合计



(1)填写列联表，并通过计算判断能否在犯错概率不超过0.05的前提下认为32支球队中的一支球队“在世界杯淘汰赛中进入决赛”与“该球队为欧洲球队”有关.
(2)已知甲队球员和乙队球员每轮踢进点球的概率分别为和.若点球大战前2轮的比分为，试在此条件下求甲队于第一阶段获得比赛胜利的概率（用表示）.
参考公式：，.

0.05

3.841

36．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统一规格的包装箱包装），现统计了最近100天内每天可配送的货物量，按照可配送的货物量（单位：箱）分成了以下几组：，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）．
  
(1)该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析每日的可配送货物量少的原因，并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析，求这3天的数据中至少有2天的数据来自这一组的概率；
(2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案．
方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为三级，时，奖励50元；时，奖励80元；时，奖励120元．
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于样本的中位数时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于样本的中位数时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率为
奖金
50
100
概率


小张为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？
(3)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量（单位：箱）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数．试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数（结果保留整数）．
附：若，则，．
37．（2023·北京·统考模拟预测）2023世界人工智能大会拟定于七月初在我国召开，我国在人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取得了很多成就.为普及人工智能相关知识，红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识竞赛、实践能力竞赛两个部分，两部分的成绩分为三档，分别为基础、中等、优异．现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表：
实践        理论
基础
中等
优异
基础



中等



优异



(1)若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为．求，的值；
(2)在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取人，求至少有一个人实践能力的成绩为优异的概率；
(3)若基础、中等和优异对应得分为分、分和分，要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出的值．（直接写出答案）
38．（2023·江西·统考模拟预测）第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举办这一亚洲最大的体育盛会，为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了40人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛大学生至少得60分），并将成绩分成4组：（单位：分），得到如下的频率分布直方图．
  
(1)现从该样本中随机抽取2人的成绩，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率；
(2)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛中所有参赛大学生的竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题：
①若这次竞赛共有万名大学生参加，试估计竞赛成绩超过分的人数（结果精确到个位）；
②现从所有参赛的大学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
39．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物环境、广告宣传的满意程度．调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统计顾客的满意情况．假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：

商品质量
服务质量
购物环境
广告宣传
顾客甲
满意
不满意
满意
不满意
顾客乙
不满意
满意
满意
满意
顾客丙
满意
满意
满意
不满意
每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据．
(1)求购物中心得分为50分的概率；
(2)若已知购物中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？
(3)列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分的数学期望．
40．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）.
每天下午6点前的销售量/千克
250
300
350
400
450
天数
10
10


5
(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；
(2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望；
(3)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值.

