第17讲 数列求和5种常考题型总结(解析版）

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第17讲 数列求和5种常考题型总结
【题型目录】
题型一：分组求和法
题型二：裂项相消法求和
题型三：错位相减法求和
题型四：先求和，再证不等式
题型五：先放缩，再求和
【典型例题】
【例1】已知数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用 ，即可得的通项公式；
（2）由题可知，利用分组求和法即得.
（1）
因为，
当时，，
当时，，
因为也满足，
综上，；
（2）
由题可知，
所以.
以．
【例2】已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，求数列中前40项的和.
【答案】(1)，；(2).
【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；
（2）分析中前40项中与各有多少项，分别求和即可．
【详解】（1）由题设得：，
∵，则，故是首项，公差为2的等差数列，
∴，
当时，得：，
当，由①，②，
由①－②整理得：，，
∴，故，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故.
（2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前8项：，，……，，含有数列的前32项：，，，……，；
∴．
【例3】设是各项为正的等比数列的前n项的和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，求的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，由已知建立方程组求解可得数列的通项公式；
（2）数列中在之前共有项，再分组，分别利用等差，等比求和公式可求得答案
【详解】（1）设等比数列的公比为，
则，解得，
则等比数列{an}的通项公式为；
（2）数列中在之前共有项，
当时，；当时，，
则
，
则所求的数列的前100项和为．
【题型专练】
1.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，．
(1)求数列与数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，.(2)
【分析】（1）直接根据等差数列等比数列通项公式计算得到答案.
（2），利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算得到答案.
【详解】（1），，解得，（舍去）.
故，.
（2），
故.
2.已知数列的前项和为，且，请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是公比为2的等比数列，，求数列的前项和.
【答案】(1)任选①②③，都有；(2)任选①②③，
【分析】（1）由已知得出数列是等差数列，
选①，利用等差数列的基本量法求得后可得通项公式；
选②，由等比数列性质得，再利用等差数列的基本量法求得后可得通项公式；
选③，由等差数列的前项和公式求得后得通项公式；
（2）求出，用分组求和法求和．
（1）
由得，即，所以是等差数列，公差为1，
选①，，
则，，所以；
选②，成等比数列，则，所以，解得，
所以；
选③，，，，
所以；
（2）
任选①②③都有：
由题意，，所以，

．
3．（2022·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）设数列的公差为，根据等比中项列出方程求得即可得到通项公式.
（2）由题意计算出在中对应的项数，然后利用分组求和即可.
（1）
设数列的公差为，因为是和的等比中项，
则且
则或（舍）
则，
即通项公式
（2）
因为与（，2，…）之间插入，
所以在数列中有10项来自，10项来自，
所以
4.已知等差数列满足，设.
(1)求的通项公式，并证明数列为等比数列；
(2)将插入中，插入中，插入中，，依此规律得到新数列，求该数列前20项的和.
【答案】(1)，证明见解析，(2)
【分析】（1）先由递推公式求出通项公式，即可得的通项公式，由即可证明为等比数列；
（2）先确定数列前20项的和包含的前5项，的前15项，分组求和即可.
（1）
设等差数列的公差为，因为，所以，故，所以.
因为，所以数列是公比为4的等比数列.
（2）
由题意，该数列前20项的和包含的前5项，的前15项，
设该数列前项和为的前项和为的前项和为，
所以.
题型二：裂项相消法求和
【例1】首项为4的等比数列的前n项和记为，其中成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据等差中项及数列和的意义化简可得公比，由等比数列通项公式求解即可；
（2）裂项相消法求出数列的和即可.
【详解】（1）∵成等差数列，
∴
，
∴等比数列公比，
∴
（2），
∴，
∴.
【例2】已知数列的首项为正数，其前项和满足．
(1)求实数的值，使得是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】(1)当时，，，解得；
当时，把代入题设条件得:
，即，
很显然是首项为8+1=9，公比为9的等比数列，
∴；
(2)由（1）知是首项为，公比的等比数列，
所以，．
故数列的前项和为：
.
【例3】数列的前n项和，.
(1)求；
(2)令，求数列的前n项和.
【答案】(1)，.(2).
【分析】（1）根据已知，利用数列前n项和与通项的关系以及等比数列求解.
（2）根据第（1）问的结论以及对数的运算性质，再利用裂项相消法进行求解.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，
即，所以 ，即，
所以数列为等比数列，且首项为2，公比为4，
所以，.
（2）由（1）有：，所以，
即，所以，
所以，令，
所以

