还剩18页未读，
继续阅读
2022-2023学年山东省济南市莱芜区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）
展开
这是一份2022-2023学年山东省济南市莱芜区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市莱芜区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列事件中是随机事件的是( )
A. 在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
B. 明天是晴天
C. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
D. 14人中至少有2人是同月出生
2. 下列命题中是真命题的是( )
A. 有理数与数轴上的点一一对应
B. 若|a|>|b|，则a>b
C. 相等的角是对顶角
D. m是实数，点P(m2+1,3)一定在第一象限
3. 如图，AB//ED，点C在AB上，CE平分∠ACD，若∠BCD=80°，则∠D的度数为( )
A. 50° B. 80° C. 79° D. 90°
4. 已知实数a，b满足方程组3a+2b=52a+3b=10，则a+b的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD的延长线且AD=DE，则△ABD≌△ECD的理由是( )
A. SAS
B. AAS
C. ASA
D. SSS
6. 若a−1
A. 1.5cm
B. 3cm
C. 4.5cm
D. 9cm
8. 若不等式组3x−6>0x>m的解集为x>2，则m的取值范围是( )
A. m>2 B. m<2 C. m≥2 D. m≤2
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，PQ⊥AB，垂足为交BC于点P.按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC、AB于点D，E；
②分别以点D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧两弧相交于点F；
③作射线AF，AF与PQ的夹角为α，若α=54°，则∠B=( )
A. 14° B. 16°6 C. 18° D. 20
10. 如图，等腰△ABC的底边BC=4cm，面积为8cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为多少？( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 一个不透明的布袋里放有红色、黄色、白色三种球，它们除颜色外其余都相同，红球、黄球、白球的个数之比是3：2：1，则从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是______ ．
12. 如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=kx+b相交于点P(m,5)，则方程组y=2x+1y=kx+b的解为______ ．
13. 已知等腰三角形的其中二边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为______．
14. 将一副三角板如图所示叠放在一起，若AB=4，则阴影部分的面积是______ ．
15. 某校举行足球联赛，共有8场比赛，每场比赛都要分出胜负每队胜一场得3分，负一场得0分，七年级一班要想比赛得分不低于21分，则该班至少胜______ 场.
16. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF//BC交AB于点E，交AC点F，过点O作OD⊥AC于点D，连接AO，下列四个结论：
①△BEO和△CFO都是等腰三角形；
②点O到△ABC各边的距离相等；
③若∠BAC=α，则∠BOC=90°+12α；
④S△AOD+S△BOC=12S△ABC．
其中结论正确的有______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解方程组：2x+3y=122x−y=4．
18. (本小题6.0分)
解不等式组：2x−3≤3(x−1)x−12
桌子上放有两张卡片，正面分别写有数字3和4；小明手里有五张卡片，正面分别写有数字1， 3， 7，3，5，将卡片正面向下，小亮随机从小明手里抽取一张，与桌子上的卡片放在一起，以卡片上的数字分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成直角三角形的概率．
20. (本小题8.0分)
阅读下面材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a,b}的意义为：当a
(1)min(−1,2)= ______ ；
(2)当min{x+12,2x−13)=2x−13，求x的取值范围．
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AD//EF，∠1+∠2=180°．
(1)求证：AB//DG；
(2)若DG平分∠ADC，∠EFC=80°，求∠2的度数．
22. (本小题8.0分)
为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个甲品牌的足球和3个乙品牌的足球共需850元；购买3个甲品牌的足球和2个乙品牌的足球共需900元．
(1)求甲品牌的足球和乙品牌的足球的单价；
(2)需要购买甲品牌的足球和乙品牌的足球一共80个，且甲品牌的个数不少于乙品牌的2倍，要使此次购买足球的费用最少，甲品牌的足球和乙品牌的足球各需购买多少个？最少费用为多少．
23. (本小题10.0分)
已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CD⊥AD于点D，BE=FD．
(1)求证：BC=FC；
(2)若AC=5，AD=4，求四边形ABCF的面积．
24. (本小题10.0分)
第十六届济南⋅莱芜樱桃文化旅游节于2023年5月26日至6月21日在济南市莱芜区茶业口镇举办，旅游节期间，某樱桃经销商对樱桃礼盒进行优惠促销，对购买20个礼盒以上的客户有两种销售方案：
方案一：每个礼盒50元，由经销商免运费送货：
方案二：每个礼盒45元，客户需另外支付运费150元．
某公司计划购买x(>20)个樱桃礼盒，请回答下列问题：
(1)按方案一购买该礼盒的费用为______ 元，按方案二购买该礼盒的费用为______ 元；(用含x的代数式表示)
(2)如果你是该经销商的推销员，请你帮助客户选择合适的购买方案．
25. (本小题12.0分)
在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F.(友情提示：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等)
(1)如图1，当DE//AC时，求证：AE⊥BC；
(2)如图2，若∠B=40°，∠BAD=x(0°
26. (本小题12.0分)
在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B、C不重合，连接AD，以AD为边，向外作等边三角形△ADF，连接CF．