参考答案：
1．A
【分析】用古典概型公式计算即可.
【解析】从中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，若这2个数的和是4与6的公倍数的不同取法有：共2种，故所求概率，
故选：A.
2．B
【分析】求出甲框中球的个数X可能值及对应的概率，求出期望值.
【解析】甲框中球的个数X可能为1，3，4，
由小明等概率从甲乙中依次取出球，甲框最先被取完，
若，则第一次就从甲框中取球的概率为，
若第一次从乙框，第二次从甲框中取球的概率为，
若第一、二次从乙框，第三次从甲框中取球的概率为，
若第一、二、三次从乙框，第四次从甲框中取球的概率为，
则甲框中只有一球，且先被取完的概率为；
若，前三次均在甲框中取球，概率为，
前三次有1次从乙框中取球，第四次从甲框中取球，则概率为，
故甲框中只有三球，且先被取完的概率为;
若，则前四次均要从甲框中取球，
故甲框中只有四球，且先被取完的概率为，
所以甲框最先被取完且甲框中不为两个球的概率，
在此前提下，，
则甲框中小球个数的期望.
故选：B.
3．A
【分析】根据给定的九位数，求出任意交换两个数字的位置的试验含有的基本事件数，再分类求出偶数不相邻的事件含有的基本事件数即可计算作答.
【解析】交换九位数中的任意两个数字的试验有个基本事件，它们等可能，
由于原九位数的所有偶数字不相邻，因此交换后任意两个偶数不相邻的事件有3类：
交换两个偶数字，有种，交换两个奇数字，有种，1与2或8与9的交换，有2种，
所以交换后任意两个偶数不相邻的概率.
故选：A
4．C
【分析】由条件概率的公式以及对立事件之间的关系列出方程组，解方程组即可得.
【解析】由条件概率公式可知,即①,
,即②,
而，所以③，
又已知④,
②③④联立可得.
故选：C
5．D
【分析】先得到，，，从而得到和，AB错误，利用条件概率公式得到C错误，D正确.
【解析】将《三国演义》､《西游记》､《水浒传》､《红楼梦》4本名著全部随机分给甲､乙､丙三名同学，共有（个）基本事件，
《三国演义》连同另一本书分给同学甲，则三本书和三名同学进行全排列，有种情况，
同学甲只分一本《三国演义》，则将三本书分为2组，再分给乙和丙，故有种情况，
故事件A包含的基本事件数为，则，
同理，，
《三国演义》和《西游记》分给同学甲，则剩余两本书，分给乙丙，则事件包含的基本事件数为，则，
《三国演义》分给同学甲，《西游记》分给同学乙，若剩余两本书给丙，则有种情况，
若剩余两本书其中一本给丙，另一本给甲或乙，则有种情况，
故事件包含的基本事件数为，则，
A选项，因为，故A错误；
B选项，因为，故B错误；
C选项，因为，故C错误.
D选项，因为，故D正确；
故选：D
6．C
【分析】分用5种颜色中的多少种颜色去涂色，分情况计算出总的涂色方法种数，然后用古典概型公式计算即可.
【解析】如图：

