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2023年湖南省永州市中考数学模拟试卷（三）（含解析）
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这是一份2023年湖南省永州市中考数学模拟试卷（三）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省永州市中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，数轴上点A表示的数的相反数是( )
A. −2 B. −12 C. 2 D. 3
2. 下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6 B. 3a−2a=1 C. (−2a2)3=−8a6 D. a6÷a2=a3
3. 如图是运动会领奖台，它的主视图是( )
A. B.
C. D.
4. 下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 赵爽弦图 B. 科克曲线
C. 斐波那契螺旋 D. 笛卡尔心形线
5. 学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98.下列说法中正确的是( )
A. 该组数据的中位数为98 B. 该组数据的方差为0.7
C. 该组数据的平均数为98 D. 该组数据的众数为96和98
6. 一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1=28°，则∠2的度数为( )
A. 28° B. 56° C. 36° D. 62°
7. 在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50g.若OA=20cm，OB=40cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为x g，根据题意列方程得( )
A. 20x=40×50×3 B. 40x=20×50×3
C. 3×20x=40×50 D. 3×40x=20×50
8. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，∠ABC=27°，BC=44cm，则高AD约为( )
(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)
A. 9.90cm B. 11.22cm C. 19.58cm D. 22.44cm
9. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为( )
A. 713
B. 1213
C. 712
D. 1312
10. 已知A(−3,−2)，B(1,−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点(C在D的右侧)，下列结论：
①c≥−2；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=12．
其中正确的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”.“学习强国”平台上线的某天，全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为______．
12. 18− 8=______．
13. 某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了______千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为______．
14. 若反比例函数y=kx的函数值y在每个象限随着自变量x值的增大而增大，则k= ______ .(写出一个满足条件的值)
15. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA=AB=5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为______．
16. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，分别以OA，OB长为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=3m，OB=1.5m，则阴影部分的面积为______ ．
17. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB.已知AB为2米，则线段BE的长为______米．
18. 如图1，在△ABC中，∠B=36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t(s)，AP的长度为y(cm)，y与t的函数图象如图2所示；根据图象信息请你计算∠BAC的度数是______ 度，当AP恰好平分∠BAC时t的值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19. 解不等式组：x−12
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x2+2x+1x−2022÷x2−1x−2022−(1x−1+1)，其中x=cos60°．
21. (本小题8.0分)
某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
(1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是______(填写“普查”或“抽样调查”)；
(2)教育局抽取的初中生有______人，扇形统计图中m的值是______；
(3)已知平均每天完成作业时长在“100≤t<110”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______；
(4)若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70≤t<80”分钟的初中生约有______人．
22. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证：AE=CF；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB=5，求CF的长．
23. (本小题10.0分)
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
24. (本小题10.0分)
知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sinA=ac，sinB=bc
∴c=asinA，c=bsinB．
∴asinA=bsinB．
拓展探究
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
请探究asinA，bsinB，csinC之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC=60m，∠A=75°，∠C=60°.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
25. (本小题12.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC=∠ABC．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若DE=4 5，AC=2BC，求线段CE的长．
26. (本小题12.0分)
如图，已知点M(x1,y1)，N(x2,y2)在二次函数y=a(x−2)2−1(a>0)的图象上，且x2−x1=3．
(1)若二次函数的图象经过点(3,1)．
①求这个二次函数的表达式；
②若y1=y2，求顶点到MN的距离；
(2)当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：点A表示的数为−2，
−2的相反数为2，
故选：C．
根据数轴得到点A表示的数为−2，再求−2的相反数即可．