(1)若AB=AC，∠BAC=60°；
①如图1，当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和此时CF与AB关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
(2)如图3，若AB≠AC，60°<∠BAC<90°，点D在线段BC上，且∠FCD=120°时，求∠BCA的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，不符合题意；
B.明天是晴天，是随机事件，符合题意；
C.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，是不可能事件，不符合题意；
D.14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
根据随机事件的概念直接判断即可．
本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、实数与数轴上的点一一对应，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、若|a|>|b|，则a不一定大于b，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、m是实数，点P(m2+1,3)一定在第一象限，是真命题，符合题意；
故选：D．
根据绝对值的概念、数轴、对顶角的概念、点的坐标判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3.【答案】B
【解析】解：∵AB//ED，
∴∠D=∠BCD，
∵∠BCD=80°，
∴∠D=80°，
故选：B．
根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：3a+2b=5①2a+3b=10②，
①+②得：5a+5b=15，
两边同时除以5得：a+b=3．
故选：C．
将方程组中的两个方程左右两边分别相加发现：a和b系数均为5，两边同时除以5即可得a+b的值．
本题考查解方程中的整体思想，注意观察方程中未知数的系数的特征是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
BD=CD∠ADB=∠EDCAD=DE，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴由SAS判定△ABD≌△ECD．
故选：A．
由AD是BC边上的中线，得到BD=CD，又AD=DE，∠ADB=∠EDC，由SAS判定△ABD≌△ECD，即可得到答案．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
6.【答案】D
【解析】解：∵a−1
B.不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向要改变，故不符合题意；
C.不确定c的，正负性，故不符合题意；
D.∵a
根据不等式的基本性质逐步进行判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟记相关性质是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：设图1中长方形的长是x cm，宽为y cm，
∵大正方形的面积是36cm2，中间围成的阴影部分面积是9m2，
∴大正方形的边长为6cm，中间围成的阴影部分的边长为3cm，
∴x+y=6x−y=3，
解得x=4.5y=1.5，
∴图1中长方形的长是4.5cm．
故选：C．
设图1中长方形的长是x cm，宽为ycm，根据已知可得大正方形的边长为6cm，中间围成的阴影部分的边长为3cm，所以x+y=6x−y=3，解方程组即可得出答案．
此题考查了图形的变化和密铺，根据正方形、长方形的性质求出图形各边的长是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵不等式组3x−6>0①x>m②，
由①得：x>2，
由②得：x>m，
不等式组3x−6>0①x>m②的解集为x>2，
∴m≤2．
故选：D．
根据不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，即可得出m的取值范围．
此题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)逆用，已知不等式解集反过来求m的范围．
9.【答案】C
【解析】解：如图，∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°，
∵∠1=∠α=54°，
∴∠QAF=90°−54°=36°，
由作图知，AF平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAF=72°，
∵∠C=90°，
∴∠B=90°−72°=18°，
故选：C．
根据垂直的定义得到∠AQP=90°，根据对顶角的性质得到∠1=∠α=54°，求得∠QAF=90°−54°=36°，根据角平分线的定义得到∠BAC=2∠BAF=72°，于是得到结论．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接AD，AM，AD交EF于点M′，连接BM′，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴BM+MD=MA+MD≥AD，
∴当A、M、D在同一直线上时，
BM+DM值最小，即△BDM周长最小，最小值为AD+BD；
∵D为BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵S=12BC⋅AD，
∴AD=2SBC=4，
∴△BDM周长=AD+BD=2+4=6(cm)，
故选：B．
连接AD，AM，AD交EF于点M′，连接BM′，此时BM′+DM′值最小，即△BDM周长最小，最小值为AD+BD．
本题考查了等腰三角形的性质，轴对称路线最短问题，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11.【答案】13
【解析】解：∵红球、黄球、黑球的个数之比为3：2：1，
∴从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是23+2+1=13，故答案为：13．
用黄球所占的份数除以所有份数的和即可求得是黑球的概率．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12.【答案】x=2y=5
【解析】解：∵y=2x+1经过P(m,5)，
∴5=2m+1，
∴m=2，
∴直线l1：y=x+2与直线l2：y=kx+b相交于点P(2,5)，
∴x=2y=5，
故答案为：x=2y=5．
由两条直线的交点坐标(m,4)，先求出m，再求出方程组的解即可．
本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．
13.【答案】22
【解析】解：分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，
∵4+4<9，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
