第13讲 函数的应用（一）-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册）

这是一份第13讲 函数的应用（一）-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册），文件包含第13讲函数的应用一人教A版必修第一册解析版docx、第13讲函数的应用一人教A版必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
·模块一 一次函数、二次函数模型的应用
·模块二 幂函数模型的应用
·模块三 分段函数模型的应用
·模块四 “对勾”函数模型的应用
·模块五 课后作业
模块一
一次函数、二次函数模型的应用
1．实际问题中函数建模的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.
(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.
(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.
2．一次函数模型的应用
一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0).
一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.
3．二次函数模型的应用
二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值
问题常用到二次函数模型.
【考点1 一次函数模型的应用】
【例1.1】（2022·高一课时练习）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）
A．310元B．300元
C．390元D．280元
【例1.2】（2022秋·浙江·高一校联考期中）网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长．
SIZE 尺码对照表
一个篮球运动员的脚长为282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是（ ）
A．45B．46C．47D．48
【变式1.1】（2022·高一课时练习）某电信公司推出了两种手机通信收费方式，A种方式与B种方式一个月的本地网内打出电话时间t（min）与通信费S（元）的函数关系如图．A种方式对应的函数解析式为S1=mt+20（m为常数），B种方式对应的函数解析式为S2=nt（n为常数）．当通话50min时，这两种方式产生的通信费相差（ ）
A．10元B．20元C．30元D．403元
【变式1.2】（2022秋·湖南株洲·高一校考期中）如图（1）是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示.
则下列说法中，正确的是（ ）
A．图（2）的建议是：提高成本，并保持票价不变
B．图（2）的建议是：提高成本，并提高票价
C．图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变
D．图（3）的建议是：提高票价，并降低成本
【考点2 二次函数模型的应用】
【例2.1】（2023·高一课时练习）某自来水厂的蓄水池中存有水400吨，水厂每小时向蓄水池注水60吨，而蓄水池1小时内向居民小区供水总量为1206t吨（0≤t≤24）．若蓄水池中的水量少于80吨，就会出现供水紧张，则在一天24小时内，出现供水紧张的时长约为（ ）
A．6小时B．7小时C．8小时D．9小时
【例2.2】（2023·高一课时练习）如图，在一直角墙角内的点P处有一棵树，它与两墙的距离分别是3米和2米．现欲用10米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，要求这棵树被围在花圃内或边界上．设BC=x米，则矩形花圃的面积f(x) （单位：平方米）为（ ）

A．f(x)=−x2+5x(0≤x≤10)B．f(x)=−x2+10x(0≤x≤10)
C．f(x)=−x2+5x(3≤x≤8)D．f(x)=−x2+10x(3≤x≤8)
【变式2.1】（2023秋·广西防城港·高一统考期末）某商店进了一批服装，每件进价为60元.每件售价为90元时，每天售出30件.在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件.当售价是（ ）元时，每天的利润最大.
A．60B．90C．80D．70
【变式2.2】（2023·全国·高一专题练习）某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为Cx=x2+4x+16（万元），每件商品售价为28元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用wx（万元）表示，用wxx表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（ ）
A．当生产12万件时，当月能获得最大总利润144万元
B．当生产12万件时，当月能获得最大总利润160万元
C．当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为24元
D．当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元
模块二
幂函数模型的应用
1．幂函数模型的应用
幂函数模型应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.
(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.
【考点1 幂函数模型的应用】
【例1.1】（2023·全国·高三专题练习）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y=kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为（ ）
A．14B．12C．23D．34
【例1.2】（2022秋·高一课时练习）在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为（ ）
A．60安B．240安C．75安D．135安
【变式1.1】（2022·全国·高一专题练习）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private Key Cryptsystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为y=kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是（ ）
A．12B．14C．2D．18
【变式1.2】（2022秋·江苏常州·高一校考阶段练习）某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ）
A．5 km处B．4 km处C．3 km处D．2 km处
模块三
分段函数模型的应用
1．分段函数模型的应用
由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.
【考点1 分段函数模型的应用】
【例1.1】（2023·全国·高三对口高考）某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)= C,(0A)已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：
若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（ ）
A．11.5元B．11元
C．10.5元D．10元
【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ωx万元.其中ωx=x2+10x,040，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（ ）
A．720万元B．800万元
C．875万元D．900万元
【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y=−10t+290,0≤t≤1256t−24,120,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用.
【考点1 “对勾”函数模型的应用】
【例1.1】（2023春·江苏镇江·高二统考期中）喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距45km的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速50km/h.油价为每升8元，当汽车以xkm/h的速度行驶时，油耗率为3+x2360L/h.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用.
【例1.2】（2023·江苏·高一假期作业）某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1=k2x+5（0≤x≤10，k为常数）.若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用）.
(1)求y2的表达式；
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值.
【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供x(x∈0,20)（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府x（万元）补贴后，产量将增加到t=(x+3)（万件）．同时波司登制衣有限公司生产t（万件）产品需要投入成本为(7t+81t+3x)（万元），并以每件(8+42t)元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴−成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益y（万元）关于政府补贴x（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益y（万元）最大？
【变式1.2】（2023秋·云南丽江·高一统考期末）华为消费者业务产品全面覆盖手机、移动宽带终端、终端云等，凭借自身的全球化网络优势、全球化运营能力，致力于将最新的科技带给消费者，让世界各地享受到技术进步的喜悦，以行践言，实现梦想.已知华为公司生产mate系列的某款手机的年固定成本为200万元，每生产1只还需另投入80元.设华为公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为Rx万元，且Rx=2000−30x,040
(1)写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
【考点2 函数模型的综合应用】
【例2.1】（2023秋·贵州安顺·高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本f(x)（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为f(x)=12x2−200x+80000．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？
(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？
【例2.2】（2023·江苏·高一假期作业）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.

(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【变式2.1】（2023春·广西防城港·高一统考期中）“硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖技术，属于由科技创新构成的物理世界，是需长期投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售，假设该高级设备的年产量为x百台，经测算，生产该高级设备每年需投入固完成本1500万元，最多能够生产80百台，每生产一百台台高级设备需要另投成本Gx万元，且Gx=3x2+20x,0≤x≤40,x∈N205x+18000x−3350,40