.
【例4】（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知等差数列的首项，记数列的前项和为，且数列为等差数列.
(1)证明：数列为常数列；
(2)设数列的前项和为，求的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）设数列的公差为，则，平方后求出，再利用可表示出，从而可得数列的公差为，从而可表示出，然后可求出为常数，
（2）由（1），，则，化简后利用裂项相消法可求得结果.
（1）
证明：设数列的公差为，则，
，
所以
所以

.
所以
所以的公差为，
因为
所以，即，
所以，
所以为常数，
所以数列为常数列；
（2）
由（1），，对也成立，
因为，，
所以




.
所以

.
【例5】已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)，是数列的前项和，求．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由数列的递推关系式可得数列是等差数列，由此求得数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出．
（1）
由，有，
可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以；
（2）
，
．
【题型专练】
1．记为等比数列的前项和.已知，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由等比数列的基本时法求得公比，首项后得通项公式；
（2）用裂项相消法求和，然后解方程得．
（1）
设的公比为，因为，
所以，
又因为成等差数列，所以，
所以，解得.
由，解得.所以.
（2）
因为，
所以，
因为，所以，
解得.
2．已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；
（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得，即可证明.
【详解】（1）依题意可得，当时，，，则；
当时，，，两式相减，
整理可得，又为正项数列，
故可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）证明：由（1）可知，所以，


，所以成立.
3.已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】(1)等差数列中，，解得，因，，成等比数列，即，
设的公差为d，于是得，整理得，而，解得，
所以.
(2)由（1）知，，
所以.
4.记为数列的前项和，已知，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．
从①   ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.
【解析】(1)①，
当时，，；当时，②
①-②得，即
又，
∴数列是从第2项起的等比数列，即当时，．
．
(2)若选择①：，
．
若选择②，则③，④，
③-④得，
．
5．已知数列前n项和为，且，记.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求.
【解析】(1)，当时，；
当，时，，.
当时也符合, .
(2)

.
题型三：错位相减法求和
【例1】已知数列满足，且，数列是各项均为正数的等比数列，为的前n项和，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前n项和为，求的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由递推关系化简可证明数列为等差数列，再由通项公式求解即可；
（2）根据错位相减法求和后做差判断单调性，利用单调性求取值范围.
【详解】（1）由，
∴（常数），
故数列是以为公差的等差数列，且首项为，
∴，
故；
（2）设公比为q（），由题意：，
∴，
解得或（舍），
∴，
∴，
∴，
有，
两式相减得