②当三角形的三边是4，9，9时，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9=22，
故答案为：22．
分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，②当三角形的三边是4，9，9时，看看是否符合三角形的三边关系定理，符合时求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理的应用，注意：要进行分类讨论，题目比较好，难度适中．
14.【答案】2
【解析】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=4，
∴AC=2
由题意可知BC//ED，
∴∠AFC=∠ADE=45°，
∴AC=CF=2．
故S△ACF=12×2×2=2．
故答案为：2．
由于BC//DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
本题考查了等腰直角三角形，平行线的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，解题的关键是利用∠B求出AC的长．
15.【答案】7
【解析】解：设这个班要胜x场，则负(8−x)场，
由题意得，3x+0(8−x)≥21，
解得：x≥7，
∴这个班至少要胜7场．
故答案为：7．
设这个班要胜x场，则负(8−x)场，根据题意列出不等式求解，考虑场次为整数即可得出．
本题考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出相应不等式求解是解题关键．
16.【答案】①②③④
【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EBO=∠CBO，∠FCO=∠BCO，
∵EF//BC，
∴∠CBO=∠EOB，∠BCO=∠FOC，
∴∠EBO=∠EOB，∠FCO=∠FOC，
∴EB=EO，FO=FC，
∴△BEO和△CFO都是等腰三角形；所以①正确；
过O点作OH⊥AB于H点，OG⊥BC于G点，如图，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，OH⊥AB，OG⊥BC，OD⊥AC，
∴OH=OG，OD=OG，
∴OH=OG=OD，所以②正确；
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=180°−12(∠ABC+∠ACB)，
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC，
∴∠BOC=180°−12(180°−∠BAC)=90°+12∠BAC=90°+12α，所以③正确；
在Rt△BOG和Rt△BOH中，
BO=BOOH=OG，
∴Rt△BOG≌Rt△BOH(HL)，
∴S△BOG=S△BOH，
同理可得S△COG=S△COD，S△AOD=S△AOH，
∴S△BOG+S△COG+S△AOD=12S△ABC，
即S△BOC+S△AOD=12S△ABC，所以④正确．
故答案为：①②③④．
先利用角平分线的定义得到∠EBO=∠CBO，∠FCO=∠BCO，利用平行线的性质得到∠CBO=∠EOB，∠BCO=∠FOC，则可证明∠EBO=∠EOB，∠FCO=∠FOC，于是可对①进行判断；过O点作OH⊥AB于H点，OG⊥BC于G点，如图，根据角平分线的性质得到OH=OG，OD=OG，则可对②进行判断；根据角平分线的定义得到∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，再利用三角形内角和定理得到∠BOC=90°+12∠BAC，则可对③进行判断；然后证明Rt△BOG≌Rt△BOH得到S△BOG=S△BOH，同理可得S△COG=S△COD，S△AOD=S△AOH，所以S△BOG+S△COG+S△AOD=12S△ABC，从而可对④进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质和等腰三角形的判定与性质．
17.【答案】解：方程组整理得：2x+3y=12①2x−y=4②，
①−②得：4y=8，解得：y=2，
把y=2代入①得：2x+6=12，解得：x=3，
∴原方程组的解为：x=3y=2．
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18.【答案】解：2x−3≤3(x−1)①x−12
解不等式②得：x<3，
∴不等式组的解集为0≤x<3，
在此范围内的整数解有：0、1、2．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出整数解．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：若桌面上的3和4均是直角边，则斜边为 32+42=5，若桌面上的4为斜边，则另一条直角边为 42−32= 7，
从写有数字1， 3， 7，3，5卡片中，随机抽取1张，共有5种等可能的结果，其中与3和4能构成直角三角形的有2种，
所以从写有数字1， 3， 7，3，5卡片中，随机抽取1张，与桌面上的3和4能构成直角三角形的概率为25．
【解析】根据勾股定理求出当与桌面上的3和4能构成直角三角形的第三条边，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法以及勾股定理，掌握勾股定理以及列举所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
20.【答案】−1
【解析】解：(1)由题意得min(−1,2)=−1
故答案为：−1；
(2)∵min{x+12,2x−13}=2x−13，
∴x+12≥2x−13，
解得：x≤5．
(1)比较大小，即可得出答案；
(2)根据题意判断出x+12≥2x−13，解不等式即可判断x的取值范围．
本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AD//EF，
∴∠DAB=∠2=180°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠DAB，
∴AB//DG；
(2)解：∵AD//EF，
∴∠EFC=∠ADC=80°，
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠1=80°，
∴∠1=40°，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°−∠1=140°．
【解析】(1)根据平行线的判定与性质求解即可；
(2)根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设甲品牌的足球单价为x元/个，乙品牌的足球的单价为y元/个，
根据题意得：2x+3y=8503x+2y=900
解得x=200y=150，
答：甲品牌的足球和乙品牌的足球的单价分别为200元和150元；
(2)设购买甲品牌的足球m个，购买的总费用为W元，
则购买乙品牌的足球(80−m)个，
根据题意，得：m≥2(80−m)，
解得：m≥5313，
W=200m+150(80−m)=50m+12000，
∵50>0，
∴W随m的增大而增大，
∵m为整数，
