中考数学复习压轴解答题题组练六含答案

  压轴解答题题组练六

(针对中考：解答题第24—25题)

(时间：45分钟　　满分：20分)　　　　　　　　　　　　　　　

1．(10分)如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2－2 x＋b与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于C点，其中点B(，0)，C(0，6)．

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)点P为直线AC上方抛物线上的任意一点，过点P作PM∥x轴交直线AC于点M，作PN∥y轴交直线AC于点N，求MN的最大值，并求此时点P的坐标；

解：(1)抛物线的函数解析式为y＝－x2－2x＋6.

(2)由y＝－x2－2x＋6可得A(－3，0)，

∴AC＝＝3.

∵∠PMN＝∠CAO，

∠MPN＝∠AOC，

∴△AOC∽△MPN，∴AC∶OC＝MN∶PN，

∴MN∶PN＝3∶6，即MN＝PN，

∴MN＝3PN，MN最大即是PN最大，

设直线AC为y＝mx＋6，将A(－3，0)代入，得

0＝－3m＋6，解得m＝，

∴直线AC为y＝x＋6，

设P(n，－n2－2n＋6)，则N(n，n＋6)，

∴PN＝(－n2－2n＋6)－(n＋6)

　 　＝－＋，

∴n＝－时，PN有最大值，MN有最大值，此时点P的坐标为.

(3)如图②，将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，点T为平移后的抛物线上的一个动点，点Q为原抛物线对称轴上的一点．在(2)中，当MN最大时，是否存在以点P，C，T，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：存在，

抛物线y＝－x2－2x＋6的对称轴为直线x＝－，

将抛物线y＝－x2－2x＋6先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得抛物线y＝－(x－2)2－2(x－2)＋6－2＝－x2＋2x＋4，设T(t，－t2＋2t＋4)，Q(－，r)，而P，C(0，6)，

Ⅰ)以PC，TQ为对角线时，

解得

∴Q(－，12)；

Ⅱ)以PT，CQ为对角线时，同理可得

解得

此时点Q(－，7)在CP上，故不存在，舍去；

③以PQ，CT为对角线时，

解得

∴Q(－，－20)，

综上，点Q的坐标为(－，12)或(－，－20).

2.(10分)如图①，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形BDE中，∠BAC＝∠BDE＝90°，AB＝AC，BD＝DE，E为BC的中点，F为CE的中点，连接AF，DF，AD.

(1)若AB＝4，求AD的长度；

(2)若将△BDE绕点B旋转到如图②所示的位置，求证：AF＝DF，AF⊥DF；

题图①                 题图②

(1)解：在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AB＝AC，∴BC＝4，∠ABC＝45°.

∵点E为BC的中点，∴BE＝2，

在等腰Rt△BDE中，∠BDE＝90°，BE＝2，

BD＝DE，∴BD＝DE＝2，

在Rt△BDA中，∠ABD＝90°，AB＝4，BD＝2，

∴AD＝＝＝2.

(2)证明：如答图①，延长AF至点G，使FG＝AF，连接EG，DG，AD，

答图①

∵点F是CE的中点，

∴EF＝CF，

∴△ACF≌△GEF(SAS)，

∴AC＝GE，∠ACF＝∠GEF，

∴AC∥EG，

∵AB⊥AC，∴EG⊥AB，∵∠EDB＝90°，

∴∠DEG＝∠ABD，∵AC＝AB，∴EG＝AB，

∴△ABD≌△GED(SAS)，

∴AD＝GD，∠ADB＝∠GDE，

∴∠ADB－∠BDG＝∠GDE－∠BDG，

∴∠ADG＝∠BDE＝90°，

∴△ADG是等腰直角三角形，

∵AF＝FG，∴DF⊥AF，DF＝AF＝AG.

(3)如图③，在△BDE绕点B旋转的过程中，再将△ACF绕点A逆时针旋转60°到△AC′F′，连接BF′，若AB＝4，求BF′的最大值．

题图③            答图②

解：如答图②，取BC的中点I，连接FI，AI，将AI逆时针旋转60°至AO，连接OF′，

∵AB＝4，∴BC＝AB，∴BE＝BC＝2，

∵点F是CE的中点，∴FI＝BE＝，

∵∠FAF′＝∠IAO＝60°，

∴∠FAF′－∠OAF＝∠IAO－∠OAF，

∴∠F′AO＝∠FAI，

∵AF＝AF′，AI＝AO，

∴△F′AO≌△FAI(SAS)，

∴OF′＝FI＝，

∴点F′在以点O为圆心，为半径的圆上运动，

连接BO并延长交⊙O于点G，当点F′在点G时，BF′最大，作OH⊥BC于点H，

在Rt△OHI中，

∠OIH＝∠AIH－∠AIO＝90°－60°＝30°，

OI＝AI＝2，

∴OH＝OI＝，IH＝OI＝，

∴OB＝＝2(＋1)，

∴BG＝BO＋OG＝2＋＋2.即BF′的最大值为2＋＋2.