重庆市第八中学2023届高三下学期高考适应性月考（五）数学试卷（含答案）

这是一份重庆市第八中学2023届高三下学期高考适应性月考（五）数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市第八中学2023届高三下学期高考适应性月考（五）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2、若，则( )
A.-16i B.32-16i C.-32-16i D.16i
3、已知向量，满足，则( )
A. B. C. D.
4、某药厂制造一种药物胶囊，如下图所示，胶囊的两端为半球形，半径，中间可视为圆柱，若该种胶囊的表面积为，则该种胶囊的体积为( )

A. B. C. D.
5、“锦里开芳宴，兰缸艳早年。”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动福袋中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是( )
A. B. C. D.
6、若方程在上的解为，，则的值为( )
A. B. C. D.
7、已知函数，若，，，则p，q，r的大小关系为( )
A. B. C. D.
8、如下图甲，在等腰直角三角形ABC中，，，E，F分别为两直角边上的点，且，沿直线EF折叠，得到四棱锥A-BCEF，如图乙，则四棱锥A-BCEF体积的最大值为( )

A. B. C. D.
二、多项选择题
9、如下图，已知在正方体中，M和N分别为和CB的中点，则( )

A.直线AC与为异面直线
B.正方体过点，M，N的截面为三角形
C.直线垂直平面
D.平面平行于平面
10、若函数，则存在a，b（其中a，，且），使下列式子对任意的恒成立的是( )
A. B.
C. D.
11、已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线交双曲线C于A，B两点，点P为C上一动点记直线PA，PB的斜率分别为，若，且到C的渐近线的距离为，则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的离心率为
B.过右焦点的直线与双曲线C相交M，N两点，线段MN长度的最小值为4
C.若的角平分线与x轴交点为，则
D.若双曲线C在P处的切线与两渐近线交于Q，R两点，则
12、已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则下列选项正确的是( )
A.
B.方程有5个不同的根
C.若有解，则
D.若无实数解，则b可以取-1
三、填空题
13、已知的展开式中含项的系数为120，则______.
14、已知圆关于直线对称，圆，请写出一条与圆，都相切的直线方程:_______.（写一条即可）
15、已知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数______.
16、焦点在x轴上的椭圆C:（a>0），点，是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的点，的内切圆的圆心为M，若，过原点的直线交椭圆C于A，B两点，则的值为___________.
四、解答题
17、记三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，且满足，其中a，b，c依次成等比数列.
（1）求;
（2）已知的面积为，求C的周长.
18、已知数列是等差数列，其前n项和为，，，数列满足
（1）求数列，的通项公式;
（2）若对数列，，在与之间揷入个，组成一个新数列，求数列的前2023项的和
19、电信诈骗是指犯罪分子通过电话，网络和短信方式，设置骗局，编造虚假信息，从而谋取被害人钱财的犯罪行为，随着“5G"时代的全面来临，电信诈骗迅速地发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向学生群体。为保护同学们的自身安全，重庆八中开展了为期一周的“争做反诈小能手”知识竞赛.从参赛同学中随机抽取72名高三学生，其中各班数量如下:
班级x
1
2
3
4
5
6
参赛人数y
8
11
9
12
15
17
（1）根据上表数据可知，y与x之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求y与x的线性回归方程;（结果保留最简分数）
（2）已知全校参加本次知识竞赛的学生的分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈小能手”;若，则该同学被评为“反诈小天才”。
（i）试判断分数为87分的同学能被评为“反诈小能手”吗?
（ii）若全校共有30名同学被评为“反诈小天才”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数，（四舍五人后取整）
参考公式:线性回归方程于中，，
参考数据:，若，则，，
20、已知抛物线T的顶点在坐标原点，焦点与圆F:的圆心重合，P为T上一动点，点.若的最小值为2.
（1）求抛物线T的标准方程;
（2）过焦点的直线l与抛物线T和圆F自上而下依次交于A，B，C，D四点，且满足，求直线l的方程
21、如下图，在三棱雉中，，，，平面平面ABC，点E是线段PA上的动点

（1）证明:平面平面PBC;
（2）若点Q在线段BC上，，且异面直线EQ与PB成角，求平面EBC和平面ABC夹角的余弦值
22、巳知函数
（1）讨论函数的单调性;
（2）若有两个极值点，，证明:
参考答案
1、答案：C
解析：
2、答案：D
解析：，，，故选D.
3、答案：A
解析：向量，满足，可得，可得，所以，故选A.
4、答案：A
解析：设圆柱高为l，左、右两端半球形半径为r，其表面积为S，胶囊的体积为V.依题意，，故，将带入可得，故选A.
5、答案：C
解析：每次抽奖中，总情况数为种，获奖的共有、、、这4种，所以，设5人中获奖人数为X，则，所以，故选C.
6、答案：A
解析：.由得，由可知，故，所以，故选A.
7、答案：B
解析：为偶函数，则，，.又当时，
，，则在上单调递减，.在上单调递减.又，，，，故选B.
8、答案：B
解析：如图1，2，在折叠的过程中，四棱锥体积最大，此时二面角为，设AM长为x，则四棱锥体积由，易知在上.单调递增，在上单调递减，即在处取到最大值，，故选B.