∴当m=54时，
W取最小，最小值为50×54+12000=14700，
此时，80−m=26，
故购买甲品牌的足球54个，乙品牌的足球26个，总费用最少，最少费用为14700元．
【解析】(1)分别是设甲足球的单价x元和乙足球的单价y元，根据题目中的等量关系：2个甲足球和3个乙足球共850元；3个甲足球和两个乙足球共900元列方程组求得单价；
(2)设买甲足球m个，则买乙足球(80−m)个，根据甲品牌的个数不少于乙品牌的二倍，列出不等式，确定自变量m的取值范围，然后根据题目中的数量关系找到总费用W和m之间的函数关系式，再根据一次函数的性质，确定费用最少时m的值即可．
本题考察了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质及解一元一次不等式，解题的关键是找准等量关系，列出二元一次方程组，一次函数的性质解决最值问题．
23.【答案】(1)证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD=CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
∵EB=DF，CE=CD，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD(SAS)，
∴BC=FC；
(2)解：在Rt△ACD中，∵AC=5，AD=4，
∴CD= 52−42=3，
∵AC=AC，CD=CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL)，
∴S△ACD=S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD．
∴S△CBE=S△CFD；
∴S四边形ABCF=S四边形ABCF=2S△ACD=2×12×4×3=12．
【解析】(1)利用角平分线的性质得到CD=CE，然后证明Rt△CBE≌Rt△CFD，从而得到BE=FD；
(2)先利用勾股定理计算出CD=3，再证明Rt△ACD≌Rt△ACE得到S△ACD=S△ACE，则四边形ABCF的面积=S四边形AECD=2S△ACD，然后利用三角形面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
24.【答案】50x (45x+150)
【解析】(1)由题意可知：按方案一购买该礼盒的费用为50x元，按方案二购买该礼盒的费用为(45x+150)元；
故答案为：50x，(45x+150)；
(2)设y1=50x，y2=45x+150，
令y1=y2，50x=45x+150，解得x=30；
令y1>y2，50x<45x+150，解得x<30；
令y1>y2，50x>45x+150，解得x>30：
故当2030时，选择方案二．
(1)直接利用两种方案的收费标准得出总费用；
(2)根据(1)中总费用得出不等关系求出答案；
此题主要考查了一元一次不等式、一元一次方程的应用，正确得出不等关系是解题关键．
25.【答案】(1)证明：∵AC//DE，
∴∠CAF=∠E，
∵∠B=∠E，
∴∠B=∠CAF，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAF+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AE⊥BC；
(2)解：存在这样的x的值，使得△DEF是以EF为腰的等腰三角形．
∵∠BAD=x，∠B=40°，
∴∠ADB=180°−∠BAD=180°−40°−x=140°−x，
∴∠ADF=∠B+∠BAD=40°+x，由翻折可知：∠ADE=∠ADB，
∴∠FDE=∠ADE−∠ADF=100°−2x，∠DFE=∠AFC=40°+2x，
①当∠EDF=∠DFE时，100°−2x=40°+2x，解得：x=15°，
②当∠EDF=∠E=40°时，100°−2x=40°，解得，x=30°，
综上所述，当x=15°或30°时，△DEF是以EF为腰的等腰三角形．
【解析】(1)根据折叠的性质得到∠B=∠E，根据平行线的性质定理证明；
(2)根据∠B=40°，求得∠ADB；然后分∠EDF=∠DFE、∠DFE=∠E、∠EDF=∠E三种情况，列方程解答即可．
本题考查的是翻转变换的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握三角形内角和等于180°、翻转变换的性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)①CF=BD，CF//AB；
理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAD+∠CAD=60°，
又∵△ADE是等边三角形，
∴∠CAF+∠CAD=60°，
∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
AC=AB∠CAF=∠BADAF=AD，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACF=∠BAC，
∴CF//AB；
②CF=BD，CF//AB仍然成立，理由如下：
∵△ADE和△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=∠DAF=60°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
AC=AB∠CAF=∠BADAF=AD，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACF=∠BAC，
∴CF//AB；
(2)过点A作∠CAE=60°，交BC于点E，
∴∠EAD+∠CAD=60°，∠ECA+∠CEA=180°−60°=120°，
∵△ADF是等边三角形，
∴AF=AD，∠FAD=60°
∴∠CAF+∠CAD=60°，
∵∠EAD+∠CAD=60°
∴∠CAF=∠EAD，
∵∠FCD=120°，
∴∠FCA+∠ACE=120°，
∠ECA+∠CEA=120°
∴∠ACF=∠CEA，
在△ACF和△AED中，
∠ACF=∠DEA∠CAF=∠EADAF=AD，
∴△ACF≌△AED(AAS)，
∴AC=AE，
∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠BCA=60°．
【解析】(1)①由△ADE和△ABC是等边三角形，得出∠CAF=∠BAD，再证△ACF≌△ABD，然后再结合平行线的判定，可得出结论；
②与①的证法类似，可先由∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，证∠CAF=∠BAD，再证△ACF≌△ABD，然后再结合平行线的判定，可得出结论；
(2)过点A作∠CAE=60°，交BC于点E，证△ACF≌△AED，再证△ACE是等边三角形，从而得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是构造全等三角形解决问题，属于常考题型．
2022-2023学年山东省济南市莱芜区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列事件中是随机事件的是( )
A. 在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
B. 明天是晴天
C. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13
D. 14人中至少有2人是同月出生
2. 下列命题中是真命题的是( )
A. 有理数与数轴上的点一一对应
B. 若|a|>|b|，则a>b
C. 相等的角是对顶角
D. m是实数，点P(m2+1,3)一定在第一象限
3. 如图，AB//ED，点C在AB上，CE平分∠ACD，若∠BCD=80°，则∠D的度数为( )
A. 50° B. 80° C. 79° D. 90°
4. 已知实数a，b满足方程组3a+2b=52a+3b=10，则a+b的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD的延长线且AD=DE，则△ABD≌△ECD的理由是( )
A. SAS
B. AAS
C. ASA
D. SSS
6. 若a−1
A. 1.5cm
B. 3cm
C. 4.5cm
D. 9cm
8. 若不等式组3x−6>0x>m的解集为x>2，则m的取值范围是( )
A. m>2 B. m<2 C. m≥2 D. m≤2
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，PQ⊥AB，垂足为交BC于点P.按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC、AB于点D，E；
②分别以点D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧两弧相交于点F；
③作射线AF，AF与PQ的夹角为α，若α=54°，则∠B=( )
A. 14° B. 16°6 C. 18° D. 20
10. 如图，等腰△ABC的底边BC=4cm，面积为8cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为多少？( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 一个不透明的布袋里放有红色、黄色、白色三种球，它们除颜色外其余都相同，红球、黄球、白球的个数之比是3：2：1，则从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是______ ．
12. 如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=kx+b相交于点P(m,5)，则方程组y=2x+1y=kx+b的解为______ ．
13. 已知等腰三角形的其中二边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为______．
14. 将一副三角板如图所示叠放在一起，若AB=4，则阴影部分的面积是______ ．
15. 某校举行足球联赛，共有8场比赛，每场比赛都要分出胜负每队胜一场得3分，负一场得0分，七年级一班要想比赛得分不低于21分，则该班至少胜______ 场.
16. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF//BC交AB于点E，交AC点F，过点O作OD⊥AC于点D，连接AO，下列四个结论：
①△BEO和△CFO都是等腰三角形；
②点O到△ABC各边的距离相等；
③若∠BAC=α，则∠BOC=90°+12α；
④S△AOD+S△BOC=12S△ABC．
其中结论正确的有______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解方程组：2x+3y=122x−y=4．
18. (本小题6.0分)
解不等式组：2x−3≤3(x−1)x−12
桌子上放有两张卡片，正面分别写有数字3和4；小明手里有五张卡片，正面分别写有数字1， 3， 7，3，5，将卡片正面向下，小亮随机从小明手里抽取一张，与桌子上的卡片放在一起，以卡片上的数字分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成直角三角形的概率．
20. (本小题8.0分)
阅读下面材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a,b}的意义为：当a
(1)min(−1,2)= ______ ；
(2)当min{x+12,2x−13)=2x−13，求x的取值范围．
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AD//EF，∠1+∠2=180°．
(1)求证：AB//DG；
(2)若DG平分∠ADC，∠EFC=80°，求∠2的度数．
22. (本小题8.0分)
为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个甲品牌的足球和3个乙品牌的足球共需850元；购买3个甲品牌的足球和2个乙品牌的足球共需900元．
(1)求甲品牌的足球和乙品牌的足球的单价；
(2)需要购买甲品牌的足球和乙品牌的足球一共80个，且甲品牌的个数不少于乙品牌的2倍，要使此次购买足球的费用最少，甲品牌的足球和乙品牌的足球各需购买多少个？最少费用为多少．
23. (本小题10.0分)
已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CD⊥AD于点D，BE=FD．
(1)求证：BC=FC；
(2)若AC=5，AD=4，求四边形ABCF的面积．
24. (本小题10.0分)
第十六届济南⋅莱芜樱桃文化旅游节于2023年5月26日至6月21日在济南市莱芜区茶业口镇举办，旅游节期间，某樱桃经销商对樱桃礼盒进行优惠促销，对购买20个礼盒以上的客户有两种销售方案：
方案一：每个礼盒50元，由经销商免运费送货：
方案二：每个礼盒45元，客户需另外支付运费150元．
某公司计划购买x(>20)个樱桃礼盒，请回答下列问题：
(1)按方案一购买该礼盒的费用为______ 元，按方案二购买该礼盒的费用为______ 元；(用含x的代数式表示)
(2)如果你是该经销商的推销员，请你帮助客户选择合适的购买方案．
25. (本小题12.0分)
在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F.(友情提示：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等)
(1)如图1，当DE//AC时，求证：AE⊥BC；
(2)如图2，若∠B=40°，∠BAD=x(0°
26. (本小题12.0分)
在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B、C不重合，连接AD，以AD为边，向外作等边三角形△ADF，连接CF．
(1)若AB=AC，∠BAC=60°；
①如图1，当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和此时CF与AB关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
(2)如图3，若AB≠AC，60°<∠BAC<90°，点D在线段BC上，且∠FCD=120°时，求∠BCA的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，不符合题意；
B.明天是晴天，是随机事件，符合题意；
