高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示精练，共9页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

平面向量加、减运算的坐标表示练习
一、单选题
1. 已知向量a=(2,4)，a+b=(3,2)，则b=  (    )
A. (1,−2) B. (1,2) C. (5,6) D. (2,0)
2. 向量PA=(k,12)，PB=(4,5)，PC=(10,k)，若A，B，C三点共线，则k的值为(    )
A. −2 B. 11 C. −2或11 D. 2或11
3. 在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，AD=(−1,2)，则AC+BD=  (    )
A. (−2,4) B. (4,6) C. (−6,−2) D. (−1,9)
4. 若向量a=(−1,x)与b=(−x,2)共线且方向相同，则x的值为(    )
A. 2 B. −2 C. 2 D. −2
5. 已知M(2,3)，N(3,1)，则NM的坐标是(       )
A. (2,−1) B. (−1,2) C. (−2,1) D. (1,−2)
6. 已知向量a=(1,y)，b=(−1,1)，c=(2,2)，若c=a−b，则y=  (    )
A. 3 B. 1 C. −1 D. −3
7. 如果用e1，e2分别表示与x轴和y轴方向相同的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，那么AB可以表示为  (    )
A. 2e1+3e2 B. 4e1+2e2 C. 2e1−e2 D. −2e1+e2
8. 给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上任意一个点与以原点为起点、该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是  (    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 若AB=(2,5)，AC=(−1,1)，则CB=  (    )
A. (3,4) B. (−4,−3) C. (−4,3) D. (4,−3)
10. 已知i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，O为坐标原点，若OA=3i−j，点B的坐标为(1,3)，OC是AB的相等向量，则点C的坐标为  (    )
A. (−2,4) B. (2,−4) C. (4,2) D. (2,0)
11. 设向量a=(4,−12)，b=(−8,18)，若表示向量a，b，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于  (    )
A. (1,−1) B. (−1,1) C. (−4,6) D. (4,−6)
12. 已知A(1,2)，B(5,4)，C(x,3)，D(−3,y)，且AB=CD，则x，y的值分别为(    )
A. −7，−5 B. 7，−5 C. −7，5 D. 7，5
二、单空题
13. 已知A(6,2)，B(−2,−4)，且AC=CB，则点C的坐标是______．
14. 已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|=6，从x轴正方向到向量OA所成的角为150°，向量OA的坐标为_________．
15. 设OA=(−2,4)，OB=(−a,2)，OC=(b,0)，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则1a+1b的最小值为______．
16. 在△ABC中，点P在边BC上，且BP=PC，点Q是AC的中点，若PA=(4,3)，PQ=(1,5)，则BC=_______．
三、解答题
17. 已知a=(1,0)，b=(2,1)．
(1)求a+3b的坐标；
(2)当k为何实数时，ka−b与a+3b平行，平行时它们是同向还是反向？




18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA=4，AB=3，∠AOx=45°，∠OAB=105°，OA=a，AB=b，四边形OABC为平行四边形．

(1)求向量a，b的坐标；
(2)求点B的坐标．







19. 已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2，BE=−e1+λe2，EC=−2e1+e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1=(2,1)，e2=(2,−2)，求BC的坐标；
(3)已知D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．







