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中考数学复习压轴解答题题组练二含答案
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压轴解答题题组练二(针对中考:解答题第24—25题)(时间:45分钟 满分:20分) 1.(10分)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C,连接AC.(1)求抛物线的函数解析式;(2)如图①,连接BC,点P为第一象限抛物线上一动点,过点P作PM∥x轴交直线BC于点M,过点P作PN∥AC交x轴于点N,求PN+PM的最大值及此时点 P的坐标;(3)如图②,把抛物线y=ax2+bx+4向右平移2个单位长度,平移后的抛物线与原抛物线相交于点Q,点E是原抛物线对称轴上一动点,点F是平移后抛物线上一动点,直接写出所有使得以点A,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形的点F的坐标,并把求其中一个点F的坐标的过程写出来.解:(1)抛物线的函数解析式为y=-x2+x+4.(2)设P(0<t<4),过点P作PG⊥x轴于点G,则∠PGN=90°,PG=-t2+t+4,∵抛物线y=-x2+x+4与y轴交于点C,∴C(0,4),∴OC=4.∵OA=2,∴AC= = =2 .∵PN∥AC,∴∠PNG=∠CAO.∵∠PGN=∠COA=90°,∴△PNG∽△CAO,∴===,∴PG=PN.∵B(4,0),C(0,4),∴直线BC的解析式为y=-x+4.∵PM∥x轴,∴点M的纵坐标为-t2+t+4,∴-x+4=-t2+t+4,解得x=t2-t,∴M,∴PM=t-=-t2+2t,∴PN+PM=PG+PM =-t2+t+4+ =-+.∵-1<0,0<t<4,∴当t=时,PN+PM有最大值,最大值为,此时点P的坐标为.(3)抛物线y=-x2+x+4向右平移2个单位长度,得到新抛物线y=-x2+3x,联立两函数解析式,得解得∴Q(2,4).∵原抛物线的对称轴为直线x=1,∴设E(1,m).∵点F是平移后抛物线上一动点,∴设F.Ⅰ)当AQ,EF为对角线时,AQ,EF的中点重合,∴n+1=2-2,解得n=-1,∴-n2+3n=-,∴F;Ⅱ)当AE,FQ为对角线时,AE,FQ的中点重合,∴n+2=-2+1,解得n=-3,∴-n2+3n=-,∴F;Ⅲ)当AF,EQ为对角线时,AF,EQ的中点重合,∴n-2=1+2,解得n=5,∴-n2+3n=,∴F;综上所述,点F的坐标为,或. 2.(10分)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,D为BC的中点,E,F分别为AC,AD上任意一点,连接EF,将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG,连接FG,AG. ① ② ③(1)如图①,点E与点C重合,且GF的延长线过点B,若点P为FG的中点,连接PD,求PD的长;(2)如图②,EF的延长线交AB于点M,点N在AC上,∠AGN=∠AEG且GN=MF,求证:AM+AF=AE;(3)如图③,F为线段AD上一动点,E为AC的中点,连接BE,H为直线BC上一动点,连接EH,将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内,得到△B′EH,连接B′G,直接写出线段B′G的长度的最小值.(1)解:如图①,连接CP,由旋转知CF=CG,∠FCG=90°,∴△FCG为等腰直角三角形,∵点P是FG的中点,∴CP⊥FG,∵点D是BC的中点,∴DP=BC,在Rt△ABC中,AB=AC=2,∴BC=AB=4,∴DP=2.(2)证明:如图②,过点E作EH⊥AE交AD的延长线于点H,∴∠AEH=90°,由旋转知EG=EF,∠FEG=90°,∴∠FEG=∠AEH,∴∠AEG=∠HEF,∵AB=AC,点D是BC的中点,∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°,∴∠H=90°-∠CAD=45°=∠CAD,∴AE=HE,∴△EGA≌△EFH(SAS),∴AG=HF,∠EAG=∠H=45°,∵∠AGN=∠AEG,∴∠AGN=∠HEF,∴∠AGN=∠AMF,∵GN=MF,∴△AGN≌△AMF(AAS),∴AG=AM,∵AG=FH,∴AM=FH,∴AF+AM=AF+FH=AH=AE.(3)解:∵点E是AC的中点,∴AE=AC=,根据勾股定理得BE==,由折叠知BE=B′E=,∴点B′是在以点E为圆心,为半径的圆上,由旋转知EF=EG,∴点G是在以点E为圆心,EG为半径的圆上,∴B′G的最小值为B′E-EG,要使B′G最小,则EG最大,即EF最大,∵点F在AD上,∴点F在点A或点D时,EF最大,最大值为,∴线段B′G的长度的最小值为-.
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