C.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，是不可能事件，不符合题意；
D.14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
根据随机事件的概念直接判断即可．
本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、实数与数轴上的点一一对应，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、若|a|>|b|，则a不一定大于b，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、m是实数，点P(m2+1,3)一定在第一象限，是真命题，符合题意；
故选：D．
根据绝对值的概念、数轴、对顶角的概念、点的坐标判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3.【答案】B
【解析】解：∵AB//ED，
∴∠D=∠BCD，
∵∠BCD=80°，
∴∠D=80°，
故选：B．
根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：3a+2b=5①2a+3b=10②，
①+②得：5a+5b=15，
两边同时除以5得：a+b=3．
故选：C．
将方程组中的两个方程左右两边分别相加发现：a和b系数均为5，两边同时除以5即可得a+b的值．
本题考查解方程中的整体思想，注意观察方程中未知数的系数的特征是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
BD=CD∠ADB=∠EDCAD=DE，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴由SAS判定△ABD≌△ECD．
故选：A．
由AD是BC边上的中线，得到BD=CD，又AD=DE，∠ADB=∠EDC，由SAS判定△ABD≌△ECD，即可得到答案．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
6.【答案】D
【解析】解：∵a−1
B.不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向要改变，故不符合题意；
C.不确定c的，正负性，故不符合题意；
D.∵a
根据不等式的基本性质逐步进行判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟记相关性质是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：设图1中长方形的长是x cm，宽为y cm，
∵大正方形的面积是36cm2，中间围成的阴影部分面积是9m2，
∴大正方形的边长为6cm，中间围成的阴影部分的边长为3cm，
∴x+y=6x−y=3，
解得x=4.5y=1.5，
∴图1中长方形的长是4.5cm．
故选：C．
设图1中长方形的长是x cm，宽为ycm，根据已知可得大正方形的边长为6cm，中间围成的阴影部分的边长为3cm，所以x+y=6x−y=3，解方程组即可得出答案．
此题考查了图形的变化和密铺，根据正方形、长方形的性质求出图形各边的长是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵不等式组3x−6>0①x>m②，
由①得：x>2，
由②得：x>m，
不等式组3x−6>0①x>m②的解集为x>2，
∴m≤2．
故选：D．
根据不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，即可得出m的取值范围．
此题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)逆用，已知不等式解集反过来求m的范围．
9.【答案】C
【解析】解：如图，∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°，
∵∠1=∠α=54°，
∴∠QAF=90°−54°=36°，
由作图知，AF平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAF=72°，
∵∠C=90°，
∴∠B=90°−72°=18°，
故选：C．
根据垂直的定义得到∠AQP=90°，根据对顶角的性质得到∠1=∠α=54°，求得∠QAF=90°−54°=36°，根据角平分线的定义得到∠BAC=2∠BAF=72°，于是得到结论．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接AD，AM，AD交EF于点M′，连接BM′，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴BM+MD=MA+MD≥AD，
∴当A、M、D在同一直线上时，
BM+DM值最小，即△BDM周长最小，最小值为AD+BD；
∵D为BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵S=12BC⋅AD，
∴AD=2SBC=4，
∴△BDM周长=AD+BD=2+4=6(cm)，
故选：B．
连接AD，AM，AD交EF于点M′，连接BM′，此时BM′+DM′值最小，即△BDM周长最小，最小值为AD+BD．
本题考查了等腰三角形的性质，轴对称路线最短问题，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11.【答案】13
【解析】解：∵红球、黄球、黑球的个数之比为3：2：1，
∴从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是23+2+1=13，故答案为：13．
用黄球所占的份数除以所有份数的和即可求得是黑球的概率．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12.【答案】x=2y=5
【解析】解：∵y=2x+1经过P(m,5)，
∴5=2m+1，
∴m=2，
∴直线l1：y=x+2与直线l2：y=kx+b相交于点P(2,5)，
∴x=2y=5，
故答案为：x=2y=5．
由两条直线的交点坐标(m,4)，先求出m，再求出方程组的解即可．
本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．
13.【答案】22
【解析】解：分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，
∵4+4<9，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
②当三角形的三边是4，9，9时，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9=22，
故答案为：22．
分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，②当三角形的三边是4，9，9时，看看是否符合三角形的三边关系定理，符合时求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理的应用，注意：要进行分类讨论，题目比较好，难度适中．
14.【答案】2