20. 已知A(−1,0)，B(3,−1)，C(1,2)，并且AE=13AC，BF=13BC，求证：EF//AB．







答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：因为向量a=(2,4)，a+b=(3,2)，
则b=a+b−a=(3,2)−(2,4)=(1,−2)．
2.【答案】C
【解答】
解：由题意可得AB=PB−PA=4−k,−7，
BC=PC−PB=6,k−5，
由于AB和BC共线，
∴4−kk−5+42=0，解得k=11或k=−2．
3.【答案】A
【解答】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，由A(1,2)，B(3,5)，AB=(2,3)，AD=(−1,2)，
∴AC+BD=AB+AD+AD−AB=2AD=(−2,4)．
4.【答案】A
【解析】解：因为向量a=(−1,x)与b=(−x,2)共线，
所以(−1)×2−x(−x)=0，解得x=±2，
因为向量a=(−1,x)与b=(−x,2)方向相同，
所以x=2，
5.【答案】B
【解答】解：NM=(2,3)−(3,1)=(−1,2)．
6.【答案】A
【解答】
解：∵向量a=(1,y)，b=(−1,1)，c=(2,2)，c=a−b，
∴y−1=2，
解得y=3．
7.【答案】C
【解答】
解：记O为坐标原点，则OA=2e1+3e2，OB=4e1+2e2，
所以AB=OB−OA=2e1−e2．
故选C．
8.【答案】C
【解答】
解：由向量的坐标定义不难看出一个坐标可以对应无数个相等的向量，所以③错误，其余都正确．
所以正确的个数有3个．
9.【答案】A
【解答】
解：因为AB=(2,5)，AC=(−1,1)，
所以CB=AB−AC=(2,5)−(−1,1)=(3,4)．
10.【答案】A
【解答】
解：因为OA=3i−j，
所以A点的坐标为3,−1，
因为点B的坐标为(1,3)，
所以OC=AB=OB−OA=(1,3)−(3,−1)=(−2,4)，
故点C的坐标为(−2,4)．
11.【答案】D
【解答】
解：设c=(x,y)，
因为表示a，b，c的有向线段首尾相接能构成三角形，
所以a+b+c=0，
即(4−8+x,−12+18+y)=(0,0)，解得x=4，y=−6，
所以c=(4,−6)．
12.【答案】C
【解答】
解：AB=(4,2)，CD=(−3−x,y−3)．
∵AB=CD，
∴−3−x=4,y−3=2,
解得x=−7,y=5.
故选C．
13.【答案】(2,−1)
【解析】解：设C的坐标为(x,y)，则
AC=(x−6,y−2)，CB=(−2−x,−4−y)，
∵AC=CB，
∴x−6=−2−xy−2=−4−y，∴x=2y=−1，
∴C的坐标为：(2,−1)．
14.【答案】(−33,3)
【解答】
解：设点A( x,y)，
则 x=|OA|cos 150°=6cos 150°=−33，
y=|OA|sin 150°=6sin 150°=3，
即A(−33,3)，
所以OA=(−33,3)．
故答案为(−33,3)．
15.【答案】3+222
【解答】
解：由题意，得AB=(−a+2,−2)，AC=(b+2,−4)．
因为AB//AC，所以−4(−a+2)=−2(b+2)，
整理得2a+b=2，
所以1a+1b=12(2a+b)(1a+1b)=12(3+2ab+ba)≥12(3+22ab·ba)=3+222，
当且仅当b=2a时等号成立．
故答案为3+222．
16.【答案】(−4,14)
【解答】
解：AQ=PQ−PA=(1,5)−(4,3)=(−3,2)．
因为点Q是AC的中点，所以AQ=QC，
所以PC=PQ+QC=(1,5)+(−3,2)=(−2,7)．
因为BP=PC，
所以BC=BP+PC=PC+PC=(−2,7)+(−2,7)=(−4,14)．
故答案为(−4,14)．
17.【答案】解：(1)因为a=(1,0)，b=(2,1)，
所以a+3b=(1,0)+(6,3)=(7,3)．
(2)ka−b=(k−2,−1)，a+3b=(7,3)，
因为ka−b与a+3b平行，
所以3(k−2)+7=0，解得k=−13，
所以ka−b=−73,−1，a+3b=(7,3)，
即k=−13时，ka−b与a+3b平行，方向相反．
18.【答案】解：(1)作AM⊥x轴于点M， 
则OM=OA⋅cos45∘=4×22=22，AM=OA⋅sin45∘=4×22=22，
∴A(22,22)，故a=(22,22)，
∵∠AOC=180°−105°=75°，∠AOy=45°，∴∠COy=30°，
又OC=AB=3，∴C−32,332，
∴AB=OC=−32,332，即b=(−32,332).

(2)OB=OA+AB=(22,22)+(−32,332)=(22−32,22+332)，
∴点B的坐标为22−32,22+332．


19.【答案】【解析】
解：(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(−e1+λe2)=e1+(1+λ)e2．
∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得AE=kEC，即e1+(1+λ)e2=k(−2e1+e2)，得(1+2k)e1=(k−1−λ)e2．
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
∴1+2k=0λ=k−1，解得k=−12，λ=−32．
(2)BC=BE+EC=−3e1−12e2=(−6,−3)+(−1,1)=(−7,−2)．
(3)∵A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，
∴AD=BC．
设A(x,y)，则AD=(3−x,5−y)，∵BC=(−7,−2)，
∴3−x=−75−y=−2，解得x=10y=7，即点A的坐标为(10,7)．
20.【答案】证明：设E(x1,y1)，F(x2,y2)，依题意有AC=(2,2)，BC=(−2,3)，
AB=(4,−1).因为AE=13AC，所以AE=23,23，
所以(x1+1,y1)=23,23，故E−13,23．
因为BF=13BC，所以BF=−23,1，
所以(x2−3,y2+1)=−23,1，故F73,0．
所以EF=83,−23．
又因为4×−23−83×(−1)=0，  所以EF // AB．