第五章 数列-备战高考数学专题测试模拟卷（新高考专用）

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备战高考阶段性检测名校重组卷（新高考）
数 列
本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·浙江杭州·统考二模）在数列中，“数列是等比数列”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质及充分不必要条件的定义即可判断，
【详解】数列是等比数列，得，
若数列中，则数列不一定是等比数列，如数列，
所以反之不成立，则“数列是等比数列”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
2．（2023•江西一模）已知等差数列的前项和，若，则　　
A．150 B．160
C．170 D．与和公差有关
【答案】B
【分析】根据题意，由等差数列的性质可得，由此计算可得答案．
【详解】解：根据题意，等差数列中，若，则，
故．
故选B．
3．（2023•吉林一模）已知为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则等于　　
A．35 B． C． D．
【答案】C
【分析】设等比数列的公比为，由已知可得首项和公比的方程，解得首项和公比，再由等比数列的求和公式求解．
【详解】解：设等比数列的公比设为，
由，且与的等差中项为，可得，，
解得，，
则．
故选C．
4．（2023·山东菏泽·统考一模）2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（ ）（，）
A. 40 B. 41 C. 42 D. 43
【答案】C
【解析】
【分析】
设对折次时，纸的厚度为，则是以为首项，公比为的等比数列，
求出的通项，解不等式即可求解
【详解】设对折次时，纸的厚度为，每次对折厚度变为原来的倍，
由题意知是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
令，
即，所以，即，
解得：，
所以至少对折的次数是，
故选：C
5.（贵州凯里一中2023届高三三模）正项等比数列的前n项积为，且满足，，则下列判断错误的是（    ）
A． B．
C．的最大值为 D．
【答案】D
【分析】先根据题干条件判断出，然后结合等比数列的性质逐一分析每个选项.
【详解】由知：或，若，
此时，但与矛盾，
故，故，故A正确，
根据等比中项可得，，B正确；
由于，显然C正确，
，D错误．
故选：D
6．（2023春·吉林通化二模）数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知①，
当时，，
当时，②，
①-②，得，
若，，符合题意，
所以，则，
所以，
则

.
故选：D.
7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且，则（    ）
A． B．2n C． D．
【答案】D
【解析】令，
由可得：，
两式作差可得：，
化简整理可得：，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，进而可得：．
故选：D．
8.（2023•福建一模）任意写出一个正整数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成，如果是个偶数，则下一步变成，无论是怎样一个数字，最终必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列为正整数），若，则的所有可能取值之和为　　
A．188 B．190 C．192 D．201
【答案】B
【分析】根据“冰雹猜想”，一一列举出所有可能的情况即可．
【详解】解：由题意，的可能情况有：
①：②；
③：④
⑤：⑥．
．的所有可能取值为2，16，20，3，128，21，所有可能取值的和为190．
故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.（2023·福建·统考一模）记正项等比数列an的前n项和为Sn，则下列数列为等比数列的有（    ）
A．an+1+an B．an+1an C．Snan D．SnSn+1
【答案】AB
【分析】根据等比数列的定义和前n项公式和逐项分析判断.
【详解】由题意可得：等比数列an的首项a1>0，公比q>0，即an>0,Sn>0，
对A：an+1+an>0，且an+2+an+1an+1+an=an+1+anqan+1+an=q，即an+1+an为等比数列，A正确；
对B：an+1an>0，且an+2an+1an+1an=an+2an=q2，即an+1an为等比数列，B正确；
∵Sn=na1,q=1a11-qn1-q,q≠1，则有：
对C：Sn+1an+1Snan=anan+1Sn+1Sn=1qSn+1Sn=n+1n,q=11q1-qn+11-qn,q≠1，均不为定值，即Snan不是等比数列，C错误；
对D：Sn+1Sn+2SnSn+1=Sn+2Sn=n+2n,q=11-qn+21-qn,q≠1，均不为定值，即SnSn+1不是等比数列，D错误；
故选：AB.
10．（辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（    ）．

A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】运用累和法、裂项相消法，结合等差数列的前n项和公式逐一判断即可.
【详解】由题意可知：，于是有，
显然可得：， ，因此选项A不正确，选项B正确；
当 时，，
显然适合上式，，因此选项D不正确；
，
，因此选项C正确，
故选：BC
11.（2023·山东枣庄·统考二模）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（    ）
A．
B．当戓6时，取得最小值为30
C．数列的前10项和为50
D．当时，与数列共有671项互为相反数．
【答案】AC
【解析】因为等差数列，且，公差，
所以，
，
所以，，
所以选项A正确；
因为，
根据二次函数的对称性及开口向下可知：
取得最大值为，故选项B错误；
记的前10项和为，
因为，当时，解得，
当时，解得，
所以

