2022-2023学年广东省揭阳市揭东区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省揭阳市揭东区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省揭阳市揭东区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，以下四个图标中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是(    )
A. B.
C. D.
2. 若a>b，则下列式子中正确的是(    )
A. a2a
3. 若等腰三角形的两边长分别为3和6，则该三角形的周长可能是(    )
A. 11 B. 12 C. 15 D. 12或15
4. 式子n2−1与n2+n的公因式是(    )
A. n+1 B. n2 C. n D. n−1
5. 化简：x2x2−4÷xx−2=(    )
A. 1 B. x C. xx−2 D. xx+2
6. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是(    )
A. 两条中线的交点 B. 两条高的交点
C. 两条角平线的交点 D. 两条边的垂直平分线的交点
7. 下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是(    )
A. m(x+y)=mx+my B. x2+16x+64=(x+8)2
C. x2+y2−36=x2+(y+6)(y−6) D. ay+by+c=y(a+b)+c
8. 如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC的长为9cm，BE的长为6cm，则EC的长为(    )
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 5cm
9. 如果关于x的分式方程mx−3−13−x=2有增根，则m的值为(    )
A. 1 B. −1 C. 2 D. 4
10. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k<0)的图象与直线y=13x都经过点A(3,1)，当kx+b<13x时，根据图象可知，x的取值范围是(    )

A. x>3 B. x<3 C. x<1 D. x>1
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分解因式：18−2m2= ______ ．
12. 一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为______ ．
13. 如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC=2，BC=5，则平移的距离为______ ．

14. 点P(x−1,x+1)在第二象限，则整数x的值是______ ．
15. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，若AC=6，BD=2，则△ACD的面积是______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组：3x≤x+4x−23−2x<1，并写出它的所有非负整数解．
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1+1m−2)÷(m2−12m−4)，其中m=3．
18. (本小题8.0分)
智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板ABC的三个顶点分别是A(−3,2)，B(0,4)，C(0,2)．
(1)操作与实践：
步骤一：将三角板ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
步骤二：平移三角板ABC，点A的对应点A2的坐标为(1,−4)，画出平移后对应的△A2B2C2．
(2)应用与求解：
智慧组成员将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标______ ．

19. (本小题9.0分)
疫情过后，今年云南旅游市场强劲复苏.某旅行社今年春节租用A、B两种客房，用4800元租到A客房的数量与用4200元租到B客房的数量相同，今年每间A客房的租金比每间B客房的租金多30元，分别求今年该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．
20. (本小题9.0分)
如图，已知点E、F为▱ABCD对角线BD上两点，且∠BAF=∠DCE，连接AE，CF.求证：
(1)AF=CE；
(2)四边形AECF为平行四边形．

21. (本小题9.0分)
在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：
例：因式分解：(x2+6x+5)(x2+6x−7)+36
解：设x2+6x=y
原式=(y+5)(y−7)+36第一步=y2−2y+1第二步=(y−1)2第三步
=(x2+6x−1)2第四步
完成下列任务：
(1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的______ ；(填序号)
①提取公因式；
②平方差公式；
③两数和的完全平方公式；
④两数差的完全平方公式；
(2)请你模仿以上例题分解因式：(a2−4a+2)(a2−4a+6)+4．
22. (本小题12.0分)
已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且．
(1)【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ______ DB(填“>”、“<”或“=”)．
(2)【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ______ DB(填“>”、“<”或“=”)；理由如下，过点E作EF//BC，交AC于点F.(请你完成以下解答过程)．
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你画出相应图形，并直接写出结果)．


23. (本小题12.0分)
如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点(不与点A重合).DE//AB交AC于点F，CE//AM，连接AE．
(1)如图1，当点D与M重合时，证明△ABD≌△EDC；
(2)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
(3)如图2，当点D不与M重合时，(2)中的结论还成立吗？请说明理由．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意；
B、不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意；
C、不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意；
D、能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意．
故选：D．
图形平移前后的大小，形状都不变化，据此判断即可．
本题考查了平移的性质，熟练掌握图形平移前后的大小，形状都不变化，只是位置变化是解题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：A、不等式a>b的两边同时除以2，不等式仍成立，即a2>b2，原变形错误，不符合题意；
B、不等式a>b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a−3>b−3，原变形错误，不符合题意；
C、不等式a>b的两边同时乘−3，不等式仍成立，即−3a<−3b，正确，符合题意；
D、∵a>b，b 故选：C．
根据不等式的性质进行判断．
本题主要考查了不等式的性质，运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．

