第4讲 导数中构造函数比大小问题题型总结（解析版）

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第4讲 导数中构造函数比大小问题题型总结
【典型例题】
题型一：构造比较大小

此函数定义域为，求导，当时，，故为增函数，当时，，故为减函数，当时，取得极大值为，且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较
【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若，则的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数，通过求导分析其单调性即可得到答案
【详解】
解：，设，则时，，故在上单调递减，则，即，所以．
故选：A.
【例2】（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小.
【详解】
设,则,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
故当时,函数取得最大值,
因为,,
,
当时,,函数单调递减,可得,
即.
故选:C
【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（       ）
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以构造函数，然后通过导数计算出函数的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数的单调性即可比较出大小．
【详解】
解：构造函数，则，
当时，，时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以当时取得最大值，
，
由可得，故正确；
，由，可得，故错误；
，
因为函数在上递减，
所以，故正确；
因为，所以，
即，即，则，
即，故错误，
综上所述，有2个正确.
故选：B．
【点睛】
本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．
【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a，b，c均为区间内的实数，且，，，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.
【详解】
解：令，则，
当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，
因为，所以，
因为a，b，c均为区间内的实数，且，，，
所以，
所以，
故选：B.
【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据a、b、c算式特征构建函数，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c的大小关系.
【详解】
令，则，
因此在上单调递减，
又因为，，，
因为，所以．
故选：B．
【题型专练】
1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断、，即可得解；
【详解】
解：令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以
又
所以，即.
故选：A
2.（2022·浙江台州·高二期末）设，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设，，，构造并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小.
【详解】
由题设，，，，
令且，可得，
所以有，则上递增；
有，则上递减；
又，故.
故选：B
3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1）（2）（3）.三个不等式中，正确的个数为（       ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目特点，构造函数，则可根据函数的单调性解决问题.
【详解】
首先，我们来考察一下函数，则
，
令解得，
令解得，
故在区间上单调递增，在区间单调递减，

所以，（1），即，即，则正确；
（2），即，即，则错误；
（3），即，
所以，，则正确
故选：C.
4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设函数，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.
【详解】
设，则，
当时，，递增，当时，，递减，
当时，函数取得最小值，
由于 ，故，即，
故选：A
5.（2022·山东日照·高二期末）是圆周率，是自然对数的底数，在，，，，，，，八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.
【答案】         
【解析】
【分析】
分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为以及的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数的单调性，判断出最大的数．
【详解】
显然八个数中最小的数是.
函数是增函数，且，∴；
函数是增函数，且，；
函数是增函数，且，；
函数在是增函数，且，，则八个数中最小的数是
函数在是增函数，且，，
八个数中最大的数为或，构造函数，
求导得，当时，函数在是减函数，，
即，即，即，，
则八个数中最大的数是.
故答案为：；．
6.（2022·安徽省宣城中学高二期末）设，则的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，利用导数求得的单调性和最值，化简可得，，，根据函数解析式，可得且，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.
【详解】
设，
则，
当时，，则为单调递增函数，
当时，，则为单调递减函数，
所以，
又，，，
又，，且在上单调递减，
所以，
所以.
故选：D
7.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知实数，，满足，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
判断出，构造函数，判断时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b的大小，即可得答案.
【详解】
由，得 ，
设 ，则，
当时，，单调递增，
因为，所以，
所以，故，则 ，
即有，
故.
故选：C.
题型二：利用常见不等式关系比较大小
1、常见的指数放缩：
证明：设，所以，所以当时，，所以为减函数，当当时，，所以为增函数，所以当时，取得最小值为，所以，即
2.常见的对数放缩：
3.常见三角函数的放缩：
【例1】（2022·湖北武汉·高二期末）设，，，则下列关系正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别令、、，利用导数可求得，，，由此可得大小关系.
【详解】
令，则，
在上单调递增，，即，则；
令，则，
在上单调递减，，即，则；
，即；
令，则，
在上的单调递增，，即，
则，即；
综上所述：.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.
【例2】（2022·山东菏泽·高二期末）已知，，，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先设，利用导数得到，从而得到，设，利用导数得到，从而得到和，即可得到答案.
【详解】
解：设，，令，解得.
，，单调递减，
，，单调递增.
所以，即，当且仅当时取等号.
所以.
又，，故，所以；
设，，令，解得.
，，单调递增，
，，单调递减.
所以，即，当且仅当时取等号.
所以，故，
又，所以，
故.
故选：B.
【例3】（2022·四川凉山·高二期末（文））已知，，，则（       ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数，由导数确定单调性，进而即得．
【详解】
设，则，在时恒成立，
所以在上是增函数，
所以，即，，
∴，又，
∴，即，
所以．
故选：C．
【例4】（2022·四川绵阳·高二期末（理））若，,，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可比较得出、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论.
【详解】
构造函数，其中，则，
所以，函数在上为增函数，故，
则，即，
，因此，.
故选：D.
【例5】（2022·全国·高考真题（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解.
【详解】
因为,因为当
所以,即,所以；
设，
，所以在单调递增，
则,所以，
所以,所以，
故选：A
【题型专练】
1.（2022·福建·莆田一中高二期末）设，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数（），证明，令，排除选项A,B,再比较大小，即得解.
【详解】
解：构造函数（），，，
所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以，
令，则，，，考虑到，可得，等号当且仅当时取到，故时，排除选项A，B.
下面比较大小，由得，故，所以.
故选：D.
2.（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数求解函数的单调性，利用单调性进行求解.
【详解】
解：设，则，
设，则，
故在区间上单调递增，即，
即，故在区间上单调递增，
所以，可得，故，
利用三角函数线可得时，，
所以，即，
所以，故
综上，
故选：D.
3（2022·湖北武汉·高二期末）设，，，则下列关系正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别令、、，利用导数可求得，，，由此可得大小关系.
【详解】
令，则，
在上单调递增，，即，则；
令，则，
在上单调递减，，即，则；
，即；
令，则，
在上的单调递增，，即，
则，即；
综上所述：.
故选：D.
题型三： 构造其它函数比大小（研究给出数据结构，合理构造函数）
【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知，，，其中，，，则a，b，c的大小关系为（       ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数，并求，利用函数的图象去比较三者之间的大小顺序即可解决.
【详解】
将题目中等式整理，得，，，
构造函数，，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
函数的大致图象如图所示．

