第12讲 幂函数的图象和性质-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册）

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·模块一 幂函数的概念
·模块二 幂函数的图象与性质
·模块三 课后作业
模块一
幂函数的概念
1．幂函数的概念
(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的特征：
①xα的系数为1；
②xα的底数是自变量；
③xα的指数为常数.
只有同时满足这三个条件，才是幂函数.
【考点1 对幂函数的概念的理解】
【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数为幂函数的是（ ）
A．y=2x2B．y=2x2−1C．y=2xD．y=x2
【解题思路】根据幂函数的定义即可求解.
【解答过程】由幂函数的定义可知：y=x2是幂函数，y=2x2，y=2x2−1和y=2x的系数不为1，故不是幂函数，
故选：D.
【例1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中不是幂函数的是（ ）
A．y=xB．y=x3C．y=3xD．y=x−1
【解题思路】根据幂函数的定义逐个分析选项即可.
【解答过程】对于选项A，y=x=x12，故它是幂函数．故A项正确；
对于选项B，y=x3是幂函数，故B项正确；
对于选项C，选项x的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；
对于选项D，y=x−1是幂函数，故D项正确.
故选：C.
【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）现有下列函数：①y=x3；②y=12x；③y=4x2；④y=x5+1；⑤y=x−12；⑥y=x；⑦y=ax(a>1)，其中幂函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【解答过程】幂函数满足y=xa形式，故y=x3，y=x满足条件，共2个
故选：B.
【变式1.2】（2023秋·云南德宏·高一统考期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．y=3xB．y=1x2C．y=2x2D．y=x+1x
【解题思路】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.
【解答过程】对于A，由幂函数的定义知y=3x=x13是幂函数，由题意可知f(x)的定义域为R,f(−x)=3−x=−3x=−f(x)，所以f(x)是奇函数，符合题意；故A正确；
对于B，由幂函数的定义知y=1x2=x−2是幂函数，由题意可知f(x)的定义域为−∞,0∪0,+∞,f(−x)=1−x2=1x2=f(x)，所以f(x)是偶函数，不符合题意；故B错误；
对于C，由幂函数的定义知y=2x2不是幂函数，不符合题意；故C错误；
对于D，由幂函数的定义知y=x+1x不是幂函数，不符合题意；故D错误；
故选：A.
【考点2 求幂函数的函数值、解析式】
【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点(2,2)，则f(9)＝（ ）
A．−3B．−13
C．3D．13
【解题思路】代点的坐标求出α的值，得到函数f(x)的解析式，即得解.
【解答过程】由题意f(2)＝2α＝2=212，
所以α＝12，所以f(x)＝x，
所以f(9)＝9＝3.
故选：C.
【例2.2】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知幂函数fx的图象过点4,12，则fx=（ ）
A．x−12B．x−2C．x12D．x2
【解题思路】设幂函数fx=xα,将4,12代入，求得α ，即得答案.
【解答过程】设幂函数fx=xα，由于fx的图象过点4,12，
故4α=12,∴α=−12，
即fx=x−12，
故选：A.
【变式2.1】（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数fx满足f(6)f(2)=4，则f13的值为（ ）
A．2B．14C．−14D．−2
【解题思路】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.
【解答过程】依题意，设fx=xα，则f(6)f(2)=6α2α=3α=4，
所以f(13)=(13)α=13α=14.
故选：B.
【变式2.2】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点a3,2在幂函数fx=a−1xb的图象上，则（ ）
A．fx=x−1B．fx=2x12
C．fx=x3D．fx=x13
【解题思路】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.
【解答过程】∵函数fx=a−1xb是幂函数，
∴a−1=1，即a=2,∴点8,2在幂函数fx=xb的图象上，
∴8b=2，即b=13，故fx=x13.
故选：D.
模块二
幂函数的图象与性质
1．常见幂函数的图象与性质
温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.
③α0，
故函数fx的定义域为0,+∞.
故选：D.
【变式1.2】（2023秋·北京·高一校考期末）下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（ ）
A．y=x13 B．y=x−12 C．y=x53 D．y=x23
【解题思路】由幂函数性质可得解.
【解答过程】A中定义域和值域都是R；
B中y=x−12=1x ,定义域和值域都是(0，+∞)；
C中定义域和值域都是R；
D中y=x23=(x13)2定义域为R，值域为[0，+∞)
故选：D.
【考点2 幂函数的图象】
【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①y=x−1，②y=x12，③y=x13B．①y=x−1，②y=x13，③y=x12
C．①y=x13，②y=x12，③y=x−1D．①y=x13，②y=x−1，③y=x12
【解题思路】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.
【解答过程】由函数y=x−1=1x是反比例函数，其对应图象为①；
函数y=x12=x的定义域为(0,+∞)，应为图②；
因为y=x13的定义域为R且为奇函数，故应为图③.
故选：A.
【例2.2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点P4,2在幂函数fx的图象上，则fx的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可得出答案．
【解答过程】设幂函数f(x)=xa，将点P4,2代入，得4a=2，解得a=12，
所以f(x)=x12，定义域为[0,+∞)，且在定义域内单调递增，大致图像为B，
故选：B．
【变式2.1】（2023·全国·高三对口高考）已知幂函数y=xpq（p,q∈Z且p与q互质）的图像如图所示，则（ ）

A．p、q均为奇数且pqa
C．a>c>bD．c>a>b
【解题思路】把三个数的指数都化为0.1，利用幂函数的单调性比大小.
【解答过程】a=0.20.1，b=，
c=(2)−0.5=(2)−50.1=280.1，
0.2>28>0.01，由幂函数y=x0.1在0,+∞上单调递增，所以a>c>b.
故选：C.
【例4.2】（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知a=3513,b=35−13,c=2513，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a