3.【答案】C 
【解析】解：分情况讨论：
①等腰三角形的腰是3，
∵3+3=6，不能构成三角形，
∴等腰三角形的腰不能是3；
②等腰三角形的腰是6，
三角形的周长为6+6+3=15，
故选：C．
分情况讨论：①等腰三角形的腰是3，②等腰三角形的腰是6，根据等腰三角形的性质和三角形三边关系求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：∵n2−1=(n+1)(n−1)，n2+n=n(n+1)，
∴n2−1与n2+n的公因式是n+1．
故选：A．
把式子n2−1与n2+n分别进行因式分解后，根据公因式的确定方法，即可得到答案．
本题考查了公因式和因式分解，掌握因式分解是确定公因式的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：x2x2−4÷xx−2
=x2(x+2)(x−2)⋅x−2x
=xx+2，
故选：D．
先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了分式的乘除法法则，能正确根据分式的乘法和除法法则进行计算是解此题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是两条边的垂直平分线的交点．
故选：D．
根据线段垂直分线的性质解答即可．
本题考查了线段垂直分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：A.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.等式两边不相等，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

8.【答案】B 
【解析】解：∵DE是AB边上的垂直平分线，BE=6cm，
∴AE=BE=6cm，
∴EC=AC−EA=9−6=3(cm)，
故选：B．
根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：∵分式方程有增根，
∴x=3，
原方程去分母可得：m+1=2(x−3)，
把x=3代入可得：m+1=0，
解得：m=−1；
故选：B．
根据增根的定义可得出x=3，然后去分母得出：m+1=2(x−3)，把x=3代入得，即可得出m的值．
本题考查的主要是分式方程的增根，解题关键是得出分出分式方程增根为x=3．

10.【答案】A 
【解析】解：由图象可得，
当x>3时，直线y=13x在一次函数y=kx+b的上方，
∴当kx+b<13x时，x的取值范围是x>3，
故选：A．
根据题意和函数图象，可以写出当kx+b<13x时，x的取值范围．
本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

11.【答案】2(3+m)(3−m) 
【解析】解：18−2m2=2(32−m2)=2(3+m)(3−m)，
故答案为：2(3+m)(3−m)．
先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．

12.【答案】12 
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得，
(n−2)×180°=5×360°，
解得n=12，
故答案为：12．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与外角和定理列出方程，求解即可得到答案．
本题主要考查了多边形内角和公式，多边形外角和定理，解题关键是掌握多边形内角和公式：(n−2)⋅180°以及多边形的外角和等于360°．

13.【答案】3 
【解析】解：∵△DEF是由△ABC通过平移得到，
∴BE=BC−CE=3，
故答案为：3．
根据平移的性质列式即可得到结论．
本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．

14.【答案】0 
【解析】解：∵点P(x−1,x+1)在第二象限，
∴x−1<0x+1>0，
解得：−1 ∴不等式组的整数解是0．
故答案为：0．
根据点P(x−1,x+1)在第二象限得出不等式组，求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组等知识点，能根据点的坐标得出不等式组是解此题的关键．

15.【答案】6 
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，

∵∠B=90°，
∴BD⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
∴BD=DE=2，
∴△ACD的面积是：12AC⋅DE=12×6×2=6．
故答案为：6．
过点D作DE⊥AC于点E，根据角平分线的性质，得出BD=DE=2，再根据三角形的面积公式，计算即可得出答案．
本题考查了三角形面积的计算、角平分线的性质，解本题的关键是作出辅助线，求出BD=DE=2．

16.【答案】解：由3x≤x+4得：x≤2，
由x−23−2x<1得：x>−1，
则不等式组的解集为−1 所以该不等式组的非负整数解为0、1、2． 
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

17.【答案】解：原式=(m−2m−2+1m−2)⋅2(m−2)(m+1)(m−1)
=m−1m−2⋅2(m−2)(m+1)(m−1)
=2m+1，
当m=3时，原式=23+1=12． 
【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把m的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

18.【答案】(2,−1) 
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1、△A2B2C2为所作；

(2)如图，△A1B1C绕P点旋转180°得到△A2B2C2，即旋转中心的坐标为(2,−1)．
故答案为：(2,−1)．
(1)先利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点得到△A1B1C1；再利用点A和点A2的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律得到点B2、C2的坐标，然后描点得到
△A2B2C2；
(2)连接A1A2、B1B2、C1C2，它们都经过点P，则将△A1B1C绕P点旋转180°得到△A2B2C2，然后写出P点坐标得到旋转中心的坐标．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