本题考查了数轴，相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项B根据合并同类项法则判断即可，合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项C根据积的乘方法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
【解答】
解：A.a2⋅a3=a5，故本选项不合题意；
B.3a−2a=a，故本选项不合题意；
C.(−2a2)3=−8a6，故本选项符合题意；
D.a6÷a2=a4，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】
本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：从正面看，可得如下图形：
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4.【答案】B
【解析】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5.【答案】D
【解析】解：A、将这组数据从小到大排列为：96，96，97，98，98，中位数为97，故A选项不符合题意；
C、平均数=96+96+97+98+985=97，故C选项不符合题意；
B、方差=15×[(96−96)2×2+(97−96)2+(98−96)2×2]=1.8，故B选项不符合题意；
D、该组数据的众数为96和98，故D选项符合题意；
故选：D．
根据中位数的定义判断A选项；根据算术平均数的计算方法判断C选项；根据方差的计算方法判断B选项；根据众数的定义判断D选项．
本题考查了方差，算术平均数，中位数，众数，掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：如下图所示，
过直角的顶点E作MN//AB，交AD于点M，交BC于点N，
则∠2=∠3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∵AB//MN，
∴MN//CD，
∴∠4=∠1=28°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠3=90°−∠4=62°．
∴∠2=∠3=62°．
故选：D．
过直角的顶点E作MN//AB，利用平行线的性质解答即可．
本题主要考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，过直角的顶点E作MN//AB是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：依题意得：20x=40×50×3．
故选：A．
利用重物的质量×OA的长度=3个钩码的质量×OB的长度，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角形函数的定义是解题关键．根据等腰三角形性质求出BD，根据角度的正切值可求出AD．
【解答】
解：∵AB=AC，BC=44cm，AD⊥BC，
∴BD=CD=22cm，
∵∠ABC=27°，
∴tan∠ABC=ADBD≈0.51，
∴AD≈0.51×22=11.22cm，
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE=12CD=12，
∵AB=26，
∴OC=13．
∵AB⊥CD，
∴cos∠OCE=CEOC=1213．
故选：B．
利用垂径定理求得CE，利用余弦的定义在Rt△OCE中解答即可．
本题主要考查了垂径定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵点A，B的坐标分别为(−3,−2)和(1,−2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0,−2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)，
∴c≥−2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x>1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为−5，则此时对称轴为直线x=−3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
CD2=(−ba)2−4×ca=b2−4aca2，
根据顶点坐标公式，4ac−b24a=−2，
∴4ac−b2a=−8，即b2−4aca=8，
∴CD2=1a×8=8a，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1−(−3)=4，
∴8a=42=16，
解得a=12，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)可以判断出c的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②错误；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．
本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．
11.【答案】1.246×108
【解析】解：124600000=1.246×108．
故答案是：1.246×108．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】 2
【解析】解：原式=3 2−2 2= 2，
故答案为： 2．
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减运算法则．
13.【答案】3 4x+2
【解析】解：当x>2时，y=5×2+5×0.8(x−2)=4x+2；
∵14>10，
∴x>2，
∴4x+2=14，
即：x=3．
故答案为：3；y=4x+2．
根据糯米的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上种子，超过2千克的部分的种子的价格打8折，分别即可得出解析式；再把y=14代入即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
14.【答案】−2(答案不唯一)
【解析】解：∵反比例函数y=kx的函数值y在每个象限随着自变量x值的增大而增大，
∴k<0，
∴k=−2(答案不唯一)，
故答案为：−2(答案不唯一)．
根据反比例函数的增减性可得k<0，写一个负数即可．
本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数y=kx(k≠0)：k>0，y随x的增大而减小，k<0，y随x的增大而增大是解题的关键．
15.【答案】(−4,8)
【解析】解：过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，
∴∠B′MO=∠BNO=90°，
∵OA=AB=5，点B到x轴的距离为4，
∴AN=3，
∴ON=8，
∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，
∴∠BOB′=90°，OB=OB′，
∴∠BOA′+∠B′OA′=∠BOA+∠BOA′，
∴∠BOA=∠B′OA′，
∴△AOB≌△A′OB′(AAS)，
∴OM=ON=8，B′M=BN=4，
∴B′(−4,8)，
故答案为：(−4,8)．
过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，先求出ON=8，再证明△AOB≌△A′OB′(AAS)，推出OM=ON=8，B′M=BN=4，从而求出点B′的坐标．
本题考查了坐标与图形变化−旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．
16.【答案】94πm2
【解析】解：S阴影=S扇形AOD−S扇形BOC
=120π⋅OA2360−120π⋅OB2360
=120π(OA2−OB2)360
=π(32−1⋅52)3
=94π(m2)，
故答案为：94πm2．
利用扇形面积公式，根据S阴影=S扇形AOD−S扇形BOC即可求解．
本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
17.【答案】(−1+ 5)
【解析】解：∵BE2=AE⋅AB，
设BE=x，则AE=(2−x)，
∵AB=2，
∴x2=2(2−x)，
即x2+2x−4=0，
解得：x1=−1+ 5，x2=−1− 5(舍去)，
∴线段BE的长为(−1+ 5)米．
故答案为：(−1+ 5).
