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专题13 函数模型及其应用（5种考向）-新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用）
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这是一份专题13 函数模型及其应用（5种考向）-新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用），文件包含专题13函数模型及其应用解析版docx、专题13函数模型及其应用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
专题13 函数模型及其应用
【命题方向目录】
题型一：二次函数模型，分段函数模型
题型二：对勾函数模型
题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型
题型四：已知函数模型的实际问题
题型五：构造函数模型的实际问题
【2024年高考预测】
2024年高考可能结合函数与生活应用进行考察，对学生建模能力和数学应用能力综合考查．
【知识点总结】
1、三种函数模型的性质
函数
性质
在上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
2、几种常见的函数模型：
函数模型
函数解析式
一次函数模型
，为常数且
反比例函数模型
，为常数且
二次函数模型
，，为常数且
指数函数模型
，，为常数，，，
对数函数模型
，，为常数，，，
幂函数模型
，为常数，
【方法技巧与总结】
1、解函数应用问题的步骤：
（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；
（3）解模：求解数学模型，得出结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
【典例例题】
题型一：二次函数模型，分段函数模型
例1．（2023·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入是单位产量的函数：，则总利润的最大值是______万元．（总利润＝总收入－成本）
例2．（2023·甘肃兰州·高三统考阶段练习）某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
4
5
6
7
8
9
10
日均销售量/件
400
360
320
280
240
200
160
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：元/件）应为_________________.
例3．（2023·安徽滁州·高三安徽省定远县第三中学校考阶段练习）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是___________cm.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________才可驾车.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元，若年收入元）与年产量（件）的关系式，则当年利润最大时，每年生产产品的件数是___________.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为___________元.
【通性通解总结】
1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏．
题型二：对勾函数模型
例4．（2023·黑龙江·高三嫩江市高级中学校联考开学考试）某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ）
A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处
例5．（2023·山东青岛·高三校考阶段练习）某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6t，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用z（单位：元）与购买天数x（单位：天）的关系为（），每次购买大米需支付其他固定费用900元．若要使食堂平均每天所支付的总费用最少，则食堂应______天购买一次大米．
例6．（2023·福建·高三统考学业考试）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，则一年的总运费与总存储费之和关于的函数表达式___________．
变式4．（2023·新疆·高三校考阶段练习）某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝________.
【通性通解总结】
1、解决此类问题一定要注意函数定义域；
2、利用模型求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型
例7．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）我国国内生产总值（）2022年比2013年翻了一番，则平均每年的增长率是__________.
例8．（2023·全国·高三专题练习）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要的时间为________分钟.(参考数据：ln 3≈1.1)
例9．（2023·全国·高三专题练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与参考声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（单位：分贝）与喷出的泉水高度满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为，若同学大喝一声的声强大约相当于10个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为______dm．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）
变式6．（2023·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的，两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）成正比，已知投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．现在公司准备投入40千万元资金同时生产，两种芯片，则可以获得的最大利润是______千万元．（毛收入＝营业收入－营业成本）
【通性通解总结】
1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型．
2、在解决指数型函数、对数型函数、幂函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图像求解最值问题．
题型四：已知函数模型的实际问题
例10．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（ ）
A． B． C． D．
例11．（2023·全国·高三专题练习）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式．现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要（ ）分钟饮用口感最佳．（参考数据；，）
A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.26
例12．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）医学上常用基本传染数来衡量传染病的传染性强弱，其中，）表示天内的累计病例数.据统计某地发现首例型传染性病例，在内累计病例数达到例，取，根据上面的信息可以计算出型传染病的基本传染数.已知型传染病变异株的基本传染数(表示不超过的最大整数），平均感染周期为天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染，以此类推），则感染人数由个初始感染者增加到人大约需要的天数为（ ）（参考数据:）
A．63 B．70 C．77 D．84
变式7．（2023·江苏镇江·高三校考期末）在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度.当时，千米/秒.在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则至少约为（ ）（结果精确到1，参考数据：）
A．135吨 B．160吨 C．185吨 D．210吨
变式8．（2023·北京·高三北京市第十二中学校考阶段练习）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数＝×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②；③；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式9．（2023·河南·高三信阳高中校联考期末）闪光指数（guidenumber，GN）是一个衡量闪光灯在感光度及视角确定的情况下照射目标的能力，是进行闪光摄影时决定适当光圈的主要依据.通常在手动闪光摄影时，由已知的闪光指数和摄影距离来计算适当的光圈，且三者存在这样的关系：其中：——光圈；——闪光灯的闪光指数，单位为米（或英尺）；——光闪灯到被摄体的距离，单位为米（或英尺）.今有ISO100感光度的胶卷的闪光灯，其闪光指数为24米，若光圈值为8，则闪光灯到被摄体的距离为（ ）
A．3米 B．16米 C．32米 D．192米
变式10．（2023·河南郑州·高三统考期末）等额分付资本回收是指起初投资P，在利率i，回收周期数n为定值的情况下，每期期末取出的资金A为多少时，才能在第n期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公式为：.某农业种植公司投资33万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为10%，若每年年底回笼资金8.25万元，则该公司将至少在（ ）年内能全部收回本利和.（，，）
A．4 B．5 C．6 D．7
【通性通解总结】
求解已知函数模型解决实际问题的关键
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
题型五：构造函数模型的实际问题
例13．（2023·云南·高三景东彝族自治县第一中学校考阶段练习）为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”新的计划有以下几点需求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元.设业绩为x（）万元时奖金为f（x）千元，下面给出三个函数模型：①；②；③.其中.请选择合适的函数模型，并计算：业绩为100万元时奖金为___________千元.
