人教A版 (2019)选择性必修 第三册第八章 成对数据的统计分析8.2 一元线性回归模型及其应用第2课时同步练习题

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第八章　8.2　8.2.1　8.2.2　第2课时

A级——基础过关练
1．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是(　　)

【答案】A　【解析】 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
2．在回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和(　　)
A．越大 B．越小
C．可能大也可能小 D．以上均错
【答案】B　【解析】因为R2＝1－，所以当R2越大时，(yi－i)2越小，即残差平方和越小．
3．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：
学生
甲
乙
丙
丁
R2
0.95
0.50
0.85
0.77
则建立的回归模型拟合效果最好的同学是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【答案】A　【解析】R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．
4．若一函数模型为y＝sin2α＋2sin α＋1，为将y转化为t的回归直线方程，则需作变换t等于(　　)
A．sin2α B．(sin α＋1)2
C．2 D．以上都不对
【答案】B　【解析】 因为y是关于t的回归直线方程，实际上就是y关于t的一次函数，又因为y＝(sin α＋1)2，若令t＝(sin α＋1)2，则可得y与t的函数关系式为y＝t，此时变量y与变量t是线性相关关系．
5．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2如下表：
学生
甲
乙
丙
丁
散点图




残差平方和
115
106
124
103
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【答案】D　【解析】 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小，则由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．
6．(2022年信宜开学)色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批该产品测得如下数据：
色差x
21
23
25
27
29
31
色度y
15
16
17
21
22
23
已知该产品的色差和色度之间满足线性相关关系，且＝0.25x＋，现有一对测量数据为(32,21.25)，则该组数据的残差(测量值与预测值的差)为(　　)
A．0.65 B．0.75
C．－0.75 D．0.95
【答案】B　【解析】样本中心点坐标为(26,19)，代入回归直线方程得到＝12.5，所以＝0.25x＋12.5，将x＝32代入，求解得到对应的预估值为20.5，因而其残差为21.25－20.5＝0.75.故选B．
7．(多选)(2022年武安月考)下列说法错误的有(　　)
A．一组数据的预测值与真实值之间的误差越大，残差越小
B．线性回归方程对应的直线＝x＋至少经过其样本数据点中的一个点
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中，相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果差
【答案】ABD　【解析】对于A，一组数据的预测值与真实值之间的误差越大，残差越大，所以A错误；对于B，线性回归方程对应的直线＝x＋可能不过任何一个样本数据点，所以B错误；对于C，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以C正确；对于D，回归分析中，相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果好，所以D错误．故选ABD．
8．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称
A
B
C
D
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
5
已知y关于x的经验回归方程为＝0.5x＋0.4，则当销售额为5千万元时，残差为________．
【答案】0.1　【解析】当x＝5时，＝0.5×5＋0.4＝2.9，表格中对应y＝3，于是残差为3－2.9＝0.1.
9．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋4，则c＝________.
【答案】e4　【解析】由题意，得ln(cekx)＝0.3x＋4，所以ln c＋kx＝0.3x＋4，比较两边系数，得ln c＝4，所以c＝e4.
10．某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(单位：万元)和销售量y(单位：万台)的数据如下：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
广告费支出x
1
2
4
6
11
13
19
销售量y
1.9
3.2
4.0
4.4
5.2
5.3
5.4
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；
(2)若用y＝c＋d模型拟合y与x的关系，可得回归方程＝1.63＋0.99，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好．
解：(1)∵＝8，＝4.2，iyi＝279.4，＝708，
∴＝＝＝0.17，
＝－＝4.2－0.17×8＝2.84，
∴y关于x的线性回归方程为＝0.17x＋2.84.
(2)∵0.75＜0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，
∴选用＝1.63＋0.99更好．
B级——能力提升练
11．2020年初，新冠肺炎疫情暴发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：
周数x
1
2
3
4
5
治愈人数y
2
17
36
103
142
由表格可得y关于x的非线性经验回归方程为＝6x2＋，则此回归模型第4周的残差为(　　)
A．13 B．－13
C．5 D．－5
【答案】A　【解析】因为2＝(1＋4＋9＋16＋25)＝11, ＝(2＋17＋36＋103＋142)＝60，所以＝60－6×11＝－6，则y关于x的非线性经验回归方程为＝6x2－6.取x＝4，得＝6×42－6＝90，所以此回归模型第4周的预报值为90，则此回归模型第4周的残差为103－90＝13.
12．(多选)(2021年广州期末)某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x(2012年作为第1年)的函数．运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法正确的是(　　)