根据BE2=AE⋅AB，建立方程求解即可．
本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解决本题的关键．
18.【答案】72 2 5+2
【解析】解：如图，连接AP，
由图2可得AB=BC=4cm，
∵∠B=36°，AB=BC，
∴∠BAC=∠C=72°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠PAC=∠B=36°，
∴AP=BP，∠APC=72°=∠C，
∴AP=AC=BP，
∵∠PAC=∠B，∠C=∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴APAB=PCAC，
∴AP2=AB⋅PC=4(4−AP)，
∴AP=2 5−2=BP，(负值舍去)，
∴t=4+2 5−21=2 5+2，
故答案为：72；2 5+2．
由图象可得AB=BC=4cm，通过证明△APC∽△BAC，可求AP的长，即可求解．
本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
19.【答案】解：解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x≥1，
∴原不等式组的解集为：1≤x<3，
∴整数解为1，2．
【解析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可．
20.【答案】解：x2+2x+1x−2022÷x2−1x−2022−(1x−1+1)
=(x+1)2x−2022⋅x−2022(x+1)(x−1)−xx−1
=x+1x−1−xx−1
=1x−1
∵x=cos60°=12，
∴原式=112−1=−2．
【解析】根据分式混合运算法则进行化简计算，然后再代入求值即可．
本题主要考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)抽样调查；
(2)300，30；
(3)59；
(4)3000．
【解析】解：(1)∵教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，
∴教育局采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
(2)45÷15%=300(人)，
1−15%−3%−7%−45%=30%，
故答案为：300，30；
(3)∵所有可能抽到的结果数为9，抽到男生的结果数为5，且每一名学生被抽到的可能性相同，
∴P(抽到男生)=59，
故答案为：59；
(4)10000×30%=3000(人)，
故答案为：3000．
(1)根据教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查即可得出答案；
(2)根据60≤t<70的人数45人占所有抽样学生的15%即可求出抽样学生的人数，根据扇形统计图各部分的百分比之和为1即可求出m的值；
(3)根据概率公式求解；
(4)根据样本中70≤t<80的人数占抽样人数的30%估计全市人数即可．
本题考查了概率公式，全面调查与抽样调查，扇形统计图，用样本估计总体，用样本中70≤t<80的人数占抽样人数的30%估计全市人数是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形BEDF为正方形，
∴DF=EB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，
∴DC−DF=AB−EB，
∴CF=AE，
即AE=CF；
(2)解：∵平行四边形ABCD的面积为20，AB=5，四边形BEDF为正方形，
∴5·DE=20，DE=EB，
∴DE=EB=4，
∴AE=AB−EB=5−4=1，
由(1)知：AE=CF，
∴CF=1．
【解析】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质等知识，运用相关性质证得AE=CF是解题关键．
(1)根据正方形的性质可得DF=EB，根据平行四边形的性质可得DC=AB，两式相减即可得到结论；
(2)根据平行四边形的面积可以得到DE的长，然后根据正方形的性质可以得到EB的长，从而可以求得AE的长，再根据(1)中的结论，即可得到CF的长．
23.【答案】解：设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，
由题意得：x−y=10x+2y=100，
解得：x=40y=30，
∴每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；
(2)w=(a−40)[100−2(a−50)]=−2(a−70)2+1800，
∵−2<0，
∴当a=70时，w有最大值，最大值为1800元．
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
【解析】(1)设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可．
(2)根据当a=50时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为a元时，每天可售出猪肉粽[100−2(a−50)]盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解．
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数关系式是解此题的关键．
24.【答案】解：拓展探究
如图，作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，sinB=AEAB=AEc，
同理：sinB=CDBC=CDa，
sin∠BAC=CDAC=CDb，
sin∠BCA=AEAC=AEb，
∴AE=csinB，AE=bsin∠BCA，CD=asinB，CD=bsin∠BAC，
∴bsinB=csin∠BCA，bsinB=asin∠BAC
∴asin∠BAC=bsinB=csin∠BCA；
即在锐角△ABC中，asinA=bsinB=csinC
解决问题
在△ABC中，∠B=180°−∠A−∠C=180°−75°−60°=45°，
∵ABsinC=ACsinB，
∴ABsin60∘=60sin45∘，
∴AB=30 6，
∴点A到点B的距离为30 6．
【解析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE=csinB，AE=bsin∠BCA，CD=asinB，CD=bsin∠BAC，从而得出结论；
解决问题：由拓展探究知，ABsinC=ACsinB，代入计算即可．
本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出asin∠BAC=bsinB=csin∠BCA是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵BC=BC，
∴∠A=∠D，
又∵∠DEC=∠ABC，