例14．（2023·全国·高三专题练习）现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩粒.则红豆和白豆共有________粒.
例15．（2023·福建莆田·高三莆田二中校考阶段练习）2020年是全国决胜脱贫攻坚之年，“一帮一扶”工作组进驻某山区帮助农民脱贫，发现该山区盛产苹果、梨子、猕猴桃，工作人员文明在线上进行直播带货活动，促销方案如下：若一次购买水果总价不低于200元，则顾客少付款m元，每次订单付款成功后，农民会收到支付款的80%，在促销活动中，为了使得农民收入不低于总价的70%，则m的最大值为_________.
变式11．（2023·吉林长春·长春十一高校考模拟预测）某医院为了提高服务质量，对病员挂号进行了调查，其调查结果为：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟分恰好不会出现排队现象．根据以下信息，若医院承诺5分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放的窗口数为___．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点______为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短．
【通性通解总结】
构建函数模型解决实际问题的步骤
（1）建模：抽象出实际问题的数学模型；
（2）推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
（3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·山东泰安·高三统考期中）垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率ν与时间t（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（ ）（参考数据）
A．20个月 B．40个月 C．28个月 D．32个月
2．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以的速度游动时，其耗氧量是静止时耗氧量的倍数为（ ）
A． B．8 C．32 D．64
3．（2023·河北沧州·高三统考期末）《中华人民共和国国家综合排放标准》中的一级标准规定企业生产废水中氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L.某企业生产废水中的氨氮含量为225ml/L.现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，为安全起见，要使废水中的氨氮含量不高于国家排放标准值的一半，至少要进行循环的次数为（ ）（参考数据，）
A．3 B．4 C．8 D．9
4．（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）某科技研发公司2022年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（ ）（参考数据：，，，）
A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年
5．（2023·吉林·东北师大附中校考模拟预测）一种药在病人血液中的量不低于1800mg时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药的量为0mg，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3600mg的此药，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药（，结果精确到0.1）（ ）
A．2.7 B．2.9 C．3.1 D．3.3
6．（2023·河南·校联考模拟预测）丹麦化学家索伦森是首位建立PH值概念的生化学家，他把PH值定义为，式子中的指的是溶液中的氢离子的浓度，单位为摩尔/升（），若某种溶液中的氢离子的浓度为，则该溶液的PH值约为（）（ ）
A．8 B．7.78 C．7.22 D．6
7．（2023·浙江·模拟预测）某全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），若，则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为：（其中，是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤60%的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：）
A．3h B．4h C．5h D．6h
二、多选题
9．（2023·山东烟台·统考三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限（），劳累程度（），劳动动机（）相关，并建立了数学模型.已知甲､乙为该公司的员工，则下列说法正确的有（ ）
A．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强
B．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱
C．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高
D．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高
10．（2023·湖北·统考一模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
11．（2023·福建厦门·统考一模）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
12．（2023·广东·统考模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分）之间满足函数关系y＝f（t），其中（R为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．排气12分钟后，人可以安全进入车库
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
三、填空题
13．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）珠穆朗玛峰高达8848.86米，但即使你拥有良好的视力，你也无法在上海看到它．一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在底面上看到它呢？为了能够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中，有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光线沿直线传播；④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线．你认为最不重要的一个假设是__________．
14．（2023·海南·模拟预测）新能源汽车是未来汽车的发展方向之一，一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量（辆）与创造的价值（万元）之间满足一次函数关系.已知产量为时，创造的价值也为；当产量为辆时，创造的价值达到最大，为万元.若这家工厂希望利用这条流水线创收达到万元，则它应该生产的新能源汽车数量是________.
15．（2023·北京东城·统考三模）某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭___________元.