，
因为，所以，
所以，故选项C正确；
记，因为，，
所以，所以当时，，
由，，可知为偶数，
若与互为相反数，则，且为偶数，
由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数，
即，即，且为偶数，所以，且为偶数，
故这样的有670个，故选项D错误.
故选：AC
12.（2023·浙江·校联考二模）定义：若存在正实数M使，则称正数列为有界正数列．已知数列满足，为数列的前n项和．则（    ）
A．数列为递增数列 B．数列为递增数列
C．数列为有界正数列 D．数列为有界正数列
【答案】BC
【分析】对于A，设，求导后放缩为，从而可知当时，单调递减，即可判断；对于B，由可知数列为递增数列，即可判断；对于C，由A分析，即可判断；对于D，借助不等式，从而可得，即可得到，从而可判断.
【详解】对于A，设，，
当时，，则，
所以当时，，则当时，，
所以当时，单调递减，A错误；
对于B，因为，所以数列为递增数列，B正确；
对于C，由A分析可知，当正实数M为前6项的最大项时，就有，所以数列为有界正数列，C正确；
对于D，令，则，
所以当时，，即在上单调递减，
所以，即，
由，
所以，D错误.
故选：BC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·河北唐山·统考三模）设为等比数列的前项和，，，则__________.
【答案】/0.875
【详解】设等比数列的公比为，
由，得，则，
由等比数列求和公式可知．
故答案为：．
14．（江苏省七市2023届高三三模数学试题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，a1＋a5＝3a2，则_____．
【答案】/
【分析】由，得到与的关系，再利用等差数列的前n项和公式和通项公式求解.
【详解】解：，
∴，
∴，
．
故答案为：
15.（2023·山东聊城·统考一模）记为不大于实数的最大整数，已知数列的通项公式为，则的前2023项的和______．
【答案】4962
【解析】
【分析】根据定义表示出由此计算出；
【详解】根据题意知：
；
故答案为：4962
16．（2023·辽宁大连·统考三模）定义：对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：
（1）是的一个排列；
（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.给出下面三个数列：
①数列的前项和；
②数列：1，2，3，4，5；
③数列：1，2，3，4，5，6.
具有“性质”的为________；具有“变换性质”的为_________.
【答案】 ① ②
【详解】解：对于①，当时，
，
，2，3，为完全平方数
数列具有“性质”；
对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换性质”，数列为3，2，1，5，4，具有“性质”， 数列具有“变换性质”；
对于③，，1都只有与3的和才能构成完全平方数，，2，3，4，5，6，不具有“变换性质”．
故答案为：①；②．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研）记数列的前n项和为，对任意，有．
(1)证明：是等差数列；
(2)若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．
【详解】（1）因为①，则②
①－②可得
，
故为等差数列．
（2）若当且仅当时，取得最大值，
则有,得则，，
故的取值范围为．
18．（2023·山东烟台·统考一模）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可；
（2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
设数列的公比为，
因为，，成等差数列，
所以，
即，
解得或，
因为各项均为正数，
所以，
所以，
由，
得，
解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
则，
所以，
两式相减可得，
整理可得．
19．（南京二模）已知数列的前项和为，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【详解】（1），则，
整理得到，故，
故是常数列，故，即，
当时，，
验证时满足，故
（2），
故
.
20.（2023·浙江·校联考二模）设数列的前n项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设且，求数列的前n项和为．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用及等比数列的定义求的通项公式；
（2）讨论的奇偶性，应用分组求和及等比数列前n项和公式求.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，则.
（2）由题设知：，，
当为偶数时，；
当为奇数时，；
综上，，.
21．（浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题）已知数列是以d为公差的等差数列，为的前n项和．
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若中的部分项组成的数列是以为首项，4为公比的等比数列，且，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由，可得，后由等差数列性质可得公差，即可得通项公式；
（2）由题可得，.后由是以d为公差的等差数列，可得数列是以为首项．4为公比的等比数列，可求得数列的通项公式，后由分组求和法可得的前n项和．
【详解】（1））因为，所以，
所以.
所以.
则数列的通项公式为.
（2）因为数列是以首项为，公比为4等比数列.
所以.
因为数列是等差数列，所以.
化简得.
因为，所以，即.
所以.
因为，所以数列是以为首项．4为公比的等比数列
所以.
所以.
则数列的前n项和为：.
22．（2023·浙江温州·统考三模）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数.

(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，是否存在实数，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，.
【详解】（1）设，第一行从左到右成等差数列的公差为，
则，
由，得，即有，
于是，又，解得，因此，，
所以，即.
（2）由（1）知，
当为奇数时，不等式等价于恒成立，而恒成立，则；
当为偶数时, 不等式等价于恒成立，而恒成立，则 ，
因此, 所以存在，使得恒成立.