2023届高三全国各地试题精选19 导数及其应用

这是一份2023届高三全国各地试题精选19 导数及其应用，共36页。试卷主要包含了已知函数.，已知函数，其中a∈R.，已知函数，已知，设函数.，已知函数，.，已知函数，其中，已知函数的导函数为.等内容，欢迎下载使用。
2023届高三全国各地试题精选
19 导数及其应用

1．（2023·北京密云·统考三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：.
2．（2022·北京石景山·校考模拟预测）已知函数，其中a∈R.
(1)当时，求f（x）在（1，f（1））的切线方程；
(2)求证：f（x）的极大值恒大于0.
3．（2021·陕西咸阳·校考二模）已知函数
(1)若，求函数的极值；
(2)若在内为单调递增函数，求实数a的取值范围．
4．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知．
(1)求在上的最值；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
5．（2023·江苏苏州·校联考三模）设函数.
(1)从下面两个条件中选择一个，求实数的取值范围；
①当时，；
②在上单调递增.
(2)当时，证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大.
6．（2023·河南·模拟预测）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若方程的两个解分别为，求证：.
7．（2023·山东德州·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．
8．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知函数的导函数为.
(1)当时，求函数的极值点的个数；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
9．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数在处取得极值，求实数的值；
(3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
10．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数的导函数为.
(1)当时，求函数的极值点的个数；
(2)若函数有两个零点，求证：.
11．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）已知函数.
(1)求函数的最大值；
(2)当时，证明：.
12．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．罗尔定理描述如下：如果 上的函数满足以下条件：①在闭区间上连续，②在开区间内可导，③，则至少存在一个，使得．据此，解决以下问题：
(1)证明方程在内至少有一个实根，其中；
(2)已知函数在区间内有零点，求的取值范围．
13．（2023·海南海口·海南中学校考二模）已知.
(1)若在处取到极值，求的值；
(2)直接写出零点的个数，结论不要求证明；
(3)当时，设函数，证明：函数存在唯一的极小值点且极小值大于.
14．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知函数．
(1)若a＝1，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求证：．
15．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数，其中a为实数.
(1)若，求函数在区间上的最小值；
(2)若函数在上存在两个极值点，，且.求证：.
16．（2023·全国·模拟预测）已知，函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
17．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在有两个极值点，求证：.
18．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)求证：；
(2)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围.
19．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数，其中，.
(1)当时，求函数的零点；
(2)若函数恒成立，求的取值范围.
20．（2023·山西吕梁·统考三模）已知函数.
(1)讨论函数在上的零点个数；
(2)当且时，记，探究与1的大小关系，并说明理由.

参考答案：
1．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）计算出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2），其中，利用导数分析函数的单调性，证明出，即可证得结论成立.
【解析】（1）解：因为，则，
所以，，，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）解：令，其中，
，
令，其中，
则，
当时，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，
所以，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即.
2．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）求导，利用导数求得切线斜率，然后可得切线方程；
（2）分，和a＜﹣2讨论，利用导数求极大值即可证明.
【解析】（1），
当时，，
则在的切线方程为；
（2）证明：令，解得或，
①当时，恒成立，此时函数在R上单调递减，
∴函数无极值；
②当时，令，解得，令，解得或x＞2，
∴函数在（﹣a，2）上单调递增，在（﹣∞，﹣a），（2，+∞）上单调递减，
∴；
③当a＜﹣2时，令，解得2＜x＜﹣a，令，解得x＜2或x＞﹣a，
∴函数在（2，﹣a）上单调递增，在（﹣∞，2），（﹣a，+∞）上单调递减，
∴，
综上，函数的极大值恒大于0.
3．(1)的极小值为，无极大值
(2)

【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性和极值；
（2）利用导数分析可得原题意等价于在内恒成立，结合二次不等式恒成立问题分析运算.
【解析】（1）若，则的定义域为，
可得，
因为，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，无极大值.
（2）由题意可得：，
若在内为单调递增函数，则，
整理得，
故原题意等价于在内恒成立，
因为开口向上，对称轴，
①当，即时，则当时，取到最小值，
则，解得；
②当，即时，则当时，取到最小值，
则，解得，不合题意；
综上所述：实数a的取值范围.
4．(1)最大值为，最小值为
(2)