∴∠D+∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°，
∴CD⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：由(1)知，CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠A=∠D，AC=2BC，
∴tanA=tanD，
即BCAC=CECD=12，
∴CD=2CE，
在Rt△CDE中，CD2+CE2=DE2，DE=4 5，
∴(2CE)2+CE2=(4 5)2，
解得CE=4，
即线段CE的长为4．
【解析】(1)根据直径所对的圆周角是90°，得出∠A+∠ABC=90°，根据圆周角定理得出∠A=∠D，推出∠DCE=90°即可得出结论；
(2)根据tanA=tanD得出BCAC=CECD=12，再根据勾股定理得出CE即可．
本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键．
26.【答案】解：(1)①∵二次函数y=a(x−2)2−1(a>0)经过(3,1)，
∴1=a−1，
∴a=2，
∴二次函数的解析式为y=2(x−2)2−1；
②∵y1=y2，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线x=2，且x2−x1=3，
∴x1=12，x2=72，
当x=12时，y1=2(12−2)2−1=72，
∴当y1=y2时，顶点到MN的距离=72+1=92；
(2)若M，N在对称轴的异侧，y1⩾y2，
∴x1+3>2，
∴x1>−1，
∵x2−x1=3，
∴x1⩽12，
∴−1
∴y1−(−1)=1，
∴a=1x1−22，
∴94⩽x1−22<9，
∴19
∵x1⩾12，
∴12⩽x1<2，
∵函数的最大值为y2=ax2−22−1，最小值为−1，
∴y2−(−1)=1，
∴a=1x1+12，
∵12⩽x1<2，
∴32⩽x1+1<3，
∴94⩽x1+12<9，
∴19
(1)①把点(3,1)代入二次函数的解析式求出a即可；
②判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论；
(2)两种情形：若M，N在对称轴的异侧，y1⩾y2，若M，N在对称轴的异侧，y1⩽y2，x1<2，分别求解即可．
2023年湖南省永州市中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，数轴上点A表示的数的相反数是( )
A. −2 B. −12 C. 2 D. 3
2. 下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6 B. 3a−2a=1 C. (−2a2)3=−8a6 D. a6÷a2=a3
3. 如图是运动会领奖台，它的主视图是( )
A. B.
C. D.
4. 下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 赵爽弦图 B. 科克曲线
C. 斐波那契螺旋 D. 笛卡尔心形线
5. 学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98.下列说法中正确的是( )
A. 该组数据的中位数为98 B. 该组数据的方差为0.7
C. 该组数据的平均数为98 D. 该组数据的众数为96和98
6. 一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1=28°，则∠2的度数为( )
A. 28° B. 56° C. 36° D. 62°
7. 在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50g.若OA=20cm，OB=40cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为x g，根据题意列方程得( )
A. 20x=40×50×3 B. 40x=20×50×3
C. 3×20x=40×50 D. 3×40x=20×50
8. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，∠ABC=27°，BC=44cm，则高AD约为( )
(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)
A. 9.90cm B. 11.22cm C. 19.58cm D. 22.44cm
9. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为( )
A. 713
B. 1213
C. 712
D. 1312
10. 已知A(−3,−2)，B(1,−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点(C在D的右侧)，下列结论：
①c≥−2；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=12．
其中正确的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”.“学习强国”平台上线的某天，全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为______．
12. 18− 8=______．
13. 某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了______千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为______．
14. 若反比例函数y=kx的函数值y在每个象限随着自变量x值的增大而增大，则k= ______ .(写出一个满足条件的值)
15. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA=AB=5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为______．
16. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，分别以OA，OB长为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=3m，OB=1.5m，则阴影部分的面积为______ ．
17. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB.已知AB为2米，则线段BE的长为______米．
18. 如图1，在△ABC中，∠B=36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t(s)，AP的长度为y(cm)，y与t的函数图象如图2所示；根据图象信息请你计算∠BAC的度数是______ 度，当AP恰好平分∠BAC时t的值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19. 解不等式组：x−12
