2022-2023学年湖北省恩施州宣恩县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省恩施州宣恩县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省恩施州宣恩县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若二次根式 a−2在实数范围内有意义，则a的取值范围是(    )
A. a>2 B. a≤2 C. a≠2 D. a≥2
2. 下列计算正确的是(    )
A. 2+ 5= 7 B. 2+ 2=2 2
C. 3 2− 2=3 D. 2− 12= 22
3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )
A. 0.2 B. 12 C. 6 D. 12
4. 下列各组数中，是勾股数的为(    )
A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 7，8，9
5. 如图，A、B两处被池塘隔开，小明想要知道A、B两处的距离．小明先在AB外选一点C，然后分别步测出BC，AC的中点D，E，并测出DE的长为20m，则AB的长为(    )


A. 20m B. 30m C. 40m D. 60m
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=1.将AB边与数轴重合，点A，点B对应的数分别为0，3.以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为(    )
A. 3 B. −3 C. 10 D. − 10
7. 如图，一架3m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，M为AB中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，OM的长度将(    )
A. 变大
B. 变小
C. 不变
D. 先变大后变小
8. 下列命题的逆命题正确的是(    )
A. 平行四边形的两组对边分别平行 B. 对顶角相等
C. 矩形是平行四边形 D. 全等三角形的对应角相等
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为(    )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
10. △ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a，b，c，则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是(    )
A. a：b：c=6：8：10 B. ∠A：∠B：∠C=1：1：3
C. a2+c2=b2 D. ∠A+∠B=∠C
11. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是(    )
A. 5 21
B. 25
C. 10 5+5
D. 35
12. 如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E是BC上的两点，且BD=CE，过D、E作DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，延长MD、NE交于点F，连接AD、AE.其中：①四边形AMFN是正方形；②△ABE≌△ACD；③当∠DAE=45°时，CE2+BD2=DE2，正确的结论有(    )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 化简： 27的结果是______ ．
14. 已知x= 5+ 3，y= 5− 3，则x2−y2= ______ ．
15. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD.若AD=4cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积是______ cm2．


16. 如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2023次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2023的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1) 13× 12− 24÷ 3+ 18；
(2)( 5+1)2−( 5−1)( 5+1).
18. (本小题8.0分)
先化简，再求值：2aa+1−2a−4a2−1÷a−2a2−2a+1，其中a= 2−1．
19. (本小题8.0分)
已知，如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC和AD上的点，且BE=DF，
求证：四边形AECF是平行四边形．

20. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE.试判断四边形AECF的形状，并证明．

21. (本小题8.0分)
如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)根据题意，BF= ______ m，BC= ______ m，CD= ______ m；
(2)根据(1)中求得的数据，求秋千的长度．


22. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD中，已知AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且∠ABC=90°．
(1)试判断△ACD的形状；
(2)求四边形ABCD的面积；


23. (本小题10.0分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE////AC，且DE=12AC，连接CE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)连接AE，若BD=6，AE= 73，求菱形ABCD的周长．

24. (本小题12.0分)
如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD相交于点H．
(1)求证：△EAB≌△GAD；
(2)求证：BE⊥DG；
(3)若AB=3 2，AG=3，求EB的长．
(4)若点A为OG中点，求证：AE、DG互相平分．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：依题意，得
a−2≥0，
解得，a≥2．
故选：D．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

2.【答案】D 
【解析】解：A、 2+ 5无法计算，故此选项错误；
B、2+ 2无法计算，故此选项错误；
C、3 2− 2=2 2，故此选项错误；
D、 2− 12= 2− 22= 22，故此选项正确．
故选：D．
直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3.【答案】C 
【解析】解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
B选项的被开方数含分母，不符合题意；
C选项是最简二次根式，符合题意；
D选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意；
故选：C．
最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：A、∵12+22≠36，∴这组数不是勾股数；
B、∵42+52≠62，∴这组数不是勾股数；
C、∵62+82=102，∴这组数是勾股数；
D、∵72+82≠92，∴这组数不是勾股数．
故选：C．
根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．
此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．

5.【答案】C 
【解析】解：连接AB，如图1，

∵BC，AC的中点分别是D，E，
∴DE=12AB，
∵DE=20m，
∴AB=2DE=40m，
故选：C．
根据三角形的中位线性质得出DE=12AB，再代入求出答案即可．
本题考查了三角形的中位线性质，能熟记三角形的中位线性质是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