【分析】（1）求导后根据函数的单调性确定极值即可；（2）将不等式转化后求导，分类讨论即可得解.
【解析】（1）由题意知，
令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，，，
所以在上的最大值为，最小值为．
（2）恒成立，
即恒成立，
设，
则，．
①当时，取，则


，
所以当时，不恒成立．
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以要使，只需，
即，
解得，
所以．
综上，实数a的取值范围是．
5．(1)选①；选②
(2)证明见解析

【分析】（1）若选①，可得在上单调递增，然后讨论当时，不符合要求，即可得到结果；若选②，将问题转化为在上恒成立，然后分与讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，利用导数研究函数的极值，先证得函数有两个极值点，然后构造函数，通过函数的单调性即可得到证明.
【解析】（1）令，则，所以，则，
令，则，
选①：当时，因为时，，所以在上单调递增，
又，所以当时，，说明在上单调递增，
所以，符合题意；
当时，，当时，，所以在上单调递减，
又，所以当时，，说明在上单调递减，
所以当时，，此时不符合题意；
综上，实数的取值范围.
选②：在上单调递增，所以在上恒成立，
当时，，所以在上递增，
又，所以当时，，所以在上单调递减，不符合题意；
当时，当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
从而，由在上恒成立，得，
令，说明在单调递增，在单调递减，
所以，当且仅当时取得等号，故.
综上，实数的取值范围.
（2）当时，当时，在上单调递减，又，
当时，，说明在上单调递增，
当时，，说明在上单调递减，
所以为极大值点.
由（1）有，则，
所以当时，有，
所以当时，，
所以使得.
当时，，当时，，
所以为极小值点，
综上，函数有两个极值点；
其中满足，所以，
设，则，
由（1）知，所以单调递增，
所以随着的增大而增大，又，
所以，故随着的增大而增大.
【小结】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理.
6．(1)单调递增区间是，无递减区间.
(2)证明见解析

【分析】（1）先对求导，再利用的因式构造，然后对求导，得到的单调区间，确定的最小值是正值，从而确定恒正，最后求出的单调区间；
（2）原方程可以变形为：，设，，则由函数是增函数知，所以，设，则，， 设，则，，证明（*），即，从而证明了.
【解析】（1）对函数求导可得：， 令 则.     
当单调递减，单调递增.   
所以，，所以，在上单调递增.                
故的单调递增区间是，无递减区间.
（2）若方程有两个解，不妨设，
原方程可以变形为：，设，，
由，得，
因为函数是增函数，所以，则，
设，则，，
欲证，即证，  只需证（*）
设，，，在上，，单调递减，
所以，所以， 令即得（*）成立，
从而，命题得证．
7．(1)
(2)答案见解析
(3)

【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）求导后，分类讨论，根据导数的符号可得结果；
（3）根据存在两个极值点可得，且，根据单调性可得，将化为，利用比值代换可求出结果.
【解析】（1）当时，，定义域为，
所以，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域是，
，，
令，则．
①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．
②当，即时，由，得或；
由，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
（3）由（2）当时，在上单调递增，此时函数无极值；
当时，有两个极值点，即方程有两个正根，
所以，则在上是减函数．所以，
因为，
所以





，
令，则，
，
所以在上单调递减，
又，且，
所以，
由，
又在上单调递减，
所以且，所以实数的取值范围为．
【小结】方法点睛：涉及到双变量的问题一般可以利用比值代换处理，本题中，将化为后，设，化为关于的函数，再利用导数进行处理.
8．(1)2
(2).

