福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试卷（含答案）

这是一份福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知函数，则( )
A. B. C. D.
2、投掷一个骰子，记事件，，则( )
A. B. C. D.
3、函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4、如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则( )

A. B. C. D.
5、已知直三棱柱中，，，，D是的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6、已知甲、乙盒子各装有形状大小完全相同的小球，其中甲盒子内有2个红球，1个白球；乙盒子内有3个红球，2个白球.若第一次先从甲盒子内随机抽取1个球放入乙盒子中，则第二次从乙盒子中抽1个球是红球的概率为( )
A. B. C. D.
7、，，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8、若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、下列说法正确的是( )
A.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B.运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心
C.在一个列联表中，计算得到的值，若的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越大
D.利用独立性检验推断“A与B是否有关”，根据数据算得，已知，，则有超过97.5%的把握认为A与B无关
10、若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为( )
A. B. C. D.
11、已知函数，则下列选项正确的是( )
A.函数的值域为
B.函数的单调减区间为，
C.若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
D.若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
12、在棱长为2的正方体中，点N满足，其中，，异面直线BN与所成角为，点M满足，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.当线段MN取最小值时，
D.当时，与AM垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为
三、填空题
13、已知空间向量，，若，则________.
14、英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：.某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5.如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8.如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为________.
15、在棱长为2的正方体中，P是侧面上的动点，且满足，则的最小值为________.
16、函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为________.
四、解答题
17、已知函数.
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间.
18、如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点.

（1）求证：平面PAD；
（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值.
19、第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行.为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见右表）.
分组（百分制）
频数
频率

10
0.1

20
0.2

30
0.3

25
0.25

15
0.15
合计
100
1
（1）由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.利用该正态分布，求；
（2）预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率.从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进人复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望.
附：若，则，，；.
20、如图，在直三棱柱中，，E为的中点，平面平面.

（1）求证：；
（2）若的面积为，试判断在线段上是否存在点D，使得二面角的大小为.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21、三年疫情对我们的学习生活以及各个行业都产生了影响，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，公司旗下的某个楼盘统一推出了为期7天的优惠活动.负责人用表格记录了推出活动以后每天售楼部到访客户的人次，表格中x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，根据表格绘制了以下散点图.
x（天）
1
2
3
4
5
6
7
y（人次）
12
22
42
68
132
202
392







4.24
870
5070
134.82
140
6.96
1.78
表中，.

