第二章 函数-备战高考数学专题测试模拟卷（新高考专用）

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备战高考阶段性检测名校重组卷（新高考）
第二章 函数
本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·湖北·校联考三模）函数的定义域是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D．
2．（2023·山东淄博·统考二模）已知集合，则下列集合为空集的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合，然后利用集合的运算逐项进行判断即可求解.
【详解】集合，集合，
所以，，
对于，，故选项不满足题意；
对于，，故选项满足题意；
对于，，故选项不满足题意；
对于，，故选项不满足题意，
故选：.
3．（2023·山东日照·统考二模）已知，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，结合简易逻辑用语判断选项即可.
【详解】因为定义域上单调递减，故由得，而定义域上单调递增，故，满足充分性；
又，满足必要性，
故选：C
4.（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数，则（    ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】C
【分析】判断的关系即可得出函数的奇偶性，再根据指数函数的单调性即可得出函数的单调性.
【详解】函数的定义域为R，
因为，所以函数为奇函数，
又因为函数在R上都是减函数，
所以函数在R上是减函数.
故选：C.
5.（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，
因为函数在区间存在零点，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
6.（2023·河南郑州·统考二模）若函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图象知，的两根为2，4，且过点，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：A

7．（2023·福建漳州·统考三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有的物体，若放在的空气中冷却，经过物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得：，即，，
，
由得：，即，解得：，
若使物体的温度为，需要冷却.
故选：C.
8.（2023·山东潍坊二模）定义在R上的函数满足，①对于互不相等的任意，都有，且当时，，②对任意恒成立，③的图象关于直线对称，则､､的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为的图象关于直线对称，则函数关于轴对称，
所以函数为上的偶函数，
又因为对任意恒成立，则函数的周期为4，
又因为对于互不相等的任意，都有，
且当时，，所以对任意，则，
故有，所以函数在上单调递增，
则有，，，因为函数在上单调递增，
则，即，
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.(2023·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是(　　)
A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝－1
C．f(x)＝ln D．f(x)＝ln sin x
【答案】　ABC
【解析】　由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称；
由f(x)＝－1＝可得，f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称；
由f(x)＝ln(x＋)可得，f(－x)＝ln(－x＋)＝ln ＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称；
由f(x)＝ln sin x知，sin x>0，所以2kπ 10.（多选题）（2023·安徽合肥·合肥市第十中学校考模拟预测）下列说法不正确的是（    ）
A．函数在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则的定义域为
【答案】ABC
【解析】函数在和上都是减函数，但在定义域上不是减函数，故A不正确；
当是奇函数时，可能无意义，比如，故B不正确；
因为是增函数，所以，解得，故C不正确；
因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故D正确.
故选：ABC.
11.（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（    ）
A．的对称中心为
B．的对称轴为直线
C．
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】因为为偶函数，所以，
所以图象关于直线对称，故A错误，B正确；
又在上单调递增，所以在上单调递减，
所以，故C正确；
由不等式结合的对称性及单调性，得，
即，即，解得或，
所以不等式的解集为，故D正确，
故选：BCD．
12.(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝＋1 D．f(x)＝|log2x|－1
【答案】　BCD
【解析】　选项A，若f(x0)＝x0，则＝0，该方程无解，
故该函数不是“不动点”函数；
选项B，若f(x0)＝x0，则x－2x0－3＝0，
解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；
选项C，若f(x0)＝x0，则＋1＝x0，
可得x－3x0＋1＝0，且x0≥1，
解得x0＝，故该函数是“不动点”函数；
选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，
即|log2x0|＝x0＋1，
作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，

由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，
即存在x0，使|log2x0|－1＝x0，
故该函数是“不动点”函数．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.．（2023·安徽·校联考三模）函数的值域是______．
【答案】
【详解】当时，满足；
当时，由，
所以函数的值域为．
故答案为：．
14．（2023·河南·校联考三模）已知函数.若.则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】因为函数定义域为，，，
所以是奇函数且在上单调递增，
由0，可得，则，解得，
即的取值范围是.
故答案为：.
15．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则__________.
【答案】/1.5
【详解】依题意函数是一个奇函数，
又，所以，
所以定义域为，
因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得.
又，所以，
所以，即，
所以，所以.
故答案为：.
16.．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知函数，则_____；若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____________．
【答案】 3
【详解】由，则，所以则，
所以可转化为，
因为在R上为增函数，所以在R上为增函数，
所以对恒成立，即对恒成立，
因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以，即实数的取值范围．
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(2023天津河西区期中） 计算下列各式
       (1)(式中字母均为正数);
       (2).
【解析】(1).
       (2)原式.
18.（广东省部分名校2021-2022学年高二上学期期中）在①，，②当时，f(x)取得最大值3，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知函数，且
（1）求f(x)的解析式；
（2）若f(x)在上的值域为，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）若选①，
由题意可得
解得，.
故.
若选②，
由题意可得
解得，.
故
若选③.
因为，所以图象的对称轴方程为，则，即.
因为，所以.
故.
（2）因为在上的值域为，所以，即.
因为图象的对称轴方程为，且，所以在上单调递增，
则
整理得，即.
因为，所以，即.
19.（2023天津武清区上学期检测）已知函数.
       (1)写出函数的定义域并判断其奇偶性;
       (2)若,求实数的取值范围.
【解析】(1)由,可得,则函数的定义域为,

       由,
       可得函数为偶函数.
       (2)由,
       可得
       由,可得
       解之得,则实数的取值范围为
20.(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数．
(1)求k；
(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1)．
【解析】　(1)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立，
∴2kx＝log3(9－x＋1)－log3(9x＋1)＝log3＝log33－2x＝－2x，
∴k＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3＝log3(3x＋3－x)，
则不等式f(x)≥log3(7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0，
由7·3x－1>0，解得x>－log37；
由3x＋3－x≥7·3x－1，
得6·(3x)2－3x－1≤0，
得0<3x≤，
即x≤－log32，
综上，不等式的解集为(－log37，－log32]．
21.（2022浙江省衢温“5+1”联盟期中）2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x
10
20
25
30

110
120
125
120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
（1）求k的值；
（2）给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．
【解析】（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，
所以，解得；
（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，
故只能选②:
代入数据可得：，解得，，
所以，（，）
（3）由（2）可得，，
所以，，
所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，有最小值，且为121；
当，时，为单调递减函数，
所以当时，f(x)有最小值，且为124，
综上，当时，f(x)有最小值，且为121元，
所以该商品的日销售收入最小值为121元．
22.（2013江西瑞金二中开学考）设定义域为的奇函数,(为实数).
       (1)求的值;
       (2)判断的单调性,并用单调性的定义给予证明;
       (3)是否存在实数和,使不等式成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由是上的奇函数,

      ,即,从而,
       当时,,
       即为奇函数,所以满足题意.
       (2)在上单调递减,证明如下:
       任取,且,则
      
      ,,从而,,
      ,即.
       故上单调递减.
       (3)存在实数,使不等式成立.
       由为奇函数,则.
       由为上的减函数,得,即.
       令,
       则依题意只需,易得的对称轴是,
       ①当即时,在上单减,,即,.
       ②当即时,在上单减,在上单增,.
       解得:或,.
       ③当即时,在上单增,,即,.
       综上可知:存在实数,使不等式成立.