A．销售额y与年份序号x呈正相关关系
B．三次函数回归模型的残差平方和大于直线回归模型的残差平方和
C．三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
D．根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为1 698.719亿元
【答案】AC　【解析】由散点图的变化趋势可知，销售额y与年份序号x呈正相关关系，故选项A正确；由散点图以及直线回归模型和三次函数回归模型的位置关系可知，三次函数回归模型的残差平方和小于直线回归模型的残差平方和，故选项B错误；因为0.999>0.936，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，故选项C正确；因为三次函数为y＝0.168x3＋28.141x2－29.027x＋6.889，则当x＝10时，y＝2 698.719亿元，故选项D错误．故选AC．
13．对两个具有非线性相关关系的变量x，y进行回归分析，设μ＝ln y，υ＝(x－4)2，利用二乘法得到μ关于υ的经验回归方程为＝－0.5υ＋2，则的最大值是________．
【答案】e2　【解析】将μ＝ln y，υ＝(x－4)2代入经验回归方程＝－0.5υ＋2，得＝e－0.5(x－4)2＋2.
当x＝4时，＝e－0.5(4－4)2＋2＝e2，故最大值为e2.
14．(2021年武汉期中)为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型y＝cekx拟合比较合适．令z＝ln y，得到＝1.3x＋，经计算发现x，z满足下表，则k＝________，c＝________.
天数x
2
3
4
5
6
z
1.5
4.5
5.5
6.5
7
【答案】1.3　e－0.2　【解析】由表知，＝×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，＝×(1.5＋4.5＋5.5＋6.5＋7)＝5，
由＝1.3x＋恒过点，知5＝1.3×4＋，解得＝－0.2，∴＝1.3x－0.2，即ln y＝1.3x－0.2，∴y＝e1.3x－0.2＝e－0.2·e1.3x，∴k＝1.3，c＝e－0.2.
15．(2022年日照期末)共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点6天的使用单车用户的数据如下所示，用两种模型①y＝bx＋a，②y＝b＋a分别进行拟合，得到相应的回归方程1＝10.7x＋3.4，2＝35.5－22.8，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值：
日期x/天
1
2
3
4
5
6
＝3.5
＝41
iyi＝1 049
＝91
用户y/人
13
22
43
45
55
68
模型①的残差值
－1.1
－2.8
7.5
－1.2
－1.9
0.4
模型②的残差值
0.3
－5.4
4.3
－3.2
－1.6
3.8
(1)残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由．
(2)残差绝对值大于3的数据认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后，重新求出(1)中所选模型的回归方程．

解：(1)应该选择模型①.模型①的残差值的绝对值之和为1.1＋2.8＋7.5＋1.2＋1.9＋0.4＝14.9；模型②的残差值的绝对值之和为0.3＋5.4＋4.3＋3.2＋1.6＋3.8＝18.6.
∵14.9<18.6，
∴模型①的拟合效果较好，应该选模型①.
(2)剔除异常数据，即剔除第3天的数据后，得＝×(3.5×6－3)＝3.6，＝×(41×6－43)＝40.6，
iyi＝1 049－3×43＝920，＝91－32＝82.
∴＝＝＝＝11，＝－＝40.6－11×3.6＝1.
∴y关于x的回归方程为＝11x＋1.