若将四棱锥的每个顶点涂上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，有5种颜色可供使用，则有以下情况：
若5种颜色都使用上，则四棱锥的五个顶点的颜色都不一样，共有种不同涂色的方法；
若只使用5种颜色中的4种，则四棱锥的五个顶点中与同色或与同色，共有种不同涂色的方法；
若只使用5种颜色中的3种，则四棱锥的五个顶点中与同色且与同色，共有种不同涂色的方法，
综上，一共有种涂色方法，其中共使用4种颜色的涂色方法有240种，则共使用4种颜色的概率.
故选：C
7．C
【分析】首先利用三个事件为互斥事件，再根据互斥事件概率公式，即可求解.
【解析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，
则，且．
因为A，B，C两两互斥，
所以．
故选：C．
8．C
【分析】随机选取两个不同的数，基本事件总数为，利用列举法求出其和等于40包含的基本事件有3个，由此求出其和等于40的概率．
【解析】不超过40的素数为：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个数，
其中，共3组数，
所以其和等于40的概率.
故选：C.
9．B
【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果，从而得到表示不同整数的个数和表示的数字大于50的个数，再根据古典概型概率计算公式即可求解.
【解析】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，
第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为；
第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为，
所以表示不同整数的个数为8.
其中表示的数字大于50的有共3个，
所以表示的数字大于50的概率为.
故选：B
10．A
【分析】先计算出9盏灯正常，在9盏灯中间形成的8个空，插入一盏已坏的灯的概率，再利用对立事件求概率公式求出答案.
【解析】设必须马上维修记为事件A，则不需要马上维修为，
而表示9盏灯正常，且在9盏灯每相邻两盏灯中间，插入一盏已坏的灯，即一共有8个空，选出3个空，插入一盏已坏的灯，
∴，
∴．
故选：A．
11．ABD
【分析】根据事件关系及运算有、，由事件的相互独立知，结合事件的运算求、.
【解析】A：由，则，正确；
B：由，则，正确；
C：如果A与B相互独立，则，
，错误；
D：由C分析及事件关系知：，正确.
故选：ABD.
12．ABD
【分析】根据古典概型概率公式可求得A正确；根据条件概率公式可求得B正确；将第二次取到红球分为两种情况，将概率加和可求得C错误；记取到的红球数为，计算可得每个取值对应的概率，根据均值求法可求得D正确.
【解析】对于A，取出个球，取到红球的概率，A正确；
对于B，记第一次取到蓝球为事件，第二次取到红球为事件，
则，，，B正确；
对于C，若第一次取到红球，第二次也取到红球，则概率为；
若第一次取到蓝球，第二次取到红球，则概率为；
第二次取到红球的概率，C错误；
对于D，记取到的红球数为，则所有可能的取值为，
，，，；
取到红球个数的均值为，D正确.
故选：ABD.
13．BCD
【分析】对于A，利用方差的性质即可判断；对于B，利用古典概型的计算公式即可求解；对于C，利用正态分布对称性即可判断；对于D，利用二项分布的概率公式即可判断.
【解析】对于A，由方差的性质知，将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的倍，故A错误；
对于B，从四条线段的长度分别是1，3，5，7中任取3条的共有种，只有取线段的长度为能构成三角形，由古典概型的概率公式可知，这3条线段能够成三角形的概率为，故B正确；
对于C，由可知，且，所以，故C正确；
对于D，，，令，解得，又，故,当时,概率最大，故D正确.
故选：BCD.
14．AC
【分析】根据题意可求得再利用条件概率公式可得，由相互独立事件的定义可知，即事件与事件相互独立；显然，即事件与事件不是相互对立事件；由概率的加法公式和条件概率公式计算可得C正确，D错误.
【解析】对A，根据题意可得
由条件概率公式可得，又
所以，又易知，
所以；
即满足，所以事件与事件相互独立，即A正确；
对B，又，不满足，所以事件与事件不是相互对立事件，即B错误；
对C，易知，即C正确；
对D，由条件概率公式可得，所以D错误.
故选：AC
15．ABCD
【分析】求出，，，，根据条件概率公式计算可得答案.
【解析】因为，，
事件有两种情况，①第一次摸到红球，第二次摸到红球；②第一次摸到蓝球，第二次摸到红球；
，
事件有两种情况，①第一次摸到红球，第二次摸到蓝球；②第一次摸到蓝球，第二次摸到蓝球；
,
所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ABCD.
16．BC
【分析】利用互斥事件的定义判断A，利用条件概率公式和独立事件的定义判断B，利用正态分布曲线的对称性判断C，利用百分位数的定义判断D.
【解析】选项A，若事件与事件互斥，则，故A错误；
选项B，若，，，
则，即事件与事件相互独立，
所以，故B正确；
选项C：若随机变量服从正态分布，，
则，
所以，故C正确；
选项D：将数据进行排序得，共个，
，所以这组数据的分位数为，故D错误；
故选：BC
17．ACD
【分析】根据分层抽样判断A选项，根据独立重复试验中数学期望和方差公式计算判断B选项，正态分布对称性求出对应概率判断C选项，根据互斥事件和的概率公式计算可判断D选项.
【解析】对于A选项：根据分层抽样可得高一抽取20人，高二抽取18人，高三抽取19人，故A选项正确；
对于B选项：在n次独立重复试验中，，，，故B选项错误；
对于C选项：随机变量服从正态分布，若，则，
因为正态分布的对称性关于对称可得，故C选项正确；
对于D选项：互斥，，，
故D选项正确.
故选：ACD.
18．AD
【分析】根据不等式的性质判断A选项，根据基本不等式取等条件判断B选项，根据命题的否定判断C选项，根据古典概型概念判断D选项.

【解析】若，左右两边乘以,可得,A选项正确;
,当且仅当取等号,显然等号取不到，即的最小值不是4,B选项错误;
命题使得，则,C选项错误;
从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有10种情况：,
则以这3个数为边长能构成直角三角形有1种情况，