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x2+2x+1x−2022÷x2−1x−2022−(1x−1+1)，其中x=cos60°．
21. (本小题8.0分)
某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
(1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是______(填写“普查”或“抽样调查”)；
(2)教育局抽取的初中生有______人，扇形统计图中m的值是______；
(3)已知平均每天完成作业时长在“100≤t<110”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______；
(4)若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70≤t<80”分钟的初中生约有______人．
22. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证：AE=CF；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB=5，求CF的长．
23. (本小题10.0分)
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
24. (本小题10.0分)
知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sinA=ac，sinB=bc
∴c=asinA，c=bsinB．
∴asinA=bsinB．
拓展探究
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
请探究asinA，bsinB，csinC之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC=60m，∠A=75°，∠C=60°.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
25. (本小题12.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC=∠ABC．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若DE=4 5，AC=2BC，求线段CE的长．
26. (本小题12.0分)
如图，已知点M(x1,y1)，N(x2,y2)在二次函数y=a(x−2)2−1(a>0)的图象上，且x2−x1=3．
(1)若二次函数的图象经过点(3,1)．
①求这个二次函数的表达式；
②若y1=y2，求顶点到MN的距离；
(2)当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：点A表示的数为−2，
−2的相反数为2，
故选：C．
根据数轴得到点A表示的数为−2，再求−2的相反数即可．
本题考查了数轴，相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项B根据合并同类项法则判断即可，合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项C根据积的乘方法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
【解答】
解：A.a2⋅a3=a5，故本选项不合题意；
B.3a−2a=a，故本选项不合题意；
C.(−2a2)3=−8a6，故本选项符合题意；
D.a6÷a2=a4，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】
本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：从正面看，可得如下图形：
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4.【答案】B
【解析】解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5.【答案】D
【解析】解：A、将这组数据从小到大排列为：96，96，97，98，98，中位数为97，故A选项不符合题意；
C、平均数=96+96+97+98+985=97，故C选项不符合题意；
B、方差=15×[(96−96)2×2+(97−96)2+(98−96)2×2]=1.8，故B选项不符合题意；
D、该组数据的众数为96和98，故D选项符合题意；
故选：D．
根据中位数的定义判断A选项；根据算术平均数的计算方法判断C选项；根据方差的计算方法判断B选项；根据众数的定义判断D选项．
本题考查了方差，算术平均数，中位数，众数，掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：如下图所示，
过直角的顶点E作MN//AB，交AD于点M，交BC于点N，
则∠2=∠3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∵AB//MN，
∴MN//CD，
∴∠4=∠1=28°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠3=90°−∠4=62°．
∴∠2=∠3=62°．
故选：D．
过直角的顶点E作MN//AB，利用平行线的性质解答即可．
本题主要考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，过直角的顶点E作MN//AB是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：依题意得：20x=40×50×3．
故选：A．
利用重物的质量×OA的长度=3个钩码的质量×OB的长度，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角形函数的定义是解题关键．根据等腰三角形性质求出BD，根据角度的正切值可求出AD．
【解答】
解：∵AB=AC，BC=44cm，AD⊥BC，
∴BD=CD=22cm，
∵∠ABC=27°，
∴tan∠ABC=ADBD≈0.51，
∴AD≈0.51×22=11.22cm，
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE=12CD=12，
∵AB=26，
∴OC=13．
∵AB⊥CD，
∴cos∠OCE=CEOC=1213．
故选：B．
利用垂径定理求得CE，利用余弦的定义在Rt△OCE中解答即可．
本题主要考查了垂径定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵点A，B的坐标分别为(−3,−2)和(1,−2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0,−2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)，
