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第05讲 全称量词与存在量词-新高一数学初升高暑假精品课(人教A版必修第一册)
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·模块一 全称量词与存在量词
·模块二 全称量词命题与存在量词命题的否定
·模块三 命题的否定与原命题的真假
·模块四 课后作业
模块一
全称量词与存在量词
1.全称量词与全称量词命题
2.存在量词与存在量词命题
【注】常用的全称量词有:“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.
常用的存在量词有:“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.
【考点1 全称量词命题与存在量词命题的理解】
【例1.1】(2023秋·陕西西安·高一校考期末)下列语句不是全称量词命题的是( )
A.任何一个实数乘以零都等于零
B.自然数都是正整数
C.高一(一)班绝大多数同学是团员
D.每一个实数都有大小
【解题思路】由全称命题的定义,全称命题应包含所有,任意的…等表示全部元素都满足的语句,如果含有存在、有一个…等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题,由此对四个答案进行分析,即可得到答案.
【解答过程】A中命题可改写为:任意一个实数乘以零都等于零,故A是全称量词命题;
B中命题可改写为:任意的自然数都是正整数,故B是全称量词命题;
C中命题可改写为:高一(一)班存在部分同学是团员,C不是全称量词命题;
D中命题可改写为:任意的一个实数都有大小,故D是全称量词命题.
故选:C.
【例1.2】(2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习)下列是存在量词命题且是假命题的是( )
A.∃x∈Z,x2>2B.∀x∈R,x2>0C.∃x,y∈R,x2+y20,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
D.∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
【解题思路】根据全称量词命题的概念,改写命题,即可得答案.
【解答过程】命题对应的全称量词命题为:∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2.
故选:D.
【变式1.2】(2023秋·广东揭阳·高一统考期末)关于命题“∃x∈N,x2+2x=0”,下列判断正确的是( )
A.该命题是全称量词命题,且是真命题B.该命题是存在量词命题,且是真命题
C.该命题是全称量词命题,且是假命题D.该命题是存在量词命题,且是假命题
【解题思路】根据存在量词命题的定义及取x=0可判断.
【解答过程】该命题是存在量词命题,当x=0时,x2+2x=0,所以该命题为真命题.
故选:B.
【考点2 全称量词命题与存在量词命题的真假】
【例2.1】(2023秋·湖北武汉·高一校考期末)下列命题中不正确的是( )
A.对于任意的实数a,二次函数y=x2+a的图象关于y轴对称
B.存在一个无理数,它的立方是无理数
C.存在整数x、y,使得2x+4y=5
D.每个正方形都是平行四边形
【解题思路】利用二次函数的对称性可判断A选项;利用特殊值法可判断B选项;分析可知2x+4y为偶数,可判断C选项;利用正方形与平行四边形的关系可判断D选项.
【解答过程】对于A选项,对于任意的实数a,二次函数y=x2+a图象的对称轴为y轴,A对;
对于B选项,无理数62的立方为2,且2为无理数,B对;
对于C选项,若x、y为整数,则2x、4y均为偶数,所以,2x+4y也为偶数,
则2x+4y=5不成立,C错;
对于D选项,每个正方形都是平行四边形,D对.
故选:C.
【例2.2】(2023·高一课时练习)能说明全称量词命题“∀x∈R,xx2−3x+2=0”为假命题的例子是( )
A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3
【解题思路】求出方程的根,即可判断.
【解答过程】因为xx2−3x+2=0,即xx−2x−1=0,解得x=0或x=1或x=2,
所以当x≠0且x≠1且x≠2时均能说明全称量词命题“∀x∈R,xx2−3x+2=0”为假命题,
故符合题意的为D.
故选:D.
【变式2.1】(2023·河北·模拟预测)命题p:∀x>1,x+2x−3>0,命题q:∃x∈R,2x2−4x+3=0,则( )
A.p真q真B.p假q假C.p假q真D.p真q假
【解题思路】对于命题p:根据特称命题结合二次函数分析判断;对于命题q:根据存在命题结合二次函数的Δ判别式分析判断.
【解答过程】对于命题p:令t=x>1,则y=t+2t2−3=2t2+t−3开口向上,对称轴为t=−14,
且y|x=1=0,则y=2t2+t−3>0,
所以∀x>1,x+2x−3>0,即命题p为真命题;
对于命题q:因为Δ=−42−4×2×3=−8
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