则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率为,D选项正确;
故选:AD.
19．BCD
【分析】由已知求，判断A，再求出的递推关系，再由递推关系证明是等比数列，判断C，结合等比数列通项公式求，判断B，D.
【解析】由题可知，当时，，故选项A错误．
当时，表示第次在平面ABC的顶点上的概率，表示第次在平面的顶点上的概率．
由底面走到底面的概率为，由上面走到底面的概率为，
所以，得，又，
所以是等比数列，首项为，公比为．C正确；
故，
化简得，故，所以选项BD正确．
故选：BCD.
20．CD
【分析】古典概型、条件概率、互斥事件的概率，相互独立事件的概率公式的运用。
【解析】对于选项A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球, 从中摸出一个小球, 记下球的编号,
记事件A=“球的编号是偶数”， 事件B=“球的编号是1，2，3” ，事件C=“球的编号是奇数” 满足 , 但是 选项A错误;
对于选项B，如果 , 那么 ,选项B错误;
对于选项C， 如果与互斥，那么 , 所以选项C正确;
对于选项D，如果与相互独立，那么
所以选项D正确。
故选：CD
21．/
【分析】识别茎叶图，利用平均数和古典概型求概率公式求解即可.
【解析】设被污损的数字为，则，且，
甲的平均成绩为，
乙的平均成绩为，
因为，解得，
故的可能值有个，
则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为.
故答案为：
22．
【分析】由题意得出随机变量的分布列，计算其期望即可.
【解析】由题意可得
若两次摸到两种颜色的球，则；
若三次摸到两种颜色的球，则；
若四次摸到两种颜色的球，则；
故.
故答案为：
23．/0.9
【分析】根据古典概型的概率计算公式，即可求得答案.
【解析】从5名志愿者中任选3人，共有种选法；
男性志愿者和女性志愿者都有人入选，分为2男1女和2女1男两种情况，
共有种选法，因而所求的概率，
故答案为：
24．/
【分析】根据题意，由列举法得到所有情况，再由古典概型的概率计算公式即可得到结果.
【解析】设装变形金刚玩具的盒子分别为，，，装积木玩具的盒子分别为，.
则从这5个盒子中选出2个盒子的不同选法为：，，，，，，，，，，共10种不同方法；
恰好选到1个是变形金刚1个是积木的不同选法为：，，，，，，共6种不同方法，
故所求概率.
故答案为：
25．0.4262
【分析】设每个人需要的化验次数为X，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得，从而确定正确答案.
【解析】设每个人需要的化验次数为X，
若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则；
因此，X的分布列为，，
，
说明每5个人一组，平均每个人需要化验0.4262次.
故答案为：0.4262.
26．/
【分析】由对数函数，指数函数，三角函数的单调性结合概率公式求解即可.
【解析】函数有两不相等的实数根，则，解得或.
，，.
因为，所以.
即从这四个数中任取一个数，使函数有两不相等的实数根的概率为.
故答案为：
27．/
【分析】讨论从甲盒中随机取到球的颜色，进而确定对应的可能取值，分别求出对应概率，再应用独立事件乘法公式、互斥概率求法求各可能情况的概率，最后求期望即可.
【解析】若从甲盒中随机取到的为红球且概率为，则的可能取值为，
则，，
若从甲盒中随机取到的为白球且概率为，则的可能取值为，
则，，，
综上，，，，
故.
故答案为：
28．
【分析】设正方体的棱长为，用表示出“牟合方盖”的体积，再利用几何概型计算作答.
【解析】设正方体的棱长为，则该正方体内切球半径为，令 “牟合方盖”的体积为，
于是，解得，而正方体的体积为，
所以在该正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”内的概率是.
故答案为：
29．
【分析】列出如下树形图，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.
【解析】列出如下树形图，可知甲获胜的概率为．
故答案为：.

30．/0.5
【分析】这是古典概型的题目，，的取法共有种.再根据函数有两个极值点，即导数有两个不同的根，求出的所有情况，根据古典概型的概率公式解出结果.
【解析】解：，的取法共有种，
又，由题意有个不等实根，
则，因为、均大于零，所以，
而满足的有，，共种，
故所求的概率为.
故答案为：.
31．(1)
(2)分布列答案见解析，
(3)

【分析】（1）结合古典概型可直接求解；
（2）分别求出三个年级中任选一名体验的学生参加体验戏曲的概率，分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（3）结合相互独立事件概率公式求出，即可求解.
【解析】（1）解：由题意知，样本中学生共有人，
其中体验戏曲活动的学生共人，
设事件为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，
故所求概率为.
（2）解：从高一、高二、高三年级的体验学生中各随机选取1名学生，
抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为，
抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为，
抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
所以，，
，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：