∴c≥−2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x>1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为−5，则此时对称轴为直线x=−3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
CD2=(−ba)2−4×ca=b2−4aca2，
根据顶点坐标公式，4ac−b24a=−2，
∴4ac−b2a=−8，即b2−4aca=8，
∴CD2=1a×8=8a，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1−(−3)=4，
∴8a=42=16，
解得a=12，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)可以判断出c的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②错误；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．
本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．
11.【答案】1.246×108
【解析】解：124600000=1.246×108．
故答案是：1.246×108．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】 2
【解析】解：原式=3 2−2 2= 2，
故答案为： 2．
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减运算法则．
13.【答案】3 4x+2
【解析】解：当x>2时，y=5×2+5×0.8(x−2)=4x+2；
∵14>10，
∴x>2，
∴4x+2=14，
即：x=3．
故答案为：3；y=4x+2．
根据糯米的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上种子，超过2千克的部分的种子的价格打8折，分别即可得出解析式；再把y=14代入即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
14.【答案】−2(答案不唯一)
【解析】解：∵反比例函数y=kx的函数值y在每个象限随着自变量x值的增大而增大，
∴k<0，
∴k=−2(答案不唯一)，
故答案为：−2(答案不唯一)．
根据反比例函数的增减性可得k<0，写一个负数即可．
本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数y=kx(k≠0)：k>0，y随x的增大而减小，k<0，y随x的增大而增大是解题的关键．
15.【答案】(−4,8)
【解析】解：过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，
∴∠B′MO=∠BNO=90°，
∵OA=AB=5，点B到x轴的距离为4，
∴AN=3，
∴ON=8，
∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，
∴∠BOB′=90°，OB=OB′，
∴∠BOA′+∠B′OA′=∠BOA+∠BOA′，
∴∠BOA=∠B′OA′，
∴△AOB≌△A′OB′(AAS)，
∴OM=ON=8，B′M=BN=4，
∴B′(−4,8)，
故答案为：(−4,8)．
过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，先求出ON=8，再证明△AOB≌△A′OB′(AAS)，推出OM=ON=8，B′M=BN=4，从而求出点B′的坐标．
本题考查了坐标与图形变化−旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．
16.【答案】94πm2
【解析】解：S阴影=S扇形AOD−S扇形BOC
=120π⋅OA2360−120π⋅OB2360
=120π(OA2−OB2)360
=π(32−1⋅52)3
=94π(m2)，
故答案为：94πm2．
利用扇形面积公式，根据S阴影=S扇形AOD−S扇形BOC即可求解．
本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
17.【答案】(−1+ 5)
【解析】解：∵BE2=AE⋅AB，
设BE=x，则AE=(2−x)，
∵AB=2，
∴x2=2(2−x)，
即x2+2x−4=0，
解得：x1=−1+ 5，x2=−1− 5(舍去)，
∴线段BE的长为(−1+ 5)米．
故答案为：(−1+ 5).
根据BE2=AE⋅AB，建立方程求解即可．
本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解决本题的关键．
18.【答案】72 2 5+2
【解析】解：如图，连接AP，
由图2可得AB=BC=4cm，
∵∠B=36°，AB=BC，
∴∠BAC=∠C=72°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠PAC=∠B=36°，
∴AP=BP，∠APC=72°=∠C，
∴AP=AC=BP，
∵∠PAC=∠B，∠C=∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴APAB=PCAC，
∴AP2=AB⋅PC=4(4−AP)，
∴AP=2 5−2=BP，(负值舍去)，
∴t=4+2 5−21=2 5+2，
故答案为：72；2 5+2．
由图象可得AB=BC=4cm，通过证明△APC∽△BAC，可求AP的长，即可求解．
本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
19.【答案】解：解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x≥1，
∴原不等式组的解集为：1≤x<3，
∴整数解为1，2．
【解析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可．
20.【答案】解：x2+2x+1x−2022÷x2−1x−2022−(1x−1+1)
=(x+1)2x−2022⋅x−2022(x+1)(x−1)−xx−1
=x+1x−1−xx−1
=1x−1
∵x=cos60°=12，
∴原式=112−1=−2．
【解析】根据分式混合运算法则进行化简计算，然后再代入求值即可．
本题主要考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)抽样调查；
(2)300，30；
(3)59；
(4)3000．
【解析】解：(1)∵教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，
∴教育局采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
(2)45÷15%=300(人)，
1−15%−3%−7%−45%=30%，