16．（2023·辽宁丹东·统考模拟预测）某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长4%，则2026年的利润是______万元．（结果精确到1万元）
专题13 函数模型及其应用
【命题方向目录】
题型一：二次函数模型，分段函数模型
题型二：对勾函数模型
题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型
题型四：已知函数模型的实际问题
题型五：构造函数模型的实际问题
【2024年高考预测】
2024年高考可能结合函数与生活应用进行考察，对学生建模能力和数学应用能力综合考查．
【知识点总结】
1、三种函数模型的性质
函数
性质
在上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
2、几种常见的函数模型：
函数模型
函数解析式
一次函数模型
，为常数且
反比例函数模型
，为常数且
二次函数模型
，，为常数且
指数函数模型
，，为常数，，，
对数函数模型
，，为常数，，，
幂函数模型
，为常数，
【方法技巧与总结】
1、解函数应用问题的步骤：
（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；
（3）解模：求解数学模型，得出结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
【典例例题】
题型一：二次函数模型，分段函数模型
例1．（2023·河南商丘·高三睢县高级中学校考阶段练习）某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入是单位产量的函数：，则总利润的最大值是______万元．（总利润＝总收入－成本）
例2．（2023·甘肃兰州·高三统考阶段练习）某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
4
5
6
7
8
9
10
日均销售量/件
400
360
320
280
240
200
160
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：元/件）应为_________________.
例3．（2023·安徽滁州·高三安徽省定远县第三中学校考阶段练习）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是___________cm.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________才可驾车.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元，若年收入元）与年产量（件）的关系式，则当年利润最大时，每年生产产品的件数是___________.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为___________元.
【通性通解总结】
1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏．
题型二：对勾函数模型
例4．（2023·黑龙江·高三嫩江市高级中学校联考开学考试）某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ）
A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处
例5．（2023·山东青岛·高三校考阶段练习）某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6t，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用z（单位：元）与购买天数x（单位：天）的关系为（），每次购买大米需支付其他固定费用900元．若要使食堂平均每天所支付的总费用最少，则食堂应______天购买一次大米．
例6．（2023·福建·高三统考学业考试）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，则一年的总运费与总存储费之和关于的函数表达式___________．
变式4．（2023·新疆·高三校考阶段练习）某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝________.
【通性通解总结】
1、解决此类问题一定要注意函数定义域；
2、利用模型求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型
例7．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）我国国内生产总值（）2022年比2013年翻了一番，则平均每年的增长率是__________.
例8．（2023·全国·高三专题练习）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要的时间为________分钟.(参考数据：ln 3≈1.1)
例9．（2023·全国·高三专题练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强与参考声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度（单位：分贝）与喷出的泉水高度满足关系式，现知同学大喝一声激起的涌泉最高高度为，若同学大喝一声的声强大约相当于10个同学同时大喝一声的声强，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为______dm．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）
变式6．（2023·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的，两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）成正比，已知投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．现在公司准备投入40千万元资金同时生产，两种芯片，则可以获得的最大利润是______千万元．（毛收入＝营业收入－营业成本）
【通性通解总结】
1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型．
2、在解决指数型函数、对数型函数、幂函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图像求解最值问题．
题型四：已知函数模型的实际问题
例10．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（ ）
A． B． C． D．
例11．（2023·全国·高三专题练习）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式．现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要（ ）分钟饮用口感最佳．（参考数据；，）
A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.26
例12．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）医学上常用基本传染数来衡量传染病的传染性强弱，其中，）表示天内的累计病例数.据统计某地发现首例型传染性病例，在内累计病例数达到例，取，根据上面的信息可以计算出型传染病的基本传染数.已知型传染病变异株的基本传染数(表示不超过的最大整数），平均感染周期为天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染，以此类推），则感染人数由个初始感染者增加到人大约需要的天数为（ ）（参考数据:）
A．63 B．70 C．77 D．84
变式7．（2023·江苏镇江·高三校考期末）在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度.当时，千米/秒.在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则至少约为（ ）（结果精确到1，参考数据：）
A．135吨 B．160吨 C．185吨 D．210吨
变式8．（2023·北京·高三北京市第十二中学校考阶段练习）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数＝×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②；③；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式9．（2023·河南·高三信阳高中校联考期末）闪光指数（guidenumber，GN）是一个衡量闪光灯在感光度及视角确定的情况下照射目标的能力，是进行闪光摄影时决定适当光圈的主要依据.通常在手动闪光摄影时，由已知的闪光指数和摄影距离来计算适当的光圈，且三者存在这样的关系：其中：——光圈；——闪光灯的闪光指数，单位为米（或英尺）；——光闪灯到被摄体的距离，单位为米（或英尺）.今有ISO100感光度的胶卷的闪光灯，其闪光指数为24米，若光圈值为8，则闪光灯到被摄体的距离为（ ）
A．3米 B．16米 C．32米 D．192米
变式10．（2023·河南郑州·高三统考期末）等额分付资本回收是指起初投资P，在利率i，回收周期数n为定值的情况下，每期期末取出的资金A为多少时，才能在第n期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公式为：.某农业种植公司投资33万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为10%，若每年年底回笼资金8.25万元，则该公司将至少在（ ）年内能全部收回本利和.（，，）
A．4 B．5 C．6 D．7
【通性通解总结】
求解已知函数模型解决实际问题的关键
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
题型五：构造函数模型的实际问题
例13．（2023·云南·高三景东彝族自治县第一中学校考阶段练习）为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”新的计划有以下几点需求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元.设业绩为x（）万元时奖金为f（x）千元，下面给出三个函数模型：①；②；③.其中.请选择合适的函数模型，并计算：业绩为100万元时奖金为___________千元.