【解析】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=4，
∴AC=2
由题意可知BC//ED，
∴∠AFC=∠ADE=45°，
∴AC=CF=2．
故S△ACF=12×2×2=2．
故答案为：2．
由于BC//DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
本题考查了等腰直角三角形，平行线的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，解题的关键是利用∠B求出AC的长．
15.【答案】7
【解析】解：设这个班要胜x场，则负(8−x)场，
由题意得，3x+0(8−x)≥21，
解得：x≥7，
∴这个班至少要胜7场．
故答案为：7．
设这个班要胜x场，则负(8−x)场，根据题意列出不等式求解，考虑场次为整数即可得出．
本题考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出相应不等式求解是解题关键．
16.【答案】①②③④
【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EBO=∠CBO，∠FCO=∠BCO，
∵EF//BC，
∴∠CBO=∠EOB，∠BCO=∠FOC，
∴∠EBO=∠EOB，∠FCO=∠FOC，
∴EB=EO，FO=FC，
∴△BEO和△CFO都是等腰三角形；所以①正确；
过O点作OH⊥AB于H点，OG⊥BC于G点，如图，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，OH⊥AB，OG⊥BC，OD⊥AC，
∴OH=OG，OD=OG，
∴OH=OG=OD，所以②正确；
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=180°−12(∠ABC+∠ACB)，
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC，
∴∠BOC=180°−12(180°−∠BAC)=90°+12∠BAC=90°+12α，所以③正确；
在Rt△BOG和Rt△BOH中，
BO=BOOH=OG，
∴Rt△BOG≌Rt△BOH(HL)，
∴S△BOG=S△BOH，
同理可得S△COG=S△COD，S△AOD=S△AOH，
∴S△BOG+S△COG+S△AOD=12S△ABC，
即S△BOC+S△AOD=12S△ABC，所以④正确．
故答案为：①②③④．
先利用角平分线的定义得到∠EBO=∠CBO，∠FCO=∠BCO，利用平行线的性质得到∠CBO=∠EOB，∠BCO=∠FOC，则可证明∠EBO=∠EOB，∠FCO=∠FOC，于是可对①进行判断；过O点作OH⊥AB于H点，OG⊥BC于G点，如图，根据角平分线的性质得到OH=OG，OD=OG，则可对②进行判断；根据角平分线的定义得到∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，再利用三角形内角和定理得到∠BOC=90°+12∠BAC，则可对③进行判断；然后证明Rt△BOG≌Rt△BOH得到S△BOG=S△BOH，同理可得S△COG=S△COD，S△AOD=S△AOH，所以S△BOG+S△COG+S△AOD=12S△ABC，从而可对④进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质和等腰三角形的判定与性质．
17.【答案】解：方程组整理得：2x+3y=12①2x−y=4②，
①−②得：4y=8，解得：y=2，
把y=2代入①得：2x+6=12，解得：x=3，
∴原方程组的解为：x=3y=2．
【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18.【答案】解：2x−3≤3(x−1)①x−12
解不等式②得：x<3，
∴不等式组的解集为0≤x<3，
在此范围内的整数解有：0、1、2．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出整数解．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：若桌面上的3和4均是直角边，则斜边为 32+42=5，若桌面上的4为斜边，则另一条直角边为 42−32= 7，
从写有数字1， 3， 7，3，5卡片中，随机抽取1张，共有5种等可能的结果，其中与3和4能构成直角三角形的有2种，
所以从写有数字1， 3， 7，3，5卡片中，随机抽取1张，与桌面上的3和4能构成直角三角形的概率为25．
【解析】根据勾股定理求出当与桌面上的3和4能构成直角三角形的第三条边，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法以及勾股定理，掌握勾股定理以及列举所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
20.【答案】−1
【解析】解：(1)由题意得min(−1,2)=−1
故答案为：−1；
(2)∵min{x+12,2x−13}=2x−13，
∴x+12≥2x−13，
解得：x≤5．
(1)比较大小，即可得出答案；
(2)根据题意判断出x+12≥2x−13，解不等式即可判断x的取值范围．
本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AD//EF，
∴∠DAB=∠2=180°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠DAB，
∴AB//DG；
(2)解：∵AD//EF，
∴∠EFC=∠ADC=80°，
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠1=80°，
∴∠1=40°，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°−∠1=140°．
【解析】(1)根据平行线的判定与性质求解即可；
(2)根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设甲品牌的足球单价为x元/个，乙品牌的足球的单价为y元/个，
根据题意得：2x+3y=8503x+2y=900
解得x=200y=150，
答：甲品牌的足球和乙品牌的足球的单价分别为200元和150元；
(2)设购买甲品牌的足球m个，购买的总费用为W元，
则购买乙品牌的足球(80−m)个，
根据题意，得：m≥2(80−m)，
解得：m≥5313，
W=200m+150(80−m)=50m+12000，
∵50>0，
∴W随m的增大而增大，
∵m为整数，
∴当m=54时，
W取最小，最小值为50×54+12000=14700，
此时，80−m=26，
故购买甲品牌的足球54个，乙品牌的足球26个，总费用最少，最少费用为14700元．
【解析】(1)分别是设甲足球的单价x元和乙足球的单价y元，根据题目中的等量关系：2个甲足球和3个乙足球共850元；3个甲足球和两个乙足球共900元列方程组求得单价；
(2)设买甲足球m个，则买乙足球(80−m)个，根据甲品牌的个数不少于乙品牌的二倍，列出不等式，确定自变量m的取值范围，然后根据题目中的数量关系找到总费用W和m之间的函数关系式，再根据一次函数的性质，确定费用最少时m的值即可．