6.【答案】D 
【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC= AB2+BC2= 32+12= 10，
∴AD=AC= 10，
∵点D在数轴负半轴上，
∴D点表示的数是− 10，
故选：D．
利用勾股定理求出AC的长，从而得出AD，即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理，实数与数轴等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：∵∠AOB=90°，M为AB的中点，AB=3，
∴OM是Rt△AOB的中线，
∴OM=12AB=32m，
∵梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不变，
∴OM的长度也不变，
故选：C．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OM=12AB，即可得出结果．
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：A、平行四边形的两组对边分别平行的逆命题是两组对边分别平行的四边形是平行四边形，逆命题正确，符合题意；
B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误，不符合题意；
C、矩形是平行四边形的逆命题是平行四边形是矩形，逆命题错误，不符合题意；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题错误，不符合题意；
故选：A．
分别写出各个命题的逆命题，根据平行四边形的判定定理、对顶角的概念、矩形的概念、全等三角形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，掌握平行四边形的判定定理、对顶角的概念、矩形的概念、全等三角形的判定定理是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8−x，
在Rt△AFD′中，(8−x)2=x2+42，
解得：x=3，
∴AF=AB−FB=8−3=5，
∴S△AFC=12⋅AF⋅BC=10．
故选：C．
因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，易证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB−BF，即可得到结果．
本题考查了翻折变换−折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：A、62+82=102，是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∠C=180°÷(1+1+3)×3=105°.不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、a2+c2=b2，是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
满足两个较小边的平方和等于较大边的平方的为直角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，根据此可判断出直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理．解题的关键是灵活利用勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理．

11.【答案】B 
【解析】解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
(1)如图，BD=10+5=15，AD=20，
由勾股定理得：AB= AD2+BD2= 152+202= 625=25．


(2)如图，BC=5，AC=20+10=30，
由勾股定理得，AB= AC2+BC2= 52+302= 925=5 37．


(3)只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB= BD2+AD2= 102+252=5 29；
由于25<5 29<5 37，
故选：B．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．

12.【答案】D 
【解析】解：∵DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，
∴∠AMF=∠ANF=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴四边形AMFN是矩形；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=45°，
∵DM⊥AB，EN⊥AC，
∴△BDM和△CEN均为等腰直角三角形，
又∵BD=CE，
∴△BDM≌△CEN(AAS)，
∴BM=CN
∴AM=AN，
∴四边形AMFN是正方形，故①正确；
∵BD=CE，
∴BE=CD，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠C=45°，AB=AC，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，故②正确；
如图所示，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABE′，则CE=BE′，∠E′BA=∠C=45°，
由于△BDM≌△CEN，故点N落在点M处，连接ME′，则D、M、E′共线，

当∠DAE=45°时，∠DAE′=∠DAM+∠EAN=90°−45°=45°，
AE=AE′，AD=AD，
∴△ADE≌△ADE′(SAS)，
∴DE′=DE，
∵∠E′BA=45°，∠ABC=45°，
∴∠DBE′=90°，
∴BE′2+BD2=DE′2，
∴CE2+BD2=DE′2，即CE2+BD2=DE2，故③正确．
故选：D．
由三个角是直角的四边形是矩形，先判定四边形AMFN是矩形，再证明AM=AN，从而可判断①；利用SAS可判定△ABE≌△ACD，从而可判断②；在没有∠DAE=45°时，无法证得DE′=DE，故可判断③．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

13.【答案】3 3 
【解析】解： 27= 9×3=3 3，
故答案为：3 3．
把27分解为9×3，把9开出来即可．
本题考查了二次根式的性质的应用，主要考查学生的化简能力和计算能力．

14.【答案】4 15 
【解析】解：∵x= 5+ 3，y= 5− 3，
∴x+y= 5+ 3+ 5− 3=2 5，x−y= 5+ 3− 5+ 3=2 3，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=2 5×2 3=4 15．
故答案为：4 15．
先计算出x+y与x−y的值，再把x2−y2分解为(x+y)(x−y)，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法可简化计算．

15.【答案】8 3 
【解析】解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接AC、BD交于点O．

∵纸条的对边平行，即AB//CD、AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴△ACD与△ABC的面积相等．
∵纸条的宽度相等，即AF=AE，
∴CD=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
∵∠ABC=60°，
∴BO⊥AO，AB=AD=4cm，
∴AO=2cm，
∴AC=4cm，BO= AB2−AO2=2 3cm，
∴BD=4 3cm，
∴S四边形ABCD=12AC⋅BD=8 3(cm2)．
故答案为：8 3．
由AB//CD、AD//BC，可知四边形ABCD为平行四边形，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接AC、BD交于点O；由平行四边形的对角线将平行四边形分为两个面积相等的三角形，结合两纸条的宽度相等可以得到BC=CD；接下来判断出四边形的形状，然后求出对角线的长度，问题便不难解答．
本题主要考查的是菱形的性质和判定、含30度直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线是解答的关键．

16.【答案】(134912, 32) 
【解析】解：连接AC，如图所示，

∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB．
∴AC=OA．
∵OA=1，
∴AC=1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2023=337×6+1，
∴点B1向右平移1348(即337×4)到点B2023．
∵B1的坐标为(32, 32)，
∴B2023的坐标为(32+1348, 32)，
∴B2023的坐标为(134912, 32).
故答案为：(134912, 32).
连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4.由于2023=337×6+1，因此点B1向右平移1348(即337×4)即可到达点B2023，根据点B1的坐标就可求出点B2023的坐标．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．