例14．（2023·全国·高三专题练习）现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩粒.则红豆和白豆共有________粒.
例15．（2023·福建莆田·高三莆田二中校考阶段练习）2020年是全国决胜脱贫攻坚之年，“一帮一扶”工作组进驻某山区帮助农民脱贫，发现该山区盛产苹果、梨子、猕猴桃，工作人员文明在线上进行直播带货活动，促销方案如下：若一次购买水果总价不低于200元，则顾客少付款m元，每次订单付款成功后，农民会收到支付款的80%，在促销活动中，为了使得农民收入不低于总价的70%，则m的最大值为_________.
变式11．（2023·吉林长春·长春十一高校考模拟预测）某医院为了提高服务质量，对病员挂号进行了调查，其调查结果为：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟分恰好不会出现排队现象．根据以下信息，若医院承诺5分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放的窗口数为___．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售店，请确定一个格点______为发行站，使5个零售点沿街道发行站之间路程的和最短．
【通性通解总结】
构建函数模型解决实际问题的步骤
（1）建模：抽象出实际问题的数学模型；
（2）推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
（3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·山东泰安·高三统考期中）垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率ν与时间t（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（ ）（参考数据）
A．20个月 B．40个月 C．28个月 D．32个月
2．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以的速度游动时，其耗氧量是静止时耗氧量的倍数为（ ）
A． B．8 C．32 D．64
3．（2023·河北沧州·高三统考期末）《中华人民共和国国家综合排放标准》中的一级标准规定企业生产废水中氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L.某企业生产废水中的氨氮含量为225ml/L.现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，为安全起见，要使废水中的氨氮含量不高于国家排放标准值的一半，至少要进行循环的次数为（ ）（参考数据，）
A．3 B．4 C．8 D．9
4．（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）某科技研发公司2022年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（ ）（参考数据：，，，）
A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年
5．（2023·吉林·东北师大附中校考模拟预测）一种药在病人血液中的量不低于1800mg时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药的量为0mg，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3600mg的此药，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药（，结果精确到0.1）（ ）
A．2.7 B．2.9 C．3.1 D．3.3
6．（2023·河南·校联考模拟预测）丹麦化学家索伦森是首位建立PH值概念的生化学家，他把PH值定义为，式子中的指的是溶液中的氢离子的浓度，单位为摩尔/升（），若某种溶液中的氢离子的浓度为，则该溶液的PH值约为（）（ ）
A．8 B．7.78 C．7.22 D．6
7．（2023·浙江·模拟预测）某全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），若，则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为：（其中，是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤60%的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：）
A．3h B．4h C．5h D．6h
二、多选题
9．（2023·山东烟台·统考三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限（），劳累程度（），劳动动机（）相关，并建立了数学模型.已知甲､乙为该公司的员工，则下列说法正确的有（ ）
A．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强
B．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱
C．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高
D．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高
10．（2023·湖北·统考一模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
11．（2023·福建厦门·统考一模）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
12．（2023·广东·统考模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分）之间满足函数关系y＝f（t），其中（R为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．排气12分钟后，人可以安全进入车库
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
三、填空题
13．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）珠穆朗玛峰高达8848.86米，但即使你拥有良好的视力，你也无法在上海看到它．一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在底面上看到它呢？为了能够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中，有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光线沿直线传播；④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线．你认为最不重要的一个假设是__________．
14．（2023·海南·模拟预测）新能源汽车是未来汽车的发展方向之一，一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量（辆）与创造的价值（万元）之间满足一次函数关系.已知产量为时，创造的价值也为；当产量为辆时，创造的价值达到最大，为万元.若这家工厂希望利用这条流水线创收达到万元，则它应该生产的新能源汽车数量是________.
15．（2023·北京东城·统考三模）某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭___________元.
16．（2023·辽宁丹东·统考模拟预测）某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长4%，则2026年的利润是______万元．（结果精确到1万元）
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