【分析】（1）求导得到导函数，构造，再次求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算最值确定，，得到极值点个数.
（2）变换得到在上恒成立，构造函数，考虑和两种情况，求导得到导函数，再次构造函数，确定函数的单调区间，利用隐零点代换得到答案.
【解析】（1）当时，，定义域为，，
令，则.
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，，
所以，，
所以存在唯一的，，使得，
且当和时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
故在处取得极小值，在处取得极大值，即函数的极值点的个数为2.
（2），，即恒成立，
即在上恒成立.
记，
当时，，不合题意；
当时，.
记，则，
所以在上单调递增，又，
所以使得，即，①
故当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，②
由①式可得，所以，
代入②式得，
因为，即，
故，即，
所以当时，恒成立，故实数的取值范围为.
【小结】关键点睛：本题考查了利用导数判断极值点个数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用隐零点代换可以简化运算，是解题的关键，隐零点代换是常考的方法，需要熟练掌握.
9．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）根据可导函数在极值点处的导数值为求出，再根据极值点的定义验证即可得解；
（3）二次求导后，分类讨论，得函数的单调性，根据单调性可得结果.
【解析】（1）当时，，定义域为，，
，，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2），
设，则，
依题意得，即，
当时，，当时，，当时，，
所以在处取得极大值，符合题意.
综上所述：.
（3）当时，，，
当时， ,
令，，
则，
①当时，在上恒成立，故在上为增函数，
所以，故在上为增函数，
故，不合题意.
②当时，令，得，
（i）若，即时，在时，，在上为减函数，
，即，在上为减函数，，符合题意；
(ii)若，即时，
当时，，在上为增函数，，
在上为增函数，，不合题意.
综上所述：若不等式对恒成立，则实数的取值范围是.
【小结】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，总有成立，故；
（2）若，有成立，故；
（3）若，使得成立，故；
（4）若，使得成立，故；
10．(1)极值点的个数为2
(2)证明见解析

【分析】（1）由题意，代入，对函数进行二次求导，根据分析求导后的单调性，去判断的情况.
（2）由题意有两个零点，可利用分离参数法，将两个根转化为关于的函数，再证明结论即可.
【解析】（1）当时，，
定义域为，，
令，则.
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又，，
所以，，
所以存在唯一的，，使得，
所以当时，
时，，
时，，
所以在处取得极小值，在处取得极大值，
所以函数的极值点的个数为2.
（2）.
因为函数有两个零点，不妨设，
所以，，
所以，，
解得.
要证明，
即证明，
分式上下分别除以，
即证明，
令，即证明，
即证明.
令，，，
则，
令，，，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以对，，
所以，，
所以成立.
【小结】关键点睛：本题考查导数的综合应用，考查学生的综合能力，属于难题.
11．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）求得，令，得到，所以单调递减，得到存在，使，结合函数的单调性，进而求得函数的最大值.
（2）把不等式转化为，结合、和，得到，再把不等式，转化为，令，求得得，结合单调性转化为，当时，转化为，令和，结合单调性，即可求解.
【解析】（1）解：由题意，，定义域为，
可得，
令，则，所以单调递减，
又由，所以存在，使，
即，即，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以有最大值，最大值为.
（2）证明：不等式，即证，即证，
当时，不等式显然成立；
当时，令，可得，
因为，可得，所以在上单调递减，
所以，即，
要证不等式，只需证明：，
等价于证明：，
令，可得，
函数在上单调递减，所以，即；
当时，，只需证，
令，可得，函数在上单调递增，所以，
又由，可得，在单调递减，所以，
所以时，，所以不等式成立；
综合上述不等式得证.
【小结】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
12．(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）根据导数运算构造函数，验证函数满足罗尔中值定理的条件，根据罗尔中值定理完成证明；
（2）设，且，由罗尔中值定理可得至少有两个解，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理列不等式求的取值范围．
【解析】（1）设，
则，
所以函数在上连续，在区间上可导，
又，故，
所以由罗尔中值定理可得至少存在一个，使得，
所以，
所以方程在内至少有一个实根，
（2）因为函数在区间内有零点，
不妨设其零点为，则，，
由可得，
所以函数在上连续，在上可导，
又，，
由罗尔中值定理可得至少存在一个，使得，
因为函数在上连续，在上可导，
又，，
由罗尔中值定理可得至少存在一个，使得，
所以方程在上至少有两个不等的实数根，
设，
则，
当时，，函数在上单调递增，
所以方程在上至多有一个根，矛盾，
当时，，函数在上单调递减，
所以方程在上至多有一个根，矛盾，
当时，由，可得，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，
又，
所以，
又，，
由零点存在性定理可得，，
所以，，又，
所以，
所以的取值范围．
【小结】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
13．(1)1；
(2)且有一个零点；且有两个零点；
(3)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，由求出a并验证作答.
（2）由已知可得1是的一个零点，按分段讨论，利用导数结合零点存在性定理判断作答.
（3）求出函数及导数，探讨极值点，再结合隐形零点确定极小值大于作答.
【解析】（1）的定义域为，，，所以，
又时，，，得在上单调递增，在上单调递减，
即在处取到极大值，所以符合要求.
（2）由（1）知，当时，，函数在上单调递增，而，则有唯一零点；
当时，单调递增，单调递减，
令，，
单调递减，单调递增，，当且仅当时取等号，
因此当时，，当且仅当时取等号，
于是当时，有唯一零点；
当时，在内有唯一零点1，当时，，
令，，令，则，
即函数在上单调递增，，于是函数在上单调递增，
，即当时，，因此，有，即，
从而函数在上有唯一零点，即函数有两个零点；
当时，函数在上有唯一零点1，由，得，即有，
而，从而函数在上有唯一零点，即函数有两个零点，
综上得当或时，有一个零点；且时，有两个零点.
（3）依题意，，函数的定义为，
求导得，显然函数在上单调递增，
又，则存在，使得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
即当时，函数取得极小值，无极大值，
由，得，因此，
令，
则函数在上单调递减，因为，所以，函数的极小值
所以函数存在唯一的极小值点且极小值大于.
【小结】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
14．(1)在上单调递增；
(2)证明见解析.