因为，，，且，，，
则由图可知，，所以．
故选：A．
【例2】（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设，，，其中为自然对数的底数，则，，的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
可判断，，，再令，，，求导判断函数的单调性，从而比较大小．
【详解】
解：，，，
令，，，
，
故在，上是减函数，
故，
即，
故，即，
故选：D．
【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据给定条件构造函数，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.
【详解】
令函数，求导得，令，则，故，单调递减，又，故，即，而，则，即，所以，
故选：A
【例4】（山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质可比较的大小，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出，从而可比较出三个数的大小
【详解】
因为在上为增函数，且，
所以，
因为，所以，即，
令（），得，
所以在上递增，
所以，所以，
令，则，即，即，
所以，
故选：D
【例5】（2022·四川南充·高二期末（理））设，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据给定数的特征，构造对应的函数，借助导数探讨单调性比较函数值大小作答.
【详解】
令函数，，
显然，则，
令，，
求导得，即在上单调递减，
，，即，
因此当时，，
取，则有，
令，，，
令，，，
在上单调递减，
，，有，则在上单调递增，
，，因此当时，，
取，则有，
所以.
故选：A
【点睛】
思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.
【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
作差法比较出，构造函数，利用函数单调性比较出，从而得出.
【详解】
，所以，故，又，则在上单调递减，又，，所以存在，使得，且在时，，在时，，即在上单调递增，在单调递减，且，所以，又因为，所以当时，，其中因为，所以，所以，故，即.
故选：B
【例7】（2022·河南洛阳·三模（理））已知，，，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数，，求其单调性，从而判断，，的大小关系.
【详解】
构造，，
，
在时为减函数，且，
所以在恒成立，
故在上单调递减，
所以，
即，所以，即.
故选：D
【点睛】
对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.
【例8】（2022·河南·模拟预测（理））若，，，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数可得，进而可得，可得，再利用函数，可得，即得.
【详解】
令，则，
∴在上单调递增，
∴，
，，
∵，
∴，故，
设，则，
所以函数在上单调递增，
由，所以时，，即，
∴，
又，
∴，
故.
故选：B.
【点睛】
本题解题关键是构造了两个不等式与进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.
【题型专练】
1（2022·山东烟台·高二期末）设a=0.9，，，则a，b，c的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，，利用导数研究其单调性，再由单调性可比较大小.
【详解】
令，因为
所以，当时，，单调递减，
所以，即，；
令，因为
所以，当时，，单调递增，
所以，即，，即.
综上，.
故选：B
2.（2022·山东青岛·高二期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数得出大小，又即得出结论.
【详解】
构造函数，则，
在上恒成立，则在上单调递减，故，则，
，则，
由对于函数，恒成立，
所以， 即在上恒成立.
所以，（注： ）
所以，
故选：C
3.（2022·湖北襄阳·高二期末）设，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据式子结构，构造函数，利用导数判断单调性，得到，即可判断出.记，推理判断出.
【详解】
.
记，则，所以在上单调递减.
所以，所以.
.
记，则.
所以在上，，则单调递减；在上，，则单调递增；所以，
所以，即.
所以.
综上所述：.
故选：C
4.（2022·福建宁德·高二期末）已知，，且，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题设有，分别构造、、、，利用导数研究在上的单调性，进而判断各项的正误.
【详解】
由，即，
A：若且，则，
故，，即在上存在零点且在上递增，
所以在上不单调，则不一定成立，排除；
B：若且，则，
所以上，递增；上，递减；
故在上不单调，则不一定成立，排除；
C：若且，则，即在上递增，
所以，即，排除；
D：若且，则，即在上递增，
所以，即，正确.
故选：D
5.（2022·贵州贵阳·高二期末（理））设，，，则a，b，c的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析可得，，，令，利用导数可得的单调性，根据函数单调性，可比较和的大小，即可得答案.
【详解】
由题意得，，，
令，
则，所以在为减函数，
所以，即，
所以，则，即.
故选：D
6.（2022·重庆南开中学高二期末）已知，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
，令，利用导数求出函数的单调区间，令，利用导数求出函数的单调区间，从而可得出和的大小，从而可得出的大小关系，将两边同时取对数，然后作差，从而可得出的大小关系，即可得出结论.
【详解】
解：，，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
即，
所以，
即，所以，
由，得，
由，得，
，
因为，
所以，所以，
所以，即，
所以，
综上所述.
故选：A.
【点睛】
本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.
7.（2022·湖北恩施·高二期末多选）已知，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据题意可将式子变形为，，，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解.
【详解】
解：由题意知，，对三个式子变形可得，，，
设函数，则.
由，得；由，得,
则在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以,所以.
故选：AC.
8.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知，且满足，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先对已知条件取对数后得到，，.根据式子结构，构造函数，利用导数判断单调性，比较大小.
【详解】
由得即.
同理得：，.
令则.
故在上单调递增，上单调递减.所以.
故选：C.