19.【答案】解：设A客房每间客房的租金为x元，则B客房每间客房的租金为(x−30)元．
根据题意，得4800x=4200x−30．
解得x=240．
经检验，x=240是原方程的解，且符合题意，
则240−30=210(元)．
答：A客房每间客房的租金为240元，则B客房每间客房的租金为210元． 
【解析】设A客房每间客房的租金为x元，则B客房每间客房的租金为(x−30)元．根据题意“用4800元租到A客房的数量与用4200元租到B客房的数量相同，”列出分式方程，解方程即可求解．
本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

20.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD．
∴∠ABF=∠CDE，
在△ABF和△CDE中，
∠ABF=∠CDEAB=CD∠BAF=∠DCE，
∴△ABF≌△CDE(ASA)，
∴AF=CE；
(2)由(1)可知，△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED，
∴AF//CE，
∴四边形AECF为平行四边形． 
【解析】(1)由平行四边形的性质得出AB=CD，∠ABF=∠CDE，再证△ABF≌△CDE(ASA)，即可得出结论；
(2)由全等三角形的性质得AF=CE，∠AFB=∠CED，再证AF//CE，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

21.【答案】④ 
【解析】解：(1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式，
故答案为：④；
(2)(a2−4a+2)(a2−4a+6)+4
设a2−4a=x，
原式=(x+2)(x+6)+4
=x2+8x+16
=(x+4)2
=(a2−4a+4)2
=(a−2)4．
(1)根据因式分解的公式法，即可求解；
(2)设a2−4a=x，将原式转化为(x+2)(x+6)+4，得到(x+4)2；再将a2−4a=x代入(x+4)2，即可求解．
本题考查因式分解的知识，解题的关键是能够读懂题目给出的例子，并结合所学知识进行解决问题．

22.【答案】(1)=；
(2)=;
解答过程如下：
AE=DB，理由如下，过点E作EF//BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，BE=CF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵∠DEB=60°−∠D，∠ECF=60°−∠ECD，
∴∠DEB=∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
{E=EC∠DEB=∠ECFBE=FC,
∴△DBE≌△EFC(SAS)，
∴DB=EF，
则AE=DB；
(3)如图，CD=3．
 
【解析】
【分析】(1)由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，从而求解；
(2)AE=DB，理由如下，过点E作EF//BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE=EF=AF，BE=FC，再由，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△DBE≌△EFC，利用全等三角形对应边相等得到DB=EF，等量代换即可得证；
(3)点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
【解答】
解：(1)当E为AB的中点时，AE=DB；
理由如下：
当E为AB的中点时，易得AE=BE，∠ECB=30°，又∵ED=EC，∴∠D=30°，
∵∠EBC=∠D+∠DEB=60°，∴∠DEB=∠D=30°，∴DB=BE，∴AE=DB；
(2)见答案；
(3)点E在AB延长线上时，过点E作EF//BC，交AC的延长线于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴EF=AE=2，
∵BC//EF，
∴∠DCE=∠CEF，
∵DE=EC，
∴∠D=∠DCE，
∴∠D=∠CEF，
∵∠DBE=∠ABC=60°，∠F=60°，
∴∠DBE=∠F，
在△DBE和△EFC中，
∠D=∠FEC∠DBE=∠FDE=EC,
∴△DBE≌△EFC(AAS)，
∴DB=EF=2，
又BC=1，
则CD=BC+DB=3．

当点E在BA的延长线上时，CB的延长线上无满足条件的点D．
综上，CD=3．  
23.【答案】(1)证明：∵DE//AB，
∴∠EDC=∠ABM，
∵CE//AM，
∴∠ECD=∠ADB，
∵M是△ABC的中线，且D与M重合，
∴BD=DC，
∴△ABD≌△EDC(ASA)；
(2)证明：由(1)知△ABD≌△EDC，
∴AB=ED，
∵AB//ED，
∴四边形ABDE是平行四边形；
(3)解：结论成立，
理由如下：如图2，过点M作MG//DE交CE于G，

∵CE//AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED=GM，且ED//GM，
由(1)知，AB=GM，AB//GM，
∴AB//DE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形． 
【解析】(1)利用两直线平行同位角相等，可证得∠EDC=∠ABM和∠ECD=∠ADB再结合M是△ABC的中线，利用ASA即可证明△ABD≌△EDC；
(2)由(1)知△ABD≌△EDC，可得AB=ED，从而证明四边形ABDE是平行四边形；
(3)过点M作MG//DE交CE于G，可证四边形DMGE是平行四边形，结合△ABD≌△EDC可得AB//DE，AB=DE，从而可证得D不与M重合时，(2)中的结论也成立．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，正确作出辅助线构造出平行四边形是解答本题的关键．