，
∴，
由，知在上单调递增，
∴.
【例2】已知各项均不为零的数列满足，且，，设.
(1)证明：为等比数列；
(2)求的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题知，进而根据等比数列的定义证明即可；
（2）结合（1）得是常数列，进而得，，再根据错位相减法和分组求和求解即可.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴上述等式两边同除以得，
即，
∴，即，
又
∴是以为首项，为公比的等比数列，
∴.
（2）解法1：由（1）知，即，
∵，∴，
∴是常数列，∴，
∴，
令，
则
①
，②
①式减②式得
，
，
化简整理得.
解法2：由（1）知，即，
∵，∴，
∴是常数列，∴，
∴，，
，
，
∴
∴，
∴为常数列.
∵，
∴.
【例3】已知数列的首项.
(1)求；
(2)记，设数列的前项和为，求.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由可得数列等比，利用的通项公式即可得到；
（2）利用错位相减和分组求和求解即可.
【详解】（1）由题意可得，，，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，故.
（2）由（1）得，
所以
令①，则，
因为②，
①-②得，
所以，
所以.
【例4】已知各项为正数的数列前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列前n项和为，求证：．
【答案】(1)，(2)证明见解析
【分析】（1）利用求得的递推关系，得数列为等差数列，从而易得通项公式；
（2）由错位相减法求得和即可证．
【详解】（1）当n＝1时，，解得：．
当时，由得：，
因此，，又，
∴，即：是首项为1，公差为2的等差数列，
因此，的通项公式．
（2）依题意得：，，
∴，
两式相减，得：
，，因此，．
【例5】已知数列的前n项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由与的关系即可求得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求数列的前n项和.
【详解】（1）当，，故，
因为，当时，,
两式相减得：，即，
故数列为等比数列，公比，
所以．
（2），
故，
故，
令①，
②，
①-②得


即，
故．
【题型专练】
1．若公比为c的等比数列的首项且满足．
(1)求c的值；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)或；(2)答案见解析.
【分析】（1）由题意列方程即可求解；（2）当时，数列为等差数列，直接套公式即可求和；当时，利用错位相减法求和.
【详解】（1）由题设,当时, .
所以.
因为为等比数列，所以，所以，解得：或.
（2）当时，为常数列，所以.
所以.
所以数列的前n项和；
当时，为等比数列，由，所以，所以.
所以数列的前n项和：
①
两边同乘以，得：
②
①式减去②式,得：


所以
综上所述：当时，；当时，
.
2．已知数列的前n项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前n项和为,若存在且,使得成立,求实数的最小值.
【答案】(1)，(2)3
【分析】(1)由题知,令为代入,注意,两式相减即可得到之间的关系,判断其数列类型,检验,得出通项公式.
(2)由(1)得的通项公式代入,得的通项公式,得到其前n项和为,代入不等式中,使全分离,得到,求的最小值即可,注意且.
【详解】（1）解:由题知,得,
则,
当时,由得,
上述两式相减得,即,
则且,
可得数列是以1为首项,3为公比的等比数列,
故数列的通项公式为.
（2）由(1)知,
则,                         
,
两式相减得

,
于是得,
当且时,由,
得,
令,且,
则,且,
即,
则当且时,数列是单调递增数列,
即,因此,
所以实数的最小值是3.
3．已知数列前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）当时，求出，当时，，两式相减可得，又因为，所以从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式.
（2）当时，求出，当时，再由错位相减可求出，再检验是否适合，即可得出答案.
【详解】（1）当时，，所以，
当时，，
两式相减可得：，
所以，所以
所以，又因为，
所以从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以①
（2）当时，，
所以，
当时，，
所以，
则①，
②，
①②得：，
，
，
所以
又因为当时，，
所以.
4.已知数列的前n项和为，且，.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，（）
(2)

【分析】（1）由题意，根据公式，可得数列递推公式（），结合等比数列的通项公式，可得答案；
（2）由题意，根据错位相减法，可得答案.
（1）
因为，所以（），
故，即（）
又，故，即，因此（）
故是以2为首项，3为公比的等比数列.因此（）
（2）
因为①
故②
①②，得
，
即.
5.已知等差数列的前n项和为，，．正项等比数列中，，．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，，(2)
【解析】
【分析】
（1）由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可；
（2）由错位相减法求解即可
(1)
设等差数列的公差为d，
由已知得，，解得，       
所以，
即的通项公式为；       
设正项等比数列的公比为，因为，，
所以，所以，
解得或（负值舍去），
所以．
(2)
，             
所以，       
所以，
相减得，
，
所以．
题型四：先求和，再证不等式
【例1】设为数列{}的前n项和，已知，且．
(1)证明：{}是等比数列；
(2)若成等差数列，记，证明＜．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）由与的关系，等比数列的定义证明，
（2）由题意列式解得后得{}通项公式，再由裂项相消法求和证明，
【详解】（1），
当，
两式相减得．
又因为，所以数列是公比为3的等比数列．
（2）由，
得，
，，
．