【分析】（1）由题可得，后结合定义域可得单调区间；
（2）结合函数有两个极值点，可得，.则要证，等价于证明，后构造相应函数可证明结论.
【解析】（1）由题，，则.
因，则.则在上单调递增；
（2）.
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，令.
当时，，则只有一个极值点，与题意不合；
当时，.
则.
则.
.注意到，则
要证，即证.
构造函数，.
则，即在上单调递增.
则，即.
【小结】关键点睛：对于双变量问题，常利用题目中的等量关系将双变量转变为单变量问题，而证明函数不等式，常构造相应函数利用单调性解决问题.
15．(1)0
(2)证明见解析

【分析】利用导函数的判断函数的单调性即可求最小值.
先根据，为函数在上存在两个极值点，可得，为的两根，可得，带入后即证，再根据，和的关系，消元后只需要证明即，结合，即证.
【解析】（1）当时，，，，
令，，则，
所以在上单调递增，故，
所以，在上单调递增，
所以当时，的最小值为．
（2）依题意，在上存在两个极值点，，且．
所以在R上有两个不等的实根，，且．
令，，
所以当时，，所以在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故函数在处取得最小值，
要使得在R上有两个不同的零点，必须满足得，
此时，故．
因为，是的两个不等的实根，
所以，即
要证：，即证：，只要证：．
下面首先证明：．
要证：，即证：，
因，在上单调递增，
只要证：，即证：，
令，，
则，
所以在上单调递减，，即．
因为，所以．
所以，故．
要证：，只要证：，即证：，
只要证：，即证：，
事实上，，显然成立，得证．
【小结】方法点睛：
双变量问题常用解题策略：
1.变更主元，对于题目涉及到的两个变元，已知中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，这类问题我们称之不“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母x作为自变量的误区来进行设计.此时，我们变更一元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法.
2.指定主变量，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想.
3.整体代换，变量归一，通过等价转化，将关于,x的双变量问题等价转化为以x,x所表示的运算式作为整体的单变量问题，通过整体代换为只有一个变量的函数式，从而使问题得到巧妙的解决，我们将这种解决问题的思想称之为变量归一思想.
16．(1)
(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；
(2)将原不等式变形为，设，构造函数
，根据导数研究函数m(t)的最小值和零点的存在性定理可得(当且仅当时“=”成立)，进而求出结果.
【解析】（1）当时，，所以
所以，
所以切线方程为，即.
（2）由题意得，即，
因为，所以
设，
令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递增，又时，，又时，，所以存在，使，
令，因为，
所以当时，，即在区间上单调递减，
当时，，即在区间上单调递增，
所以，所以，
即，得到，当且仅当时取等号，
所以，
当且仅当时取等号，所以，又，
所以a的取值范围是.
【小结】解恒（能）成立问题，通常通过构造函数，转化成求函数的最值来求解.
17．(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数，结合一元二次方程知识分类讨论，即可求得答案；
（2）法一：根据在有两个极值点可得在上有两个不等实数根，可确定范围以及韦达定理，进而求得表达式，结合其表达式构造函数，利用导数判断单调性，推出，即可证明结论；
法二和法三：结合（1）以及解法一，由表达式构造函数求导后，将a看作变量，将该导数整理变形或者利用导数中的切线不等式的重要结论判断导数的正负，即可判断函数单调性，即可证明结论.
【解析】（1）的定义域为R，
，，对于，则，
当时，，在上单调递增，
当时，由得，
当和时，，
当时，，
在单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；.
（2）法一：在上有两个极值点，
则，即在上有两个不等实数根，
即这两个极值点即为（1）中，
，
由韦达定理知
，
，