因此，.
（3）解：由题可知，，，
，，，
故，所以当取得最大值时，.
32．(1)
(2)

【分析】（1）根据平均数的计算公式即可求解，
（2）根据分层抽样即可求解每层所抽取的人数，利用列举法即可由古典概型的计算公式求解.
【解析】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：
.
（2）样本中测试成绩在的人数为，
样本中测试成绩在的人数为，
采用分层抽样的方法从中抽取人数为（人），记作；
从）中抽取人数为（人），记作，
从所抽5人中抽取2人含有的基本事件有：，共10个，
其中2人均在内的事件有：，共3个，
故所求概率.
33．(1)3,4,2,1
(2)分布列见解析，2.8
(3)

【分析】（1）根据分层抽样计算可得；
（2）根据超几何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；
（3）计算1班每位同学获奖的概率，然后根据二项分布求解即可.
【解析】（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为，
故班分别抽取（人），（人），（人），（人）.
（2）由题意，的可能取值为1,2,3,4，
,
,
,
,
所以的分布列为：

1
2
3
4





（3）由题意，1班每位同学获奖的概率为,
设1班获奖人数为，则，
所以至少1人获奖的概率为.
34．(1)；
(2)选择景点，理由见解析.

【分析】（1）求出游客在，景点给出“非常满意”评价的概率，再利用互斥事件、独立重复事件的概率公式计算作答.
（2）列出游客对，景点评分的分布列，并求出期望和方差，再比较大小作答.
【解析】（1）设“这4人中恰有2人给出“非常满意”的评价”为事件，由表中数据可知，游客在景点给出“非常满意”评价的概率为，
游客在景点给出“非常满意”评价的概率为，
则.
（2）设一位游客对景点的满意度评分为，一位游客对景点的满意度评分为，
由数表中数据得的分布为：

1
2
3
4





的分布为：

1
2
3
4





则，
，
，
，
显然，所以选择景点.
35．(1)列联表见解析，不能在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“在世界杯淘汰赛中进入决赛”与“该球队为欧洲球队”有关
(2).

【分析】（1）根据表中数据，完善列联表，再计算的观测值并比对作答.
（2）把所求概率的事件分拆成5个互斥事件的和，求出每个事件的概率，再利用互斥事件的加法公式求解作答.
【解析】（1）列联表如下：

欧洲球队
其他球队
合计
进决赛
5
3
8
未进决赛
8
16
24
合计
13
19
32
把是否为欧洲球队作为一个分类变量，把是否在世界杯淘汰赛中进入决赛作为另一个分类变量，
问题为能否在犯错概率不超过0.05的前提下认为32支球队中的一支球队“在世界杯淘汰赛中进入决赛”
与“该球队为欧洲球队”有关，因此可采用列联表独立性检验，
①提出原假设支球队中的一支球队“在世界杯淘汰赛中进入决赛”与“该球队为欧洲球队"无关，
②确定显著性水平，
③计算的值，，
④统计决断：根据，而，小概率事件没有发生，故不能否定原假设，
因此不能在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“在世界杯淘汰赛中进入决赛”与“该球队为欧洲球队”有关.
（2）根据实际比赛进程，假定点球大战中由甲队先踢，两队前2轮比分为2:2的条件下，
甲在第一阶段获得比赛胜利，则后3轮有5种可能的比分：1:0，2:0，2:1，3:1，3:2，
当后3轮比分为1:0时，甲乙两队均需踢满5轮，，
当后3轮比分为2:0时，有如下3种情况：
2:0
3
4
5
2:0
3
4
5
2:0
3
4
5
甲
√
√