故答案为：300，30；
(3)∵所有可能抽到的结果数为9，抽到男生的结果数为5，且每一名学生被抽到的可能性相同，
∴P(抽到男生)=59，
故答案为：59；
(4)10000×30%=3000(人)，
故答案为：3000．
(1)根据教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查即可得出答案；
(2)根据60≤t<70的人数45人占所有抽样学生的15%即可求出抽样学生的人数，根据扇形统计图各部分的百分比之和为1即可求出m的值；
(3)根据概率公式求解；
(4)根据样本中70≤t<80的人数占抽样人数的30%估计全市人数即可．
本题考查了概率公式，全面调查与抽样调查，扇形统计图，用样本估计总体，用样本中70≤t<80的人数占抽样人数的30%估计全市人数是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形BEDF为正方形，
∴DF=EB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，
∴DC−DF=AB−EB，
∴CF=AE，
即AE=CF；
(2)解：∵平行四边形ABCD的面积为20，AB=5，四边形BEDF为正方形，
∴5·DE=20，DE=EB，
∴DE=EB=4，
∴AE=AB−EB=5−4=1，
由(1)知：AE=CF，
∴CF=1．
【解析】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质等知识，运用相关性质证得AE=CF是解题关键．
(1)根据正方形的性质可得DF=EB，根据平行四边形的性质可得DC=AB，两式相减即可得到结论；
(2)根据平行四边形的面积可以得到DE的长，然后根据正方形的性质可以得到EB的长，从而可以求得AE的长，再根据(1)中的结论，即可得到CF的长．
23.【答案】解：设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，
由题意得：x−y=10x+2y=100，
解得：x=40y=30，
∴每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；
(2)w=(a−40)[100−2(a−50)]=−2(a−70)2+1800，
∵−2<0，
∴当a=70时，w有最大值，最大值为1800元．
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
【解析】(1)设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可．
(2)根据当a=50时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为a元时，每天可售出猪肉粽[100−2(a−50)]盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解．
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数关系式是解此题的关键．
24.【答案】解：拓展探究
如图，作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，sinB=AEAB=AEc，
同理：sinB=CDBC=CDa，
sin∠BAC=CDAC=CDb，
sin∠BCA=AEAC=AEb，
∴AE=csinB，AE=bsin∠BCA，CD=asinB，CD=bsin∠BAC，
∴bsinB=csin∠BCA，bsinB=asin∠BAC
∴asin∠BAC=bsinB=csin∠BCA；
即在锐角△ABC中，asinA=bsinB=csinC
解决问题
在△ABC中，∠B=180°−∠A−∠C=180°−75°−60°=45°，
∵ABsinC=ACsinB，
∴ABsin60∘=60sin45∘，
∴AB=30 6，
∴点A到点B的距离为30 6．
【解析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE=csinB，AE=bsin∠BCA，CD=asinB，CD=bsin∠BAC，从而得出结论；
解决问题：由拓展探究知，ABsinC=ACsinB，代入计算即可．
本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出asin∠BAC=bsinB=csin∠BCA是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵BC=BC，
∴∠A=∠D，
又∵∠DEC=∠ABC，
∴∠D+∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°，
∴CD⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：由(1)知，CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠A=∠D，AC=2BC，
∴tanA=tanD，
即BCAC=CECD=12，
∴CD=2CE，
在Rt△CDE中，CD2+CE2=DE2，DE=4 5，
∴(2CE)2+CE2=(4 5)2，
解得CE=4，
即线段CE的长为4．
【解析】(1)根据直径所对的圆周角是90°，得出∠A+∠ABC=90°，根据圆周角定理得出∠A=∠D，推出∠DCE=90°即可得出结论；
(2)根据tanA=tanD得出BCAC=CECD=12，再根据勾股定理得出CE即可．
本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键．
26.【答案】解：(1)①∵二次函数y=a(x−2)2−1(a>0)经过(3,1)，
∴1=a−1，
∴a=2，
∴二次函数的解析式为y=2(x−2)2−1；
②∵y1=y2，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线x=2，且x2−x1=3，
∴x1=12，x2=72，
当x=12时，y1=2(12−2)2−1=72，
∴当y1=y2时，顶点到MN的距离=72+1=92；
(2)若M，N在对称轴的异侧，y1⩾y2，
∴x1+3>2，
∴x1>−1，
∵x2−x1=3，
∴x1⩽12，
∴−1
∴y1−(−1)=1，
∴a=1x1−22，
∴94⩽x1−22<9，
∴19
∵x1⩾12，
∴12⩽x1<2，
∵函数的最大值为y2=ax2−22−1，最小值为−1，
∴y2−(−1)=1，
∴a=1x1+12，
∵12⩽x1<2，
∴32⩽x1+1<3，
∴94⩽x1+12<9，
∴19
(1)①把点(3,1)代入二次函数的解析式求出a即可；
②判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论；
(2)两种情形：若M，N在对称轴的异侧，y1⩾y2，若M，N在对称轴的异侧，y1⩽y2，x1<2，分别求解即可．
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