，
所以．
【例2】已知数列的前项和为，___________，.在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
①；②；③
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，是数列的前项和，若对任意的，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）选择①，利用与的关系及等比数列的通项公式即可求解；
选择②，利用的思想，作差可得，再检验的情形，即可求解；
选择③，直接做商可得，再检验的情形，即可求解；
（2）根据（1）的结论及裂项相消法求出数列的前项和，再将不等式恒成立问题转化求函数的最值问题，结合函数的单调性即可求解.
【详解】（1）选择①，由知，当时，，
由，得，即，
当时，，解得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故.
选择②，由知，当时，
由，得，
在中，令，则，满足上式，
所以，即.
选择③，由知，当时，
由，得，
在中，令，则，满足上式，
所以.
（2）由（1）知，，所以，
所以数列的前项和为，
对于任意的，，所以，即.
设所以恒成立，即，所以单调递减，
所以，于是有，
故实数的取值范围为.

【例3】（2022江西丰城九中高二阶段练习）等差数列中，前三项分别为，前项和为，且.
(1)求和的值；
(2)求=
(3)证明:
【答案】(1)；.
(2)
(3)见解析

【分析】（1）根据等差数列列式求解出与，代入表示，即可求出；
（2）由（1）求出，再由裂项相消法求；
（3）由（2）知，而，所以，即可证明.
(1)
∵等差数列中，前三项分别为，，，
∴，解得，
∴首项，公差．
∵，
化为：．
解得．
(2)
由（1）可得：，
∴，
∴．
∴
(3)
因为，而，所以.
【例4】（2022·浙江·高二期末）已知数列满足，.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)

【分析】（1）依题意可得，再结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得，再分为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可.
（1）
证明：因为，
所以，即，
因为，所以，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则．
（2）
解：由（1）知，
所以．
当为偶数时，
，
因为是单调递减的，所以．
当为奇数时，
，
又是单调递增的，
因为，所以．
要使存在，使，只需，即，
故的取值范围是．
【题型专练】
1．已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，求证：.
【答案】(1)，(2)证明见解析
【分析】（1）利用递推关系分类讨论与两种情况，注意检验，易得；
（2）利用裂项求和法易得，再由可推得.
【详解】（1）由已知可得当时，；
当时，，得；
当时，由，
得，
两式相减可得，则，
经检验：满足，
所以；
（2）由（1）得，
则，
因为，则，故，则，故，所以，即，得证.
2.（2022陕西安康市教学研究室高一期末）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据数列的递推式可得，利用累乘法求得数列通项公式；
（2）求出数列的前项和的表达式，利用错位相减法可证明结论.
（1）
数列满足，，，
．当n=1时成立
（2）
，，
两式相减得，
．
3．已知数列的首项，，.
(1)证明：为等比数列；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）由题知，再根据等比数列的定义证明即可；
（2）结合（1）得，，进而根据裂项求和方法求解即可证明.
【详解】（1）解：∵，
∴
∴（且）
又∵
∴是以4为首项，以2为公比的等比数列.
（2）解：由（1）得，
∴
∴

∵，
∴，
∴.
4．已知数列{}的前项和为，，
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，为数列的前项和.证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）利用关系及等比数列的定义求通项公式；
（2）由（1）得，应用裂项相消法求，结合数列单调性即可证结论.
(1)
当时，，又，则，
当时，，解得，
故是首项为，公比为的等比数列，则；
(2)
因为，则，
故，又，
所以，即，又是单调递增数列，则
综上，.
5.已知数列的前项和，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，
（i）证明：数列为等差数列；
（ii）设数列的前项和为，求成立的的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）