甲
√

√
甲

√
√
乙



乙



乙



则，
当后3轮比分为2:1时，有如下6种情况：
2:1
3
4
5
2:1
3
4
5
2:1
3
4
5
甲
√
√

甲
√
√

甲
√

√
乙
√


乙

√

乙
√


2:1
3
4
5
2:1
3
4
5
2:1
3
4
5
甲
√

√
甲

√
√
甲

√
√
乙

√

乙
√


乙

√

则，
当后3轮比分为3:1时，有如下2种情况：
3:1
3
4
5
3:1
3
4
5
甲
√
√
√
甲
√
√
√
乙
√


乙

√

则，
当后3轮比分为3:2时，有如下1种情况：
3:2
3
4
5
甲
√
√
√
乙
√
√

则，
所以在点球大战中两队前2轮比分为2:2的条件卜，甲在第一阶段获得比赛胜利的概率为：
.
36．(1)
(2)小张选择方案二更有利
(3)1637

【分析】（1） 由频率分布直方图结合分层抽样的方法得出各组抽取的人数，再求其概率即可；
（2） 若选择方案一，小张每日可获得的奖金为的可能取值为50，80，120元，由频率分布直方图可得其对应的概率，再求其数学期望即可；若选择方案二，设小张每日可获得的奖金为可能取值为50，100，150，200元，求其相应的概率得出数学期望并和方案一比较大小得出结果；
（3）由频率分布直方图求解，再根据正态分布求给定区间的概率.
【解析】（1）由频率分布直方图可知：前3组数据的频率之比为. 根据分层抽样的方法，11天的数据有1个来自第1组，4个来自第2组，6个来自第3组，故有4天的数据来自这一组.
用表示事件“抽取的3天的数据中至少有2天的数据来自”，
则.
（2）若选择方案一，设小张每日可获得的奖金为元，则的可能取值为50，80，120，
由频率分布直方图可得其对应的概率分别为0.25，0.6，0.15，
故.
若选择方案二，设小张每日可获得的奖金为元，则的可能取值为50，100，150，200，每日的可配送货物量不低于样本的中位数的概率为，低于样本中位数的概率也为.
故，，，.
所以的分布列为

50
100
150
200





所以.
因为，所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利.
（3）由题可得，
所以.
故该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数为.
37．(1)，；
(2)；
(3)8

【分析】（1）根据题意将至少一项成绩优异的同学全部相加再与总数相比即可得到所求值；
（2）利用间接法先求出抽取中一个实践能力的成绩为优异的人都没有的概率，继而求出答案；
（3）根据表格数据对称性可知方差最小时，由此可得出答案.
【解析】（1）由题意，理论或操作至少一项成绩为优异的学生共有人，
则，得，
又，得．
（2）由（Ⅰ）知，从20位理论成绩为优异的学生中抽取1人，实践成绩也为优异的概率为，
所以从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为优异的概率为．
（3）由题意，，
设理论成绩为X，，则X取值为，
对应的人数分别为，所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为
，
所以参赛学生理论成绩的方差为


因为，所以当时，方差最小.
38．(1)
(2)①；②

【分析】（1）根据频率分布直方图求出成绩不低于分的人数，再根据古典概型的概率公式计算可得；
（2）①首先求出，即可得到，根据正态分布的性质求出，即可估计人数；②依题意可得，根据二项分布的期望公式计算可得.
【解析】（1）由频率分布直方图可知，成绩不低于分的有人，
则随机抽取人至少有人成绩不低于分的概率.
（2）①依题意，
所以，则，
所以，
所以估计竞赛成绩超过分的大学生约为人；
②由，所以，
所以随机变量，所以.
39．(1)
(2)
(3)分布列见解析，40

【分析】（1）得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，然后按照古典概型的概率进行计算；
（2）由条件概率的公式进行计算即可；
（3）按求分布列的步骤进行计算，进而可得数学期望.
【解析】（1）将得分为50分记为事件A；得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，
可能的结果共有：（种）
三名顾客产生的反馈结果总共有：（种）
则，∴购物中心得分为50分的概率为
（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件B，则
，，
（3）可能的取值为2、3、4、5、6
，
，


2
3
4
5
6







∵，∴．
40．(1)
(2)分布答案见解析，
(3)

【分析】（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解；
（2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解；
（3）分别求得购进350千克和400千克时利润的期望值，列出不等式，求得，再由且，得到，即可求解.
【解析】（1）解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为.
（2）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，
随机变量的可能值为，
可得，
所以随机变量的分布为：

0
1
2




所以的数学期望.
（3）解：购进350千克时利润的期望值：，
购进400千克时利润的期望值：，
由，解得，
因为且，因此，
所以的最小值是.