（1）（i）请根据散点图判断，以下两个函数模型与（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（ii）根据（i）的判断结果以及表中的数据，求y关于x的回归方程.
（2）此楼盘共有N套房，其中200套特价房，活动期间共卖出300套房，其中50套特价房，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值，X表示卖出的300套房中特价房的数目）.
附：对于样本（，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
22、已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）已知，且，是的两个零点，，证明：.
参考答案
1、答案：A
解析：根据题意，函数，则，则.
2、答案：D
解析：由题意，，，，
3、答案：D
解析：
4、答案：C
解析：
5、答案：B
解析：
6、答案：C
解析：根据题意，设第一次从甲盒子取出的是红球是事件，从甲盒子取出的是白球是事件，第二次从乙盅子中抽1个球是红球为事件B，
易得，
，
故.
7、答案：D
解析：，令，所以，所以，又，所以，又，所以，所以.
8、答案：B
解析：因为，构造，易得：，所以，又易得，今，得，所以，即，所以，综上.
9、答案：AB
解析：A选项，相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强，A正确；
B选项，运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心，B正确；
C选项，在一个列联表中，计算得到的值，若的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越小，C错误；
D选项，利用独立性检验推断"A与B是否有关"，根据数据算得，
已知，，则有超过的把握认为A与B有关，D错误.
10、答案：CD
解析：已知，函数定义域为R，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减：
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值，
若函数在区间内有最小值，
此时，
解得，
当，即时，
整理得，
解得或，
所以，
综上，满足条件m的取值范围为.
11、答案：ABD
解析：作出函数的图象，由图象可知A正确，B正确
对于C选项或，由函数的图象可知或，故C错误.
对于D选项或，由函数的图家可知
12、答案：BCD
解析：由题意知点M在上动点，点N的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，所以，所以A错误；
易得平面，所以，所以B正确；
当线段MN取最小值时，M是的中点，N为圆弧的中点，所以
，所以，所以，所以C正确；
当时，M与重合，与AM垂直的平面，即与体对角线垂直的平面，显然平面，而与平面平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是的正六边形，所以截面面积的最大值为，所以D正确.
13、答案：-1
解析：空间向量，，若，则，解得.
14、答案：
解析：
15、答案：
解析：
16、答案：
解析：法一：依题意：在上恒成立，
设，
今，，则在上单调递增，
，，所以使，
当时，，，，在单调递减；当时，
，，，在单调递增，，由
得，，设，则
，在上单调递增，所以，即，，
故，所以，
法二：，可证，当且仅当时取“=”，
今，，即，
当，即时，，此时不等式恒成立；
当，即时，设，在上单调递增，
，，，使，
即，，，与恒成立矛盾，故舍去，综上，.
17、答案：（1）
（2）的单调递增区间为，，的单调递减区间为
解析：（1）因为所以.
所以，所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为：
（2）由函数在处取得极值可知：
，即，解得：
此时，，，
当时，，
当时，，
所以符合题意.
综上，的单调递增区间为，，的单调递减区间为.
18、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图所示，取PD中点M，连接EM，AM
因为E，M分别为PC，PD的中点，
所以，且.
又由已知，可得且，
四边形ABEM为平行四边形，
所以
又平面PAD，平面PAD.
平面PAD
（2）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
则，，，.
由E为棱PA的中点，得.
所以向量，.
设为平面PBD的法向量，
则.
不妨令，得，，即为平面PBD的一个法向量

又向量，
设直线BE与平面PBD所成角为，
所以
直线BE与平面PBD所成角的正弦值为
19、答案：（1）0.02275
（2）分布列见解析，期望为
解析：（1）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：
，
又由，，
.
（2）由题意，抽取2人进入复赛的人数，，1，2，


.
Y的概率分布列为
Y
0
1
2
P



Y的数学期望为.
20、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，在直三棱柱中，
，所以矩形为正方形，
又E是的中点，

又平面平面，
平面平面，
且平面.
平面
又平面AEBC，


（2）在直三棱柱中，平面ABC.
又平面，
.
又，
AE，平面且相交，
平面.
所以BC，BA，两两垂直.
所以如图以B为原点，建立空间直角坐标系
的面积为，
.
则，，，，，
，，
设，
.
又，，
设平面ABD的法向量，
则，
不妨取，则，
所以，
由（1）平面，所以平面BCD的一个法向量，
.解得.
又由图可知当D为的中点时，二面角为钝二面角符合题意，
综上，在上存在一点D，此时，
使得二面角的大小为.
21、答案：（1）（ⅰ）
（ⅱ）
（2）N的估计值为1199或1200
解析：（1）（ⅰ）根据散点图可得y随x的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断适合作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型
（ⅱ）由（ⅰ）知，，两边同时取对数得，
令，，，则由题意知，
又，
所以，
所以，所以，
，，
则y关于x的回归方程为.
（2）依题意X服从超几何分布，
当时，，
当时，，记，
则，
由解得，
所以当时，
当时，
当时，
故当或时最大，所以N的估计值为1199或1200.
22、答案：（1），在单调递减，若，在单调递减，在单调递增
（2）证明见解析
解析：（1），
①若，则，即在单调递减，
②若，令，有，令，有，
即在单调递减，在单调递增，
综上：，在单调递减，
若，在单调递减，在单调递增.
（2），
令得：，
因为，，因为，是的两个零点，
所以，，，
所以，
，
要证明，
只需证，
即证明
变形为，令，
则证明，
设，，在单调递增，
所以，即，
设，，在单调递减，
所以，，即，，
综上：.