高中数学狂刷基础必修1学生及教师版

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知识讲解
一、函数单调性的定义
1.定义
如果函数对区间内的任意，当时都有，则称在内是增函数；当时都有，则在内时减函数．
2.等价形式
设，那么在是增函数；
在是减函数；
在是减函数．
3.应用
即若在区间上递增（递减）且（）；
若在区间上递递减且．（）．
1.比较函数值的大小． 2.可用来解不等式． 3.求函数的值域或最值等
二、单调性判别
1.判断前注意
讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
2.用于判断的方法
定义法：
用定义法证明函数单调性的一般步骤：
①取值：即设，是该区间内的任意两个值，且
②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
③定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．
④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．
子区间法：如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数；
图象法：
复合性质法：复合函数的单调性结论：“同增异减” ；
运算性质法：在公共定义域内
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数．
特殊函数：函数在上单调递增；在上是单调递减．
经典例题
一．填空题（共16小题）
1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）=0，且对任意a，b∈（﹣∞，0]，都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＜0，若对于实数x1，x2有如下条件：
①x1＞x2，②|x1|＞|x2|，③|x1|＞x2，④x1＞|x2|，
则其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是 ．
2．若f（x）是R上的增函数，且f（x）的图象经过点A（0，﹣1）和点B（3，3），则不等式﹣1＜f（x+1）＜3的解集是 ．
3．函数y=f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调减函数，且其图象过点（﹣3，2）和（1，﹣2），则不等式|f（x）|＜2的解集为 ．
4．若f（x）={(x-1)2;x≥0x+1;x＜0，则f（x）的单调增区间是 ，单调减区间是 ．
5．已知函数f（x）=&x+a，(x≥0)&ax+2a-1，(x＜0)在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是 ．
6．若函数f（x）=&lgax+a，x＞1&(2-a3)x+2，x≤1为R上的增函数，则实数a的取值范围是 ．
7．（2017秋•莲湖区校级月考）函数f（x）=|2x+4|+5的单调增区间为 ．
8．（2016春•宿迁期末）函数y=x|x﹣3|的单调减区间为 ．
9．（2017秋•兴隆台区校级月考）函数f（x）=-x2+3x+4的单调递减区间为 ．
10．（2017秋•浙江期中）已知f（x+1）=﹣x2+1，则f（x）= ，y=1f(x)的单调递增区间为 ．
11．（2017春•成安县校级期末）函数f（x）=x2x-1的单调递减区间是 ．
12．（2017春•金东区校级期中）设函数f（x）=&1，x＞0&0，x=0&-1，x＜0，g（x）=x2f（x﹣1），则函数g（x）的单调递减区间为 ．
13．（2017•石景山区一模）已知函数f（x）=&x2+x，x≥0&x-x2，x＜0，若f（a）＞f（2﹣a），则a的取值范围是 ．
14．（2017秋•龙岗区期末）若函数f（x）=&-x+3a，x≥0&x2-ax+1，x＜0是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围 ．
15．（2017春•南昌期末）已知函数f(x)=&-x2-ax-5，(x≤1)&ax(x＞1)是R上的增函数，则a的取值范围是 ．
16．（2016秋•寻乌县校级期末）已知函数f（x）=ax+1x+2在（﹣2，+∞）内单调递减，则实数a的取值范围 ．
二．解答题（共6小题）
17．（2017秋•镇平县校级期末）已知f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，并且f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＞0，求实数m的取值范围．
18．已知函数f（x）=x+2x，判断f（x）在（0，2）上的单调性并加以证明；
19．用单调性定义证明函数f（x）=x+2x-1在（1，+∞）上单调递减．
20．已知函数f(x)=8x-x2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的最值．
21．函数f（x）=﹣x2+2（a﹣3）x+4a﹣1在[1，+∞）上是减函数，求a的取值范围．
22．（2015秋•淮北期末）（B类题）已知函数f（x）=&-x2+2x(x＞0)&1(x=0)&-x-1(x＜0)．
（Ⅰ）求f{f（f（﹣1））}的值；
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象；
（Ⅲ）指出函数f（x）的单调区间．