本题考察了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质及解一元一次不等式，解题的关键是找准等量关系，列出二元一次方程组，一次函数的性质解决最值问题．
23.【答案】(1)证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD=CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
∵EB=DF，CE=CD，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD(SAS)，
∴BC=FC；
(2)解：在Rt△ACD中，∵AC=5，AD=4，
∴CD= 52−42=3，
∵AC=AC，CD=CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL)，
∴S△ACD=S△ACE，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD．
∴S△CBE=S△CFD；
∴S四边形ABCF=S四边形ABCF=2S△ACD=2×12×4×3=12．
【解析】(1)利用角平分线的性质得到CD=CE，然后证明Rt△CBE≌Rt△CFD，从而得到BE=FD；
(2)先利用勾股定理计算出CD=3，再证明Rt△ACD≌Rt△ACE得到S△ACD=S△ACE，则四边形ABCF的面积=S四边形AECD=2S△ACD，然后利用三角形面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
24.【答案】50x (45x+150)
【解析】(1)由题意可知：按方案一购买该礼盒的费用为50x元，按方案二购买该礼盒的费用为(45x+150)元；
故答案为：50x，(45x+150)；
(2)设y1=50x，y2=45x+150，
令y1=y2，50x=45x+150，解得x=30；
令y1>y2，50x<45x+150，解得x<30；
令y1>y2，50x>45x+150，解得x>30：
故当20
(1)直接利用两种方案的收费标准得出总费用；
(2)根据(1)中总费用得出不等关系求出答案；
此题主要考查了一元一次不等式、一元一次方程的应用，正确得出不等关系是解题关键．
25.【答案】(1)证明：∵AC//DE，
∴∠CAF=∠E，
∵∠B=∠E，
∴∠B=∠CAF，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAF+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AE⊥BC；
(2)解：存在这样的x的值，使得△DEF是以EF为腰的等腰三角形．
∵∠BAD=x，∠B=40°，
∴∠ADB=180°−∠BAD=180°−40°−x=140°−x，
∴∠ADF=∠B+∠BAD=40°+x，由翻折可知：∠ADE=∠ADB，
∴∠FDE=∠ADE−∠ADF=100°−2x，∠DFE=∠AFC=40°+2x，
①当∠EDF=∠DFE时，100°−2x=40°+2x，解得：x=15°，
②当∠EDF=∠E=40°时，100°−2x=40°，解得，x=30°，
综上所述，当x=15°或30°时，△DEF是以EF为腰的等腰三角形．
【解析】(1)根据折叠的性质得到∠B=∠E，根据平行线的性质定理证明；
(2)根据∠B=40°，求得∠ADB；然后分∠EDF=∠DFE、∠DFE=∠E、∠EDF=∠E三种情况，列方程解答即可．
本题考查的是翻转变换的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握三角形内角和等于180°、翻转变换的性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)①CF=BD，CF//AB；
理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAD+∠CAD=60°，
又∵△ADE是等边三角形，
∴∠CAF+∠CAD=60°，
∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
AC=AB∠CAF=∠BADAF=AD，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACF=∠BAC，
∴CF//AB；
②CF=BD，CF//AB仍然成立，理由如下：
∵△ADE和△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=∠DAF=60°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
AC=AB∠CAF=∠BADAF=AD，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ACF=∠BAC，
∴CF//AB；
(2)过点A作∠CAE=60°，交BC于点E，
∴∠EAD+∠CAD=60°，∠ECA+∠CEA=180°−60°=120°，
∵△ADF是等边三角形，
∴AF=AD，∠FAD=60°
∴∠CAF+∠CAD=60°，
∵∠EAD+∠CAD=60°
∴∠CAF=∠EAD，
∵∠FCD=120°，
∴∠FCA+∠ACE=120°，
∠ECA+∠CEA=120°
∴∠ACF=∠CEA，
在△ACF和△AED中，
∠ACF=∠DEA∠CAF=∠EADAF=AD，
∴△ACF≌△AED(AAS)，
∴AC=AE，
∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠BCA=60°．
【解析】(1)①由△ADE和△ABC是等边三角形，得出∠CAF=∠BAD，再证△ACF≌△ABD，然后再结合平行线的判定，可得出结论；
②与①的证法类似，可先由∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，证∠CAF=∠BAD，再证△ACF≌△ABD，然后再结合平行线的判定，可得出结论；
(2)过点A作∠CAE=60°，交BC于点E，证△ACF≌△AED，再证△ACE是等边三角形，从而得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是构造全等三角形解决问题，属于常考题型．
相关试卷
2023-2024学年山东省济南市莱芜区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含解析）： 这是一份2023-2024学年山东省济南市莱芜区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省济南市莱芜区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）： 这是一份2023-2024学年山东省济南市莱芜区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市莱芜区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）： 这是一份2022-2023学年山东省济南市莱芜区七年级（下）期末数学试卷（五四学制），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