，
由于，故在上单调递减，则，
则，即，
令，

，
由于在上单调递减，则，
故，在上单调递增，，
即，即，
而要证明，即转化为证明，
由以上结论可知，成立；
法二：结合以上分析可得
，
令，，
由于，则，则，
则
在上为减函数，则得证..
法三：，
设，则，
即在上单调递增，故，则，
故，
则

，
故，在为减函数，
而，则得证.
【小结】难点点睛：根据在有两个极值点，证明不等式成立，首先要结合导数确定的范围，继而要表示出，由此构造函数，利用导数判断函数的单调性，结合单调性解决问题，计算过程相当复杂，难度较大.
18．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）不等式化为，，用导数可得在上单调递增，从而可证得结论.
（2）求出在上的单调性，在每一个单调区间上用零点存在性定理判断零点个数，从而可得.
【解析】（1）证明：由于，则等价于.
令，则，令，则，
因为，所以，即在上为增函数，
所以，故为增函数，
所以，即成立.
（2）设，由于，则，
所以在上为增函数，所以，即.
又由于，由，得，
由（1）知当时，，
此时，当时，函数没有零点，不合题意，故舍去.
当时，因为，所以，
设，.
当时，恒成立，所以即单调递增.
当时，设，.
因为，，所以，所以即单调递增.
又，，
因此在上存在唯一的零点，且.
当时，，所以即单调递减；
当时，，所以即单调递增.
又，，，
因此在上存在唯一的零点，且.
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
又，，，
所以在上没有零点，在上存在唯一零点，因此在上有唯一零点.
综上，的取值范围是.
【小结】函数零点个数问题，基本方法一是用导数求出函数的单调区间，在每个单调上用零点存在性定理判断每个单调区间上的零点个数；二是数形结合，转化为两个函数的公共点个数问题 .
19．(1)仅有1个零点，且该零点为0
(2).

【分析】（1）利用导函数判断函数的单调性，进而判断函数的零点情况.
（2）先将转化为，
利用函数的单调性，转化为恒成立的问题.
【解析】（1）当时，，
，
当时，，得恒成立.
即可得在上单调递增.
而此时，
即可得在上仅有1个零点，且该零点为0.
（2）函数等价于，
因，所以
得
所以
所以
构造函数，上式等价于
函数在定义域内单调递增，从而可得成立.
化简可得等价于恒成立.
设函数，易知，
，
当时，因，，故，
所以在上单调递增，
所以，满足题意，
当时，时，，
此时在上单调递减，
故当时，不符合题意.
综上可得的取值范围是.
【小结】思路点睛：本题因函数中参数的位置情况较为复杂，分离参数或者讨论的范围求最值都比较复杂，故考虑将进行转化，使不等式两边结构特征转化一致即，然后构造函数，利用其单调性，将不等式进一步转化为.
20．(1)答案见解析
(2)，理由见解析

【分析】（1）求导，得到函数单调性和极值情况，并结合端点值大小，分类讨论得到函数的零点个数；
（2）判断出，不等式同构变形得到，构造，得到其单调性，并构造的单调性，证明出结论.
【解析】（1），，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，，其中，
若，即时，零点个数为0，
若，即时，零点个数为1，
若，即时，零点个数为2，
若，即时，零点个数为1，
若，即时，零点个数为0，
综上：当或时，零点个数为0，
当或时，零点个数为1，
当时，零点个数为2.
（2），理由如下：
，，
当时，，故，
当时，，故，
要证，即证，其中，
故即证，
令，，即证，
，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在上恒成立，
所以在上恒成立，
则在上单调递增，
则，
令，，
，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，即，结论得证.
【小结】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形得到，从而构造进行求解.