中考数学复习压轴解答题题组练四含答案

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  压轴解答题题组练四(针对中考：解答题第24—25题)(时间：45分钟　　满分：20分)　　　　　　　　　　　　　　　1．(10分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)交x轴于A，C两点，交y轴于B点，A(－1，0)，C(3，0)．(1)求二次函数的解析式．(2)如图①，点D为直线BC上方抛物线上(不与B，C重合)一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，求DE＋BE的最大值及此时点D的坐标．(3)如图②，将二次函数y＝ax2＋bx＋3沿射线AB平移 个单位长度得到新抛物线y′，点M为新抛物线对称轴上一点，P是y＝ax2＋bx＋3的顶点，N为坐标平面内一点，使得以点P，A，M，N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．解：(1)将A(－1，0)，C(3，0)代入抛物线解析式，解得∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)设D(m，－m2＋2m＋3)，∵B(0，3)，C(3，0)，∴∠OBC＝45°，∴ BE即为点E的横坐标，由B(0，3)，C(3，0)得直线BC的解析式为y＝－x＋3，∴E点坐标为(m，－m＋3)，∴DE＋ BE＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＋m  ＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4.当m＝2时，DE＋ BE取得最大值，最大值为4，将m＝2代入D点坐标，得D(2，3)．(3)原抛物线的对称轴为x＝1，顶点坐标为P(1，4)，将原抛物线平移个单位长度，即向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，∴新抛物线的对称轴为直线x＝2，当∠APM＝90°时，过点P作平行于x轴的直线GH，作AG⊥GH，MH⊥GH，垂足分别为G，H，如答图①所示，∵∠GAP＋∠GPA＝90°，∠GPA＋∠HPM＝90°，∴∠GAP＝∠HPM.∵∠AGP＝∠PHM＝90°，∴△AGP∽△PHM，∴AG∶PH＝GP∶HM，∵AG＝4，GP＝2，PH＝1，∴HM＝，∴M，根据平移，可得N1.当∠AMP＝90°时，作PG⊥GH，AH⊥GH，垂足分别为G，H，如答图②所示．∵∠PMG＋∠GPM＝90°，∠PMG＋∠AMH＝90°，∴∠AMH＝∠GPM，∵∠PGM＝∠MHA＝90°，∴△MGP∽△AHM，∴AH∶GM＝HM∶PG，∵AH＝3，GP＝1，设MH＝x，则GM＝4－x，∴x＝1或3，∴M(2，1)或M(2，3)，根据平移，则N2 (－2，3)，N3 (－2，1)．当∠PAM＝90°时，作PG⊥GH，MH⊥GH，垂足分别为G，H，如答图③所示．∵∠PAG＋∠GPA＝90°，∠PAG＋∠HAM＝90°，∴∠HAM＝∠GPA，∵∠PGA＝∠MHA＝90°，∴△AGP∽△MHA，∴AH∶GP＝HM∶AG，∵GP＝2，HM＝3，AG＝4，∴AH＝，∴M，根据平移，则N4 .综上，点N的坐标为，(－2，3)，(－2，1)或. 2．(10分)在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，△ADE绕点 A逆时针旋转．连接BE，点O，M，N分别是BC，BE，DE的中点，连接OM，ON.(1)如图①，当点D，E分别在AB，AC上时，求证：ON＝OM；(2)当△ADE旋转到图②的位置时，(1)中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)若AB＝4，AD＝2，在△ADE旋转的过程中，当点C，D，N在一条直线上时，求ON的长．题图①               题图②(1)证明：如图①，连接MN，∵点O，M，N分别是BC，BE，DE的中点，∴OM是△BCE的中位线，MN是△BDE的中位线，∴OM∥CE，OM＝CE，MN∥AB，MN＝BD.∵∠BAC＝90°，∴∠OMN＝90°，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴OM＝MN，∴∠MNO＝∠MON＝45°，∴ON＝＝OM.(2)解：成立，证明：如图②，连接BD，CE，MN，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∴MN＝MO，EC⊥BD，∴△MNO为等腰直角三角形，∴ON＝OM.(3)解：如答图①，当点E在CD上时，连接AN，∵AD＝AE＝2，∠DAE＝90°，∴DE＝AD＝2，∵点N是DE的中点，∠DAE＝90°，∴AN＝NE＝DE＝，∵∠ANE＝90°，AN＝，AC＝4，∴CN＝＝，∴BD＝CE＝CN－NE＝－，由(1)知MN＝BD＝CE＝，ON＝MN＝×＝－1，如答图②，当点E在CD的延长线上时，由上知CN＝，NE＝，∴BD＝CE＝＋，∴MN＝BD＝，∴ON＝MN＝＋1，综上所述，ON＝－1或＋1.答图①               答图②