9、答案：AD
解析：A正确:对于B，截面为平行四边形，故B错误:对于C，设正方体棱长为1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则，平面D，MN的法向量为，与不平行，故C错误，D显然正确，故选AD.
10、答案：ABC
解析：，当时，，则在R上单调递增，又，，A正确;
此时，，，则，，B正确;
由，则当时C式子成立，C正确;
且的唯一对称中心为，D错误，故选ABC
11、答案：ACD
解析：由题意知，，故，双曲线的方程为，对于A:，故，选项A正确;
对于B:因实轴长，故选项B错误；
对于C:记，由角平分线定理得:，又，所以，，于是，所以，，故选项C正确;
对于D:设，则切线方程为，与渐近线联立解得，故:与渐近线联立，
解得，于是，故选项D正确，故选ACD.
12、答案：BD
解析：令，则为奇函数，即为其对称中心，且由知:，即，则关于点对称，由对称性知的周期为，又时，，最大值，由对称性知，方程有几个不同的根等价于与有几个交点，结合图象，由，则当时共5个交点，当时，，，没有交点，所以共5个交点，B正确;，A错误若有解，则，C错误:若无实数解，则，D正确，故选BD.
13、答案：-1
解析：由，得.
14、答案：（或或）
解析：因圆关于直线对称，故圆心在直线上，得，解得，故，易知两圆外切，公切线有三条，结合图易知公切线的斜率存在，设方程为，于是有:两式相除得：或
当时，得，代回方程组可解得，，或，;当时，，代回方程组可解得，得公切线有三条公切线方程为:，.（数形结合找一点，再点斜式设切线也可，最特殊的一条为内公切线）
15、答案：1
解析：设公共点为即
消a得，
令，
在上单调递增，又，，.
16、答案：6
解析：设内切圆半径为r，取线段的中点N，，所以，
则，所以，故，得，由椭圆对称性有.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1），，
，
，.
（2）由（1）得，，则，
，
，又a，b，c成等比数列，，
由余弦定理，得，，，
所求周长为.
18、答案：（1）答案见解析
（2）4090
解析：（1）由题意，
所以.
①，
当时，②，
①-②可得，，
当时，，适合，
所以.
（2）因为，所以在数列中，从项开始到项为止，共有项数为.
当时，；
当时，，
所以数列前2023项是项之后还有2023-1034=989项为2，
所求和为.
19、答案：（1）
（2）（i）答案见解析
（ii）1319
解析：（1）经计算得:，，
由最小二乘法所以.
（2）（i），，那么，则该同学能被评为“反诈小能手”.
（ii）设全校参与本次竞赛的人数为n，反诈小天才的概率为
，
则，解得，
参与本次知识竞赛的学生人数约为1319人.
20、答案：（1）
（2）
解析：解:（1）由题意知抛物线标准方程为，
，M在抛物线开口内，
过P点作准线l垂线交l于H，则，
当M，P，H三点共线时，最小，
，即，
所以抛物线的方程为.
（2）根据题意，可得，，
，化简得，
设，，由焦半径公式可得，，，
代入上式得，
设直线l的方程为，若，则，不满足上式;
由联立，整理得:恒成立，
则，
所以，

解得，
所以直线AD的方程为，即.
21、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:平面平面ABC，且平面平面，，
平面PAB，，
，，
平面PBC，平面PBC，
平面PBC，
平面APC，平面平面PBC.
（2）因为，过点B作BZ垂直于平面ABC，以B为原点，BC为x轴正方向，BA为y轴正方向，BZ为z轴正方向建立空间直角坐标系，
所以，，，，，
设，，，

因为异面直线EQ与PB所成角，
，，，
由题意知，平面ABC的一个法向量为，，，
设平面EBC的一个法后量为，则所以，
所以，
平面EBC和平面ABC夹角的余弦值为.
22、答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析：（1），令，
注意到，对称轴，故，
（i）当时，即，此时在上单调递增，即，从而，即在上单调递增;
（ii）当时，即，
若，即时，恒成立，从而，即在上单调递增;
若，即时，
存在，有，
从而在上单调递增，上单调递减，上单调递增.
（2）证明:由（1）可知，要使有两个极值点，，则，此时满足，，
不妨设，此时有，
从而原不等式转化为:，
将及代入有:

化简即得:，即证，
由，可得，令，
设，则，
故在上单调递增，，
故原不等式成立