【分析】（1）根据即可求解；
（2），两边除以即可证明等差数列；利用错位相减法求，解不等式即可求得的最小值.
（1）
，
.
时，，也适合上式，
所以.
（2）
（i）证明：当时，，
将其变形为，即，
数列是首项为，公差为2的等差数列.
（ii）解：由（i）得，，所以.
因为，
所以，
两式相减得，
整理得.
∴，即.∴，
故.
6．（2022·安徽·高三开学考试）已知数列满足且，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）将已知条件与两式相减，再结合等比数列的定义即可求解；
（2）利用裂项相消求和法求出即可证明.
（1）
解：因为，所以，
两式相减得，
当时，， 又，所以，
所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以；
（2）
证明：，
所以， 由，得，
所以，
综上，.
题型五：先放缩，再求和
【例1】已知数列的前项和为， 当时，．
(1)求数列的通项公式;
(2)求证：．
【答案】(1)，(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意证明是以为首项，为公差的等差数列，进而得，再根据求解即可；
（2）结合（1）得，再根据裂项求和，结合不等式放缩求解即可.
【详解】（1）解：因为当时，，
所以， ，
因为当时，，即
所以，是以为首项，为公差的等差数列，
所以，，，
所以，当时，，
当时，，满足，
所以
（2）解：结合（1）得，
所以，，
所以，当时，，
当时，

，
所以，.
【例2】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知数列单调递增且，前项和满足，数列满足，且，.
(1)求数列、的通项公式;
(2)若，求证：.
【答案】(1)，，(2)证明见解析
【分析】（1）由结合可求得的值，令，由题意推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，分析可知数列为等比数列，确定的该数列的公比，结合的值可求得数列的通项公式；
（2）由时，，由时，利用放缩法可得出，再利用等比数列的求和公式可证得结论成立.
(1)
解：当时，，所以或，因为，故；
当时，，即，
因为是单调递增的数列，所以，，则，即，
所以，是等差数列，公差为，首项是，所以，.
由得，，所以是等比数列，，，
则数列的公比为，所以，.
(2)
解：当时，，
当时，.
所以，
.
综上可知，对任意的，成立.
【例3】已知数列的前项和为，且满足，
(1)求和
(2)求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析

【分析】（1）利用可得，从而可求及.
（2）利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立.
（1）
时，，时，，
所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列．
所以，即，
当时，，
当时，，不满足上式，
所以，
（2）
当时，，原式成立．
当时，


所以．
【例4】已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）分析可知数列是首项为，公比为的等比数列， 数列是首项为，公比为的等比数列，求出、的表达式，即可得出数列的通项公式；
（2）利用放缩法可得出，结合等比数列的求和公式可证得原不等式成立.
(1)
解：由得．        
所以，当时，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，       
故，即．    
当时，则，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，．
所以．
(2)
证明：由（1）知，     
所以.
故原不等式成立.
【题型专练】
1.已知数列满足：，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）依题意可得，即可得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，即可得到，再利用等差数列前项和公式计算可得.
（1）
解：因为，，所以，
又，所以，，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）
解：由（1）可得，所以，
所以，
所以.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）由已知得，，两式相除整理得，从而可证得结论，
（2）由（1）可得，再利用累乘法求，从而，然后利用放缩法可证得结论
（1）因为，所以，所以，两式相除，得，整理为，再整理得，．所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．
（2）因为，所以，由（1）知，，故，所以．所以．又因为，所以．
3.已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.
【解析】(1)当时，，即
由，则
两式相减可得，即
所以，即
数列为等比数列
则，所以
则
(2)

所以
4．已知数列满足，且,是的前项和.
(1)求；
(2)若为数列的前项和，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】(1)先用累加法求通项公式，再由裂项相消法可得；
(2)由(1)可得的通项公式为，放缩得，再由裂项相消法可证.
(1)
∵，
∴，，…
由上述个等式相加得
∴，
∴，
.
(2)
令，
∴，
又因为，且
∴，
综上，，得证.