17.【答案】解：(1)原式= 4− 8+3 2
=2−2 2+3 2
=2+ 2．
(2)原式=5+2 5+1−(5−1)
=6+2 5−4
=2+2 5． 
【解析】(1)根据二次根式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
(2)根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．

18.【答案】解：2aa+1−2(a−2)(a−1)(a+1)×(a−1)2a−2
=2aa+1−2a−2a+1
=2a+1，
把a= 2−1代入2a+1= 2． 
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．

19.【答案】证明：∵四边形ABCD平行四边形
∴AD=BC．
又∵BE=DF，
∴AF=EC．
又∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形． 
【解析】在▱ABCD中，AD=BC，又BE=DF，可得：AF=EC，所以AF平行且等于EC，根据平行四边形的判定，可得出四边形AECF是平行四边形．
此题主要要掌握平行四边形的判定，本题运用到的是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

20.【答案】解：四边形AECF为菱形．
证明如下：∵AD//BC，
∴∠1=∠2．
∵O是AC中点，
∴AO=CO．
在△AOE和△COF中
∠1=∠2∠AOE=∠COFAO=CO
∴△AOE≌△COF(AAS)．
∴AE=CF．
又AE//CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF为菱形． 
【解析】由条件可先证四边形AFCE为平行四边形，再结合线段垂直平分线的性质可证得结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的判定，解题时注意：在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

21.【答案】1.6  3  1 
【解析】解：(1)由题意得：BF=1.6m，BC=3m，DE=0.6m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE=BF=1.6m，
∴CD=CE−DE=1.6−0.6=1(m)，
故答案为：1.6，3，1；
(2)∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
设秋千的长度为x m，
则AB=AD=x m，AC=AD−CD=(x−1)m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即(x−1)2+32=x2，
解得：x=5(m)，
即秋千的长度是5m；
(1)由题意得BF=1.6m，BC=3m，DE=0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE=BF=1.6m，则CD=CE−DE=1m；
(2)设秋千的长度为x m，则AB=AD=x m，AC=AD−CD=(x−1)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．

22.【答案】解：(1)△ACD是直角三角形，
理由：∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴AC= AB2+BC2= 12+22= 5，
∵CD=2，AD=3，
∴AC2+CD2=( 5)2+22=9，AD2=32=9，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°；
(2)∵AB=1，BC=2，CD=2，AC= 5，∠ACD=90°，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积
=12AB⋅BC+12AC⋅CD
=12×1×2+12× 5×2
=1+ 5，
∴四边形ABCD的面积为1+ 5． 
【解析】(1)先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD=90°；
(2)利用(1)的结论，然后根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=12AC，
∴∠DOC=90°，
∵DE//AC，DE=12AC，
∴DE=OC，DE//OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
(2)解：由(1)可知，平行四边形OCED是矩形，
∴∠ECA=90°，EC=OD=12BD=3，DE=OC=12AC，
由勾股定理可得，AC= AE2−EC2= 73−9=8，
∴OC=4，
∴DC= OC2+OD2= 42+32=5，
∴菱形ABCD的周长=5×4=20． 
【解析】(1)先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC=90°，即可得出结论；
(2)根据勾股定理和菱形的性质解答即可．
此题考查矩形的判定和性质，关键是根据矩形的判定和性质解答．

24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD，AGFE是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，
∴∠EAB=∠GAD，
在△AEB和△AGD中，
AE=AG∠EAB=∠GADAB=AD，
∴△EAB≌△GAD(SAS)；
(2)证明：∵△EAB≌△GAD，
∴∠AEB=∠AGD，
∵∠AMG=∠HME，
∴∠HEM+∠HME=∠AMG+∠AGM=180°−∠GAM=90°，
∴∠MHE=90°，
∴BE⊥DG；
(3)解：∵△EAB≌△GAD，
∴EB=GD，
∵四边形ABCD是正方形，AB=3 2，
∴BD⊥AC，AC=BD= 2AB=6，
∴∠DOG=90°，OA=OD=12BD=3，
∵AG=3，
∴OG=OA+AG=6，
∴GD= OD2+OG2= 32+62=3 5，
∴EB=3 5，
故答案为：3 5；
(4)证明：连接EG，DE．
∵四边形AGFE，四边形ABCD是正方形，
∴∠OAD=∠AGE=45°，EG= 2AG，AD= 2AO，
∴EG//AD，
∵A是OG的中点，
∴AG=AO，
∴EG=AD，
∴四边形AGED是平行四边形，
∴AE、DG互相平分． 
【解析】(1)由正方形ABCD，正方形AGFE可得AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，后利用SAS即可证明结论；
(2)根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠AGD，根据全等三角形的性质得到∠HEM+∠HME=∠AMG+∠AGM=180°−∠GAM=90°，根据垂直的定义得到结论；
(3)由(1)则可得EB=GD，后在Rt△ODG中，利用勾股定理可得GD的长，进而求得EB的长；
(4)连接EG，DE，证